Функция Ляпунова

редактировать

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) функции Ляпунова - это скалярные функции, которые могут использоваться для доказательства устойчивости положения равновесия ОДУ. Названные в честь русского математика Александра Михайловича Ляпунова, функция Ляпунова (также называемая вторым методом Ляпунова для устойчивости) имеет важное значение для теории устойчивости в динамических системах и теории управления. Аналогичное понятие появляется в теории цепей Маркова общего пространства состояний, обычно под названием функций Фостера – Ляпунова.

Для некоторых классов ОДУ существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием устойчивости. В то время как не существует общей техники построения функций Ляпунова для ОДУ, во многих частных случаях конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичных функций достаточно для систем с одним состоянием; решение конкретного линейного матричного неравенства дает функции Ляпунова для линейных систем; а законы сохранения часто можно использовать для построения функций Ляпунова для физических систем.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
- 1.1 Дальнейшее обсуждение терминов, входящих в определение
2 Основные теоремы Ляпунова для автономных систем
- 2.1 Локально асимптотически устойчивое равновесие
- 2.2 Устойчивое равновесие
- 2.3 Глобально асимптотически устойчивое равновесие
3 Пример
4 См. Также
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Функция Ляпунова для автономной динамической системы

{\ displaystyle {\ begin {cases} g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} amp; \\ {\ dot {y}} = g (y) \ end {cases }}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} amp; \\ {\ dot {y}} = g (y) \ end {cases }}}

с точкой равновесия в - скалярная функция, которая непрерывна, имеет непрерывные первые производные, строго положительна и для которой также строго положительна. Условие, которое строго положителен иногда формулируется является локально положительно определена, или является локально отрицательно определена. ${\ displaystyle y = 0}$ $у = 0$ ${\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle \ nabla {V} \ cdot g}$ ${\ displaystyle \ nabla {V} \ cdot g}$

Дальнейшее обсуждение терминов, входящих в определение

Функции Ляпунова возникают при изучении точек равновесия динамических систем. В произвольной автономной динамической системе можно записать как ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

{\ Displaystyle {\ точка {у}} = г (у)}

{\ Displaystyle {\ точка {у}} = г (у)}

для некоторого гладкого ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}.}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Точка равновесия - это такая точка, что для данной точки равновесия всегда существует преобразование координат такое, что: ${\ displaystyle y ^ {*}}$ $у ^ {*}$ ${\ displaystyle g \ left (y ^ {*} \ right) = 0.}$ ${\ displaystyle g \ left (y ^ {*} \ right) = 0.}$ ${\ displaystyle y ^ {*},}$ ${\ displaystyle y ^ {*},}$ ${\ displaystyle x = yy ^ {*},}$ ${\ displaystyle x = yy ^ {*},}$

{\ displaystyle {\ begin {case} {\ dot {x}} = {\ dot {y}} = g (y) = g \ left (x + y ^ {*} \ right) = f (x) \ \ f (0) = 0 \ end {case}}}

{\ displaystyle {\ begin {case} {\ dot {x}} = {\ dot {y}} = g (y) = g \ left (x + y ^ {*} \ right) = f (x) \ \ f (0) = 0 \ end {case}}}

Таким образом, при изучении точек равновесия достаточно предположить, что точка равновесия находится в точке. ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$

По цепному правилу для любой функции производная по времени функции, вычисленной вдоль решения динамической системы, равна ${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R},}$

{\ displaystyle {\ dot {H}} = {\ frac {d} {dt}} H (x (t)) = {\ frac {\ partial H} {\ partial x}} \ cdot {\ frac {dx } {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ dot {x}} = \ nabla H \ cdot f (x).}

{\ displaystyle {\ dot {H}} = {\ frac {d} {dt}} H (x (t)) = {\ frac {\ partial H} {\ partial x}} \ cdot {\ frac {dx } {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ dot {x}} = \ nabla H \ cdot f (x).}

Функция определяется как локально положительно определенная функция (в смысле динамических систем), если и то, и другое существует окрестность начала координат, такая, что: ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ Displaystyle H (0) = 0}$ ${\ Displaystyle H (0) = 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$

{\ Displaystyle H (x)gt; 0 \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} \ setminus \ {0 \}.}

{\ Displaystyle H (x)gt; 0 \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} \ setminus \ {0 \}.}

Основные теоремы Ляпунова для автономных систем

Основная статья: Ляпуновская устойчивость

Пусть - состояние равновесия автономной системы ${\ displaystyle x ^ {*} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {*} = 0}$

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x).}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x).}

и используйте обозначение для обозначения производной по времени функции-кандидата Ляпунова: ${\ Displaystyle {\ точка {V}} (х)}$ ${\ Displaystyle {\ точка {V}} (х)}$ ${\ displaystyle V}$ $V$

{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = {\ frac {d} {dt}} V (x (t)) = {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}} = \ nabla V \ cdot {\ dot {x}} = \ nabla V \ cdot f (x).}

{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = {\ frac {d} {dt}} V (x (t)) = {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}} = \ nabla V \ cdot {\ dot {x}} = \ nabla V \ cdot f (x).}

Локально асимптотически устойчивое равновесие

Если равновесие изолировано, функция-кандидат Ляпунова является локально положительно определенной, а производная по времени функции-кандидата Ляпунова локально отрицательно определена: ${\ displaystyle V}$ $V$

{\ Displaystyle {\ точка {V}} (х) lt;0 \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} \ setminus \ {0 \}}

{\ dot {V}} (x) lt;0 \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} \ setminus \ {0 \}

для некоторой окрестности начала координат равновесие оказывается локально асимптотически устойчивым. ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$

Стабильное равновесие

Если - функция Ляпунова, то равновесие устойчиво по Ляпунову. Верно и обратное, что было доказано Дж. Л. Массера. ${\ displaystyle V}$ $V$

Глобально асимптотически устойчивое равновесие

Если функция-кандидат Ляпунова является глобально положительно определенной, радиально неограниченной, равновесие изолировано и производная по времени функции-кандидата Ляпунова является глобально отрицательно определенной: ${\ displaystyle V}$ $V$

{\ Displaystyle {\ точка {V}} (х) lt;0 \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \},}

{\ Displaystyle {\ точка {V}} (х) lt;0 \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \},}

то доказывается, что равновесие глобально асимптотически устойчиво.

Функция Ляпунова-кандидата радиально неограничена, если ${\ Displaystyle V (х)}$ $V (х)$

{\ Displaystyle \ | х \ | \ к \ infty \ Rightarrow V (x) \ к \ infty.}

\ | x \ | \ к \ infty \ Rightarrow V (x) \ to \ infty.

(Это также называется нормо-коэрцитивностью.)

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением на: ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ dot {x}} = - x.}

{\ dot {x}} = - х.

Учитывая, что начало координат всегда положительно, это естественный кандидат на роль функции Ляпунова, которая поможет нам в учебе. Так пусть на. Потом, ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $х ^ {2}$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ Displaystyle V (х) = х ^ {2}}$ ${\ Displaystyle V (х) = х ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = V '(x) {\ dot {x}} = 2x \ cdot (-x) = - 2x ^ {2} lt;0.}

{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = V '(x) {\ dot {x}} = 2x \ cdot (-x) = - 2x ^ {2} lt;0.}

Это правильно показывает, что указанное выше дифференциальное уравнение асимптотически устойчиво относительно начала координат. Отметим, что с помощью того же кандидата Ляпунова можно показать, что равновесие также глобально асимптотически устойчиво. ${\ displaystyle x,}$ $Икс,$

Смотрите также

использованная литература

Вайстейн, Эрик В. "Функция Ляпунова". MathWorld.
Халил, HK (1996). Нелинейные системы. Прентис-Холл, Верхняя Седл-Ривер, штат Нью-Джерси.
Ла Саль, Жозеф; Лефшец, Соломон (1961). Устойчивость прямым методом Ляпунова: с приложениями. Нью-Йорк: Academic Press.
Эта статья включает материал из функции Ляпунова в PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

внешние ссылки

Пример определения устойчивости равновесного решения системы ОДУ с функцией Ляпунова