Войти
В математике, теория катастроф является разделом теории бифуркаций в исследовании динамических систем ; это также частный частный случай более общей теории сингулярностей в геометрии.
Теория бифуркаций изучает и классифицирует явления, характеризующиеся внезапными сдвигами в поведении, возникающими из-за небольших изменений в обстоятельствах, анализируя, как качественный характер решения уравнения зависит от параметров, входящих в уравнение. Это может привести к внезапным и драматическим изменениям, например к непредсказуемым срокам и величине оползня .
Теория катастрофы возникла в результате работы французского математика Рене Тома в 1960-х и стал очень популярным благодаря усилиям Кристофера Зеемана в 1970-х. Он рассматривает частный случай, когда долгосрочное устойчивое равновесие может быть идентифицировано как минимум гладкой, четко определенной потенциальной функции (функция Ляпунова ).
Небольшие изменения некоторых параметров нелинейной системы могут вызывать появление или исчезновение равновесия или переход от притяжения к отталкиванию и наоборот, что приводит к большим и внезапным изменениям поведения системы. Однако, рассмотренная в более широком пространстве параметров, теория катастроф показывает, что такие точки бифуркации имеют тенденцию возникать как часть четко определенных качественных геометрических структур.
Теория катастроф анализирует вырожденные критические точки потенциальной функции - точки, в которых не только первая производная, но и одна или несколько высших производных потенциальной функции также равны нулю. Их называют зародышами геометрии катастроф. Вырождение этих критических точек можно раскрыть, разложив потенциальную функцию в ряд Тейлора при малых возмущениях параметров.
Когда вырожденные точки не просто случайны, но структурно устойчивы, вырожденные точки существуют как организующие центры для определенных геометрических структур более низкого вырождения с критическими особенностями в пространстве параметров вокруг них.. Если потенциальная функция зависит от двух или менее активных переменных и четырех или менее активных параметров, то существует только семь общих структур для этих бифуркационных геометрий с соответствующими стандартными формами, в которые ряд Тейлора вокруг зародышей катастрофы может быть преобразован с помощью диффеоморфизм (гладкое преобразование, обратное к которому также гладкое). Теперь представлены эти семь основных типов с именами, которые дал им Том.
Теория катастроф изучает динамические системы, которые описывают эволюцию переменной состояния 
В приведенном выше уравнении 
Стабильная и нестабильная пара экстремумов исчезают при бифуркации складок 
Когда a <0, the potential V has two extrema - one stable, and one unstable. If the parameter a is slowly increased, the system can follow the stable minimum point. But at a = 0 the stable and unstable extrema meet, and annihilate. This is the bifurcation point. At a>0 стабильного решения больше нет. Если физическая система проходит через бифуркацию складок, то обнаруживается, что когда a достигает 0, стабильность a < 0 solution is suddenly lost, and the system will make a sudden transition to a new, very different behaviour. This bifurcation value of the parameter a is sometimes called the "критической точки ".
 Диаграмма каспа, показывающая кривые (коричневый, красный) x, удовлетворяющие dV / dx = 0 для параметров (a, b), нарисованный для параметра b, непрерывно меняющегося, для нескольких значений параметра a. За пределами точки возврата бифуркаций (синий) для каждой точки (a, b) в пространстве параметров есть только одно экстремальное значение x. куспид, есть два разных значения х, дающих локальные минимумы V (х) для каждого (a, b), разделенные значением х, дающим локальный максимум. | |
 Форма выступа в пространстве параметров (а, b) вблизи точка катастрофы, показывающая место бифуркаций складок, отделяющих область с двумя стабильными решениями от области с одним. |  Бифуркация вил при a = 0 на поверхности b = 0 |
Геометрия каспа очень распространена, когда один исследует, что ха p откроется в бифуркации свертки, если второй параметр, b, добавлен в пространство управления. Варьируя параметры, можно обнаружить, что теперь есть кривая (синяя) точек в пространстве (a, b), где устойчивость теряется, где устойчивое решение внезапно перескочит к альтернативному исходу.
Но в геометрии каспа кривая бифуркации зацикливается на себе, давая вторую ветвь, где это альтернативное решение само теряет устойчивость и совершает прыжок обратно к исходному набору решений. Таким образом, многократно увеличивая b и затем уменьшая его, можно наблюдать петли гистерезиса , когда система поочередно следует за одним решением, перескакивает к другому, следует за другим обратно, а затем возвращается к первому.
Однако это возможно только в области пространства параметров a < 0. As a is increased, the hysteresis loops become smaller and smaller, until above a = 0 they disappear altogether (the cusp catastrophe), and there is only one stable solution.
Можно также рассмотреть, что произойдет, если оставить b постоянным и изменить a. В симметричном случае b = 0 наблюдается бифуркация вил при уменьшении a, при этом одно стабильное решение внезапно распадается на два стабильных решения и одно нестабильное решение, когда физическая система переходит к спонтанной симметрии < 0 through the cusp point (0,0) (an example of . нарушение ). Вдали от точки возврата не происходит внезапных изменений в физическом решении, которому следует следовать: при прохождении кривой бифуркаций складок все, что происходит, - это альтернативное второе решение.
Известное предположение состоит в том, что катастрофу на куспиде можно использовать для моделирования поведения собаки, находящейся в стрессе, которая может отреагировать испуганной или рассерженной. Предполагается, что при умеренном стрессе (а>0) собака будет демонстрировать плавный переход реакции от испуганной к сердитой, в зависимости от того, как ее спровоцировать. Но более высокие уровни напряжения соответствуют перемещению в область (a < 0). Then, if the dog starts cowed, it will remain cowed as it is irritated more and more, until it reaches the 'fold' point, when it will suddenly, discontinuously snap through to angry mode. Once in 'angry' mode, it will remain angry, even if the direct irritation parameter is considerably reduced.
Простая механическая система, «Машина катастрофы Зеемана», прекрасно иллюстрирует катастрофу на острие. В этом устройстве плавные изменения положения конца пружина может вызвать внезапные изменения вращательного положения прикрепленного колеса.
Катастрофический отказ сложной системы с параллельным резервированием можно оценить на основе соотношения между местными и внешними напряжениями. Модель механика структурного разрушения аналогична поведению при разрушении каспа. Модель предсказывает запасную способность сложной системы.
Другие приложения включают перенос электронов во внешнюю сферу часто встречаются в химических и биологических системах и при моделировании цен на недвижимость.
Бифуркации складок и геометрия выступов на сегодняшний день являются наиболее важными практическими последствиями теории катастроф. Это закономерности, которые снова и снова повторяются в физике, e инженерное и математическое моделирование. Они вызывают явления сильного гравитационного линзирования и предоставляют астрономам один из методов, используемых для обнаружения черных дыр и темной материи Вселенной, посредством явления гравитационного линзирования создание нескольких изображений далеких квазаров.
Остальные простые геометрии катастроф очень специфичны для сравнения и представлены здесь только для любопытства.
Поверхность катастрофы «Махаон» 
Пространство управляющих параметров трехмерное. Множество бифуркаций в пространстве параметров состоит из трех поверхностей бифуркаций складок, которые встречаются в двух линиях бифуркаций каспа, которые, в свою очередь, встречаются в одной точке бифуркации ласточкиного хвоста.
При прохождении параметров через поверхность бифуркаций складок один минимум и один максимум потенциальной функции исчезают. При бифуркациях каспа два минимума и один максимум заменяются одним минимумом; за ними исчезают бифуркации складок. В точке «ласточкин хвост» два минимума и два максимума встречаются при одном значении x. Для значений a>0, за пределами ласточкиного хвоста, существует либо одна пара максимум-минимум, либо вообще отсутствует, в зависимости от значений b и c. Две из поверхностей разветвлений складок и две линии бифуркаций куспидов, где они встречаются для < 0, therefore disappear at the swallowtail point, to be replaced with only a single surface of fold bifurcations remaining. последней картины Сальвадора Дали, «Ласточкин хвост», были основаны на этой катастрофе.
В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один разные локальные минимумы, разделенные локусами бифуркаций складок. В точке «бабочка» различные 3-поверхности бифуркаций складок, 2-поверхности бифуркаций бугров и линии бифуркаций «ласточкин хвост» встречаются и исчезают, оставляя единственную структуру бугорков, остающуюся при a>0.
Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью. Гиперболическая омбилическая катастрофа - только верхняя часть этого изображения. 
Поверхность с эллиптической омбилической катушкой и ее фокальной поверхностью. Эллиптическая пуповинная катастрофа - только верхняя часть этого изображения. Пуповинная катастрофа - это примеры катастроф второго ранга. Их можно наблюдать в оптике в фокальных поверхностях, создаваемых светом, отражающимся от поверхности в трех измерениях, и они тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей: точка пупка. Том предположил, что гиперболическая пупочная катастрофа моделирует обрушение волны, а эллиптическая пуповина моделирует создание волосоподобных структур.
Владимир Арнольд присвоил катастрофам классификацию ADE из-за глубокой связи с простыми группами Ли.
.
.
В теории сингулярностей есть объекты, которые соответствуют большинству другие простые группы Ли.
