Раздвоение вил

В теория бифуркаций, область в математике, бифуркация вил - это особый тип локальной бифуркации, когда система переходит от одной фиксированной точки к трем. фиксированные точки. Бифуркации вил, как и бифуркации Хопфа, бывают двух типов - сверхкритические и докритические.

В непрерывных динамических системах, описываемых ODE - т.е. потоки - бифуркации вил обычно возникают в системах с симметрией .

• 1 Сверхкритический случай
• 2 Докритический случай
• 3 Формальное определение
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Сверхкритический случай: сплошные линии представляют стабильные точки, а пунктирные линии - нестабильные.

Нормальная форма суперкритической развилки вил:

$dxdt\; =\; rx\; -\; x\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; rx-x\; ^\; \{3\}.\}$

Для существует одно устойчивое равновесие при $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$. Для $r>0\; \{\backslash \; displaystyle\; r>0\}$существует нестабильное равновесие при $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$и два стабильных равновесия при $x\; =\; \pm \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\}\}\}$.

Докритический случай: сплошная линия представляет стабильную точку, а пунктирная линия - нестабильную.

нормальная форма для докритического случая это

$dxdt\; =\; rx\; +\; x\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; rx\; +\; x\; ^\; \{3\}.\}$

В данном случае для равновесие при $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$стабильно, и есть два нестабильных равновесия при $x\; =\; \pm \; -\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{-r\}\}\}$. Для $r>0\; \{\backslash \; displaystyle\; r>0\}$равновесие при $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$работает нестабильно.

ОДУ

$x\; \dot{}\; =\; f\; (x,\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; f\; (x,\; r)\; \backslash ,\}$

описывается функцией с одним параметром $f\; (x,\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; r)\}$с $r\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}$удовлетворяет:

$-\; f\; (x,\; r)\; =\; f\; (-\; x,\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; -f\; (x,\; r)\; =\; f\; (-x,\; r)\; \backslash ,\; \backslash ,\}$(f - нечетная функция ),

$\partial \; f\; \partial \; x\; (0,\; r\; 0)\; =\; 0,\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; (0,\; r\; 0)\; =\; 0,\; \partial \; 3\; f\; \partial \; Икс\; 3\; (0,\; r\; 0)\; \ne \; 0,\; \partial \; е\; \partial \; r\; (0,\; r\; 0)\; =\; 0,\; \partial \; 2\; f\; \partial \; r\; \partial \; x\; (0,\; r\; 0)\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (0,\; r\_\; \{0\})\; =\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; (0,\; r\_\; \{0\})\; =\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{3\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{3\}\}\}\; (0,\; r\_\; \{0\})\; \backslash \; neq\; 0,\; \backslash \backslash \; [5pt\; ]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; (0,\; r\_\; \{0\})\; =\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\; \backslash \; partial\; x\}\}\; (\; 0,\; r\_\; \{0\})\; \backslash \; neq\; 0.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

имеет разветвление вил в точке $(x,\; r)\; =\; (0,\; r\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; r)\; =\; (0,\; r\_\; \{0\})\}$. Форма вил задается знаком th Третья производная:

Обратите внимание, что субкритический и сверхкритический описывают стабильность внешних линий вил (пунктирные или сплошные соответственно) и не зависят от того, в каком направлении обращены вилы. Например, негатив первого ОДУ, приведенного выше, $x\; \dot{}\; =\; x\; 3\; -\; rx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\; -rx\}$, сталкивается с тем же направление, как на первом рисунке, но меняет стабильность.

• Теория бифуркаций
• Бифуркационная диаграмма

• Стивен Строгац, Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и инженерии, Perseus Books, 2000.
• С. Виггинс, Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос, Springer-Verlag, 1990.