Аффинная кривизна

Специальная аффинная кривизна , также известная как равноугольная кривизна или аффинная кривизна , это особый тип кривизны, который определяется на плоскости кривой, которая остается неизменной при специальном аффинном преобразовании (аффинное преобразование, который сохраняет область ). Кривые постоянной эквиаффинной кривизны k - это в точности все неособые плоские коники. Те, у которых k>0, - это эллипсы, те, у которых k = 0, - параболы, а те, у которых k < 0 are гиперболы.

Обычная евклидова кривизна кривой в точке равна кривизна его соприкасающегося круга, уникального круга, образующего контакт второго порядка (имеющий трехточечный контакт) с кривой в точке. Точно так же особая аффинная кривизна кривой в точке P - это особая аффинная кривизна ее гипероскулирующей коники , которая является единственной коникой, образующей контакт четвертого порядка (имеющий пять точка контакта) с кривой в точке P. Другими словами, это предельное положение (единственной) коники, проходящей через точку P и четырех точек P 1, P 2, P 3, P 4 на кривой, когда каждая из точек приближается к P:

$P\; 1,\; P\; 2,\; P\; 3,\; P\; 4\; \to \; P.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\},\; P\_\; \{2\},\; P\_\; \{3\},\; P\_\; \{4\}\; \backslash \; to\; P.\}$

В некоторых контекстах аффинная кривизна относится к дифференциальному инварианту κ общая аффинная группа , которая может быть легко получена из специальной аффинной кривизны k с помощью κ = kdk / ds, где s - длина специальной аффинной дуги. Если общая аффинная группа не используется, специальная аффинная кривизна k иногда также называется аффинной кривизной (Широков 2001b) harv error: no target: CITEREFShirokov2001b (help ).

• 1 Формальное определение
  • 1.1 Специальная аффинная длина дуги
  • 1.2 Специальная аффинная кривизна
  • 1.3 Аффинная кривизна
• 2 Коники
• 3 Характеристика с точностью до аффинного сравнения
• 4 Получение искривление за счет аффинной инвариантности
• 5 Двигательная система человека
• 6 См. также
• 7 Ссылки

Специальная аффинная длина дуги

Чтобы определить особую аффинную кривизну, сначала необходимо определить специальную аффинную длину дуги (также называемую равной аффинной длиной дуги ). Рассмотрим аффинную плоскую кривую β (t). Выберите координаты для аффинной плоскости так, чтобы площадь параллелограмма, охваченного двумя векторами a = (a 1, a 2) и b = (b 1, b 2) задается определителем

$det\; [ab]\; =\; a\; 1\; b\; 2\; -\; a\; 2\; b\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\; b\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; -a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}.\}$

В частности, определитель

$det\; [d\; \beta \; dtd\; 2\; \beta \; dt\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\}\; \{dt\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

является четко определенным инвариантом специальной аффинной группы и дает площадь со знаком параллелограмма, охватываемую скоростью и ускорением кривой β. Рассмотрим повторную параметризацию кривой β, скажем, с новым параметром s, связанным с t, посредством регулярной повторной параметризации s = s (t). Этот детерминант затем подвергается преобразованию следующего вида по цепному правилу :

$det\; [d\; \beta \; dtd\; 2\; \beta \; dt\; 2]\; =\; det\; [d\; \beta \; dsdsdt\; (d\; 2\; \beta \; ds\; 2\; (dsdt)\; 2\; +\; d\; \beta \; dsd\; 2\; sdt\; 2)]\; =\; (dsdt)\; 3\; det\; [d\; \beta \; dsd\; 2\; \beta \; ds\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{ds\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{ds\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; beta\}\; \{ds\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{ds\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{ds\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; s\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{ds\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \backslash \; det\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{ds\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\}\; \{ds\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\; \}\}$

Повторную параметризацию можно выбрать так, чтобы

$det\; [d\; \beta \; dsd\; 2\; \beta \; ds\; 2]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{ds\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\}\; \{ds\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; 1\}$

при условии, что скорость и ускорение, dβ / dt и dβ / dt равны линейно независимый. Существование и уникальность такой параметризации следует из интегрирования:

$s\; (t)\; =\; \int \; a\; t\; det\; [d\; \beta \; d\; t\; d\; 2\; \beta \; d\; t\; 2]\; 3\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; \backslash \; beta\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; dt.\}$

Этот интеграл называется специальной аффинной длиной дуги , и кривая, несущая эту параметризацию, называется параметризованной относительно ее особой аффинной длины дуги.

Специальная аффинная кривизна

Предположим, что β (s) - это кривая, параметризованная ее специальной аффинной длиной дуги. Тогда специальная аффинная кривизна (или равноффинная кривизна ) задается как

$k\; (s)\; =\; det\; [\beta \; ″\; (s)\; \beta \; ‴\; (s)].\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (s)\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; beta\; \text{'}\text{'}\; (s)\; \backslash \; beta\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(s)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Здесь β' обозначает производную от β относительно s.

В более общем смысле (Guggenheimer 1977, §7.3; Blaschke 1923, §5) для плоской кривой с произвольной параметризацией

$t\; \mapsto \; (x\; (t),\; y\; (t)),\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; x\; (t),\; y\; (t)\; \{\backslash \; bigr)\},\}$

специальная аффинная кривизна:

$k\; (t)\; =\; x\; ″\; y\; ‴\; -\; x\; ‴\; y\; ″\; (x\; \prime \; y\; ″\; -\; x\; ″\; y\; \prime )\; 5\; 3\; -\; 1\; 2\; (1\; (x\; \prime \; y\; ″\; -\; x\; ″\; y\; \prime )\; 2\; 3)\; ″\; =\; 4\; (x\; ″\; y\; ‴\; -\; x\; ‴\; y\; ″)\; +\; (x\; \prime \; y\; ⁗\; -\; x\; ⁗\; y\; \prime )\; 3\; (x\; \prime \; y\; ″\; -\; x\; ″\; y\; \prime )\; 5\; 3\; -\; 5\; (x\; \prime \; y\; ‴\; -\; x\; ‴\; y\; \prime )\; 2\; 9\; (x\; \prime \; Y\; ″\; -\; x\; ″\; y\; \prime )\; 8\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; k\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\text{'}\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}-\; x\text{'}\; \text{'}\text{'}\; y\; \text{'}\text{'}\}\; \{\backslash \; left\; (\; x\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; -\; x\text{'}\text{'}y\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (x\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; -\; x\text{'}\text{'}y\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; right)\text{'}\; \text{'}\backslash \backslash \; [6px]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; left\; (x\text{'}\; \text{'}y\text{'}\; \text{'}\text{'}\; -\; x\; \text{'}\text{'}\; \text{'}y\text{'}\; \text{'}\backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (x\text{'}y\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \text{'}-\; x\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \text{'}y\text{'}\; \backslash \; right)\}\; \{3\; \backslash \; left\; (x\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; -\; x\text{'}\text{'}y\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{5\; \backslash \; left\; (x\text{'}y\text{'}\; \text{'}\text{'}\; -\; x\; \text{'}\text{'}\; \text{'}y\text{'}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \}\; \{9\; \backslash \; left\; (x\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; -\; x\text{'}\text{'}y\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

при условии, что первая и вторая производные от кривые линейно независимы. В частном случае графа y = y (x) эти формулы сводятся к

$k\; =\; -\; 1\; 2\; (1\; (y\; ″)\; 2\; 3)\; ″\; =\; y\; ⁗\; 3\; (y\; ″)\; 5\; 3\; -\; 5\; (y\; ‴)\; 2\; 9\; (y\; ″)\; 8\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (y\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2\}\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \text{'}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\}\; \{3\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{5\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{9\; \backslash \; left\; (y\text{'}\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{3\}\}\}\}\}$

где простое число обозначает дифференциацию по x (Blaschke 1923, §5; Shirokov 2001a harvnb error: no target: CITEREFShirokov2001a (help )).

Аффинная кривизна

Предположим, как указано выше, что β (s) - это кривая, параметризованная специальной аффинной длиной дуги. Есть пара инвариантов кривой, инвариантных относительно полной общей аффинной группы (Широков 2001b) harv error: no target: CITEREFShirokov2001b (help ) - группа всех аффинных движения самолета, а не только те, которые сохраняют площадь. Первый из них -

$\sigma \; =\; \int \; k\; (s)\; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\; (s)\}\}\; \backslash ,\; ds,\}$

, иногда называемый аффинной длиной дуги (хотя это рискует ошибиться со специальной аффинной длиной дуги, описанной выше). Второй называется аффинной кривизной:

$\kappa \; =\; k\; -\; 3\; 2\; d\; k\; d\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; k\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dk\}\; \{ds\}\}.\}$

Предположим, что β (s) равно кривая, параметризованная специальной аффинной длиной дуги с постоянной аффинной кривизной k. Пусть

$C\; \beta \; (s)\; =\; [\beta \; \prime \; (s)\; \beta \; ″\; (s)].\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; beta\; \text{'}(s)\; \backslash \; beta\text{'}\; \text{'}(s)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Обратите внимание, что det (C β) = 1, поскольку предполагается, что β несет специальную параметризацию аффинной длины дуги, и что

$k\; =\; det\; (C\; \beta \; \text{'}).\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \text{'}\backslash \; right).\; \backslash ,\}$

Из формы C β следует, что

$C\; \beta \; \prime \; =\; C\; \beta \; [0\; -\; k\; 1\; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \text{'}=\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -k\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Применяя подходящее специальное аффинное преобразование, мы можем организовать это C β (0) = I - единичная матрица. Поскольку k константа, отсюда следует, что C β задается экспоненциальной матрицей

$C\; \beta \; (s)\; =\; exp\; \; \{s\; \cdot \; [0\; -\; k\; 1\; 0]\}\; =\; [cos\; \; ksk\; sin\; \; ks\; -\; 1\; k\; sin\; \; ks\; cos\; \; ks].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; (s)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; \backslash \; \{s\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -k\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

три случая теперь следующие.

k = 0

Если кривизна одинаково равна нулю, то при переходе к пределу

$C\; \beta \; (s)\; =\; [1\; 0\; s\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; (s)\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; s\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

, поэтому β ′ (s) = (1, s), и поэтому интегрирование дает

$\beta \; (s)\; =\; (s,\; s\; 2\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; (s)\; =\; \backslash \; left\; (s,\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

до общего преобразования константы, который является специальным аффинным параметризация параболы y = x / 2.

k>0

Если специальная аффинная кривизна положительна, то отсюда следует, что

$\beta \; \prime \; (s)\; =\; (cos\; \; ks,\; 1\; k\; sin\; \; ks)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \text{'}(s)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; right)\}$

так, чтобы

$\beta \; (s)\; =\; (1\; k\; sin\; \; ks,\; -\; 1\; k\; cos\; \; ks)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; (s)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; right)\}$

с точностью до сдвига, который является специальной аффинной параметризацией эллипса kx + ky = 1.

k < 0

Если k отрицательно, то тригонометрические функции в C β уступают место гиперболическим функциям :

$C\; \beta \; (s)\; =\; [ch\; \; |\; k\; |\; с\; |\; k\; |\; sinh\; \; |\; k\; |\; с\; 1\; |\; k\; |\; sinh\; \; |\; k\; |\; s\; ch\; \; |\; k\; |\; s].\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cosh\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash ,\; s\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash \; sinh\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\; \}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\}\; \backslash \; sinh\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; cosh\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Таким образом,

$\beta \; (s)\; =\; (1\; |\; k\; |\; sinh\; \; |\; k\; |\; s,\; 1\; |\; k\; |\; cosh\; \; |\; k\; |\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; (\; s)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\}\; \backslash \; sinh\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash ,\; s,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash \; cosh\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; k\; |\}\}\; \backslash ,\; s\; \backslash \; right)\}$

до перевода, который является специальной аффинной параметризацией гиперболы

$-\; |\; k\; |\; х\; 2\; +\; |\; k\; |\; 2\; y\; 2\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; |\; k\; |\; x\; ^\; \{2\}\; +\; |\; k\; |\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1.\}$

специальная аффинная кривизна погруженной кривой является единственным (локальным) инвариантом кривой в следующем смысле:

• Если две кривые имеют одинаковую особую аффинную кривизну в каждой точке, то одна кривая получается из другой с помощью специальное аффинное преобразование.

На самом деле имеет место чуть более сильное утверждение:

• Для любой непрерывной функции k: [a, b] → R существует кривая β, первая и вторая производные которой равны линейно независимая, такая, что специальная аффинная кривизна β относительно специальной аффинной параметризации равна заданной функции k. Кривая β определяется однозначно с точностью до специального аффинного преобразования.

Это аналогично основной теореме о кривых в классической евклидовой дифференциальной геометрии кривых, в которой полная классификация плоских кривых с точностью до Евклидово движение зависит от единственной функции κ - кривизны кривой. По сути, это следует из применения теоремы Пикара – Линделёфа к системе

$C\; \beta \; \prime \; =\; C\; \beta \; [0\; -\; k\; 1\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \text{'}=\; C\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -k\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

где C β = [β ′ β ″]. Альтернативный подход, основанный на теории движущихся систем, заключается в применении существования примитива для производной Дарбу.

специальная аффинная кривизна может быть явно получена методами теории инвариантов. Для простоты предположим, что аффинная плоская кривая задана в виде графика y = y (x). Специальная аффинная группа действует на декартовой плоскости посредством преобразований вида

$x\; \mapsto \; ax\; +\; by\; +\; \alpha \; y\; \mapsto \; cx\; +\; dy\; +\; \beta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; \backslash \; mapsto\; ax\; +\; by\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; mapsto\; cx\; +\; dy\; +\; \backslash \; beta,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с ad - bc = 1. Следующие векторные поля охватывают алгебру Ли инфинитезимальных генераторов. специальной аффинной группы:

$T\; 1\; =\; \partial \; x,\; T\; 2\; =\; \partial \; y\; X\; 1\; =\; x\; \partial \; y,\; X\; 2\; =\; y\; \partial \; x,\; H\; =\; x\; \partial \; x\; -\; y\; \partial \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; T\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\},\; \backslash \; quad\; T\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{1\}\; =\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; y\},\; \backslash \; quad\; X\_\; \{2\}\; =\; y\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\},\; H\; =\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -y\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Аффинное преобразование действует не только на точки, но и на касательные к графам вида y = y (x). То есть существует действие специальной аффинной группы на тройках координат (x, y, y ′). Групповое действие генерируется векторными полями

$T\; 1\; (1),\; T\; 2\; (1),\; X\; 1\; (1),\; X\; 2\; (1),\; H\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{1\}\; ^\; \{(1)\},\; T\_\; \{2\}\; ^\; \{(1)\},\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{(1)\},\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{(1)\},\; H\; ^\; \{(1)\}\}$

, определенные на пространство трех переменных (x, y, y ′). Эти векторные поля могут определяться следующими двумя требованиями:

• При проекции на плоскость xy они должны проецироваться на соответствующие исходные генераторы действия T 1, T 2, X 1, X 2, H соответственно.
• Векторы должны сохранять до масштабирования структуру контактов реактивное пространство

$\theta \; 1\; =\; dy\; -\; y\; \prime \; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; =\; dy-y\; \text{'}\backslash ,\; dx.\}$

Конкретно это означает, что образующие X должны удовлетворять

$LX\; (1)\; \theta \; 1\; \equiv \; 0\; (mod\; \theta \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{X\; ^\; \{(1)\}\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\}\}$

где L - производная Ли.

Аналогично, действие группы может быть расширено на пространство любого числа производных (x, y, y ′, y ″,…, y).

Продолженные векторные поля, порождающие действие специальной аффинной группы, должны тогда индуктивно удовлетворять для каждого генератора X ∈ {T 1, T 2, X 1, X 2, H}:

• Проекция X на пространство переменных (x, y, y ′,…, y) есть X.
• X сохраняет контактный идеал:

$LX\; (k)\; \theta \; k\; \equiv \; 0\; (mod\; \theta \; 1,\dots ,\; \theta \; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{X\; ^\; \{(k)\}\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{k\}\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; theta\; \_\; \{k\}\}\}\}$

где

$\theta \; i\; =\; dy\; (i\; -\; 1)\; -\; y\; (i)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\; =\; dy\; ^\; \{(i-1)\}\; -\; y\; ^\; \{(i)\}\; dx.\}$

Проведение индуктивного построения до порядка 4 дает

$T\; 1\; (4)\; =\; \partial \; x,\; T\; 2\; (4)\; =\; \partial \; y\; X\; 1\; (4)\; =\; x\; \partial \; y\; +\; \partial \; y\; \prime \; X\; 2\; (4)\; =\; y\; \partial \; x\; -\; y\; \prime \; 2\; \partial \; y\; \prime \; -\; 3\; y\; \prime \; y\; ″\; \partial \; y\; ″\; -\; (3\; y\; ″\; 2\; +\; 4\; y\; \prime \; y\; ‴)\; \partial \; y\; ‴\; -\; (10\; y\; ″\; y\; ‴\; +\; 5\; y\; \prime \; y\; ⁗)\; \partial \; y\; ⁗\; H\; (4)\; =\; x\; \partial \; x\; -\; y\; \partial \; y\; -\; 2\; y\; \prime \; \partial \; y\; \prime \; -\; 3\; y\; ″\; \partial \; y\; ″\; -\; 4\; y\; ‴\; \partial \; y\; ‴\; -\; 5\; y\; ⁗\; \partial \; y\; ⁗.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; T\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\},\; \backslash \; qquad\; T\_\; \{2\}\; ^\; \{(4)\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\}\; =\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \text{'}\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{2\}\; ^\; \{(4)\}\; =\; y\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -y\text{'}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \text{'}\}\; -\; 3y\text{'}y\text{'}\; \text{'}\backslash \; partial\; \_\; \{y\text{'}\; \text{'}\}\; -\; \backslash \; left\; (3y\text{'}\; \text{'}^\; \{2\}\; +\; 4y\text{'}y\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; right)\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\}\; -\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; 10y\text{'}\text{'}y\text{'}\; \text{'}\text{'}\; +\; 5y\text{'}\text{'}y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\}\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{(4)\}\; =\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -y\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; -2y\; \text{'}\backslash \; partial\; \_\; \{y\text{'}\}\; -\; 3y\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \text{'}\text{'}\}\; -\; 4y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\backslash \; partial\; \_\; \{y\text{'}\; \text{'}\text{'}\}\; -5y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Специальная аффинная кривизна

$k\; =\; y\; ⁗\; 3\; (y\; ″)\; 5\; 3\; -\; 5\; (Y\; ‴)\; 2\; 9\; (y\; ″)\; 8\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\}\; \{3\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{5\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{9\; \backslash \; left\; (y\text{'}\; \text{'}\backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{3\}\}\}\}\}$

не зависит явно от x, y или y 'и поэтому удовлетворяет

$T\; 1\; (4)\; k\; =\; T\; 2\; (4)\; k\; =\; X\; 1\; (4)\; k\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\}\; k\; =\; T\_\; \{2\}\; ^\; \{(4)\}\; k\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\}\; k\; =\; 0.\}$

Векторное поле H действует по диагонали как модифицированное, и оно легко проверить, что Hk = 0. Наконец,

$X\; 2\; (4)\; k\; =\; 1\; 2\; [H,\; X\; 1]\; (4)\; k\; =\; 1\; 2\; [\; ЧАС\; (4),\; Икс\; 1\; (4)]\; k\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{(4)\}\; k\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [H,\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; справа]\; ^\; \{(4)\}\; k\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [H\; ^\; \{(4)\},\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\}\; \backslash \; right]\; k\; =\; 0.\}$

Пять векторных полей

$T\; 1\; (4),\; T\; 2\; (4),\; X\; 1\; (4),\; X\; 2\; (4),\; H\; (4)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\},\; T\_\; \{2\}\; ^\; \{(4)\},\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{(4)\},\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{(4)\},\; H\; ^\; \{(4)\}\}$

образуют инволютивное распределение на (открытое подмножество) R , так что по теореме интегрирования Фробениуса они локально интегрируются, давая слоение R на пятимерные листы. Конкретно, каждый лист является локальной орбитой специальной аффинной группы. Функция k параметризует эти листья.

Криволинейные двухмерные движения человека при рисовании имеют тенденцию следовать эквиаффинной параметризации. Это более широко известно как степенной закон двух третей , согласно которому скорость руки пропорциональна евклидовой кривизне, возведенной в минус третью степень. А именно,

$v\; =\; \gamma \; \kappa \; -\; 1\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; kappa\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\},\}$

где v - скорость руки, κ - евклидова кривизна, а γ - постоянная величина, называемая коэффициентом увеличения скорости.

• Аффинная геометрия кривых
• Аффинная сфера

• Бляшке, Вильгельм (1923), Affine Differentialgeometrie, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstst. II , Берлин: Springer-Verlag OHG
• Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry, New York: Dover Publications, ISBN 978 -0-486-63433-3
• Широков А.П. (2001a) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
• Широков А.П. (2001b) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (том 2), Хьюстон, Техас: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3