Линейное матричное неравенство

редактировать

В выпуклой оптимизации, линейное матричное неравенство (LMI ) является выражением формы

LMI ⁡ (y): знак равно A 0 + y 1 A 1 + y 2 A 2 + ⋯ + ym A m ⪰ 0 {\ displaystyle \ operatorname {LMI} (y): = A_ {0} + y_ {1} A_ {1} + y_ {2} A_ {2} + \ cdots + y_ {m} A_ {m} \ successq 0 \,}

{\ displaystyle \ operatorname {LMI} (y): = A_ {0} + y_ {1} A_ {1} + y_ {2} A_ {2} + \ cdots + y_ {m} A_ {m} \ successq 0 \,}

где

$y = [yi, i = 1,…, m ] {\ displaystyle y = [y_ {i} \,, ~ i \! = \! 1, \ dots, m]}$ $y = [y_i \,, ~ я \! = \! 1, \ точки, м]$ - вещественный вектор,
$A 0, A 1, A 2,…, A m {\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, \ dots, A_ {m}}$ $A_0, A_1, A_2, \ dots, A_m$ равны $n × n {\ displaystyle n \ раз n}$ $n \ times n$ симметричные матрицы $S n {\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}$ $\ mathbb {S} ^ n$ ,
$B ⪰ 0 {\ displaystyle B \ successq 0}$ ${\ displaystyle B \ successq 0}$ обобщенное неравенство, означающее, что $B {\ displaystyle B}$ $B$ является положительной полуопределенной матрицей, принадлежащей положительному полуопределенному конусу $S + {\ displaystyle \ mathbb {S} _ {+}}$ $\ mathbb {S} _ +$ в подпространстве симметричных матриц $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ $\ mathbb {S}$ .

Это линейное матричное неравенство определяет выпуклое ограничение o н г

Содержание

Приложения

Существуют эффективные численные методы для определения того, LMI возможен (например, существует ли вектор y такой, что LMI (y) ≥ 0), или решить задачу выпуклой оптимизации с ограничениями LMI. Многие задачи оптимизации в теории управления, идентификации системы и обработке сигналов могут быть сформулированы с использованием LMI. Также LMI находят применение в полиномиальной сумме квадратов. Прототипная прямая и двойственная полуопределенная программа представляет собой минимизацию реальной линейной функции, соответственно, с учетом прямого и двойного выпуклых конусов, управляющих этим LMI.

Решение LMI

Главный прорыв в выпуклой оптимизации заключается во внедрении методов внутренней точки. Эти методы были разработаны в серии статей и вызвали настоящий интерес в контексте проблем LMI в работе Юрия Нестерова и Аркадия Немировского.

Литература

Ю. Нестеров, А. Немировский. Методы полиномов внутренних точек в выпуклом программировании. SIAM, 1994.

См. Также

Внешние ссылки