Войти
В философии математики абстракция из актуального бесконечность предполагает принятие (если включена аксиома бесконечности ) бесконечных сущностей как заданных, фактических и завершенных объектов. Сюда может входить набор натуральных чисел, расширенных действительных чисел, трансфинитных чисел или даже бесконечная последовательность рациональных чисел. Фактическая бесконечность должна быть противопоставлена потенциальной бесконечности, в которой непрерывный процесс (например, «прибавить 1 к предыдущему числу») производит последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен. и достигается за конечное число шагов. В результате потенциальная бесконечность часто формализуется с использованием концепции предела.
Древнегреческий термин для обозначения потенциальной или несобственной бесконечности был apeiron (неограниченный или неопределенный), в отличие от действительного или надлежащего бесконечного афоризма. Апейрон противостоит тому, что имеет peras (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечным и фактически бесконечным соответственно.
Анаксимандр (610–546 до н.э.) считал апейрон принципом или главным элементом, составляющим все вещи. Ясно, что «апейрон» был своего рода основным веществом. Платон рассматривает апейрон более абстрактно, имея дело с неопределенной изменчивостью. Основные диалоги, в которых Платон обсуждает «апейрон», - это поздние диалоги «Парменид» и «Филеб».
Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:
«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они действительно не рассматривать число как отдельное от них) и утверждать, что то, что находится за пределами неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, считает, что снаружи нет тела (формы не находятся снаружи, потому что они нигде), но что бесконечное присутствует не только в чувственных объектах, но и в формах ». (Аристотель)
Эта тема была выдвинута при рассмотрении Аристотелем апейрона - в контексте математики и физики (изучения природы):
«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что люди говорят. Бесконечно не «то, что не имеет ничего сверх себя», а «то, что всегда имеет что-то за пределами себя» ». (Аристотель)
Вера в существование бесконечности происходит главным образом из пяти соображений:
Аристотель постулировал, что действительная бесконечность невозможна, потому что если бы это было возможно, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше, чем небо». Однако, по его словам, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам не нужно было бесконечное для своих теорем, а только конечная, произвольно большая величина.
Аристотель занимался темой бесконечности в физике и метафизике. Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определена и состоит из бесконечного множества элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы можно добавлять всегда, но никогда не бывает бесконечно много.
«Ибо обычно бесконечное имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другой, и каждая вещь, которая берется, всегда конечна, но всегда различна».
— Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.Аристотель различал бесконечность в отношении сложения и деления.
Но у Платона есть две бесконечности: Большая и Малая.
— Физика, книга 3, глава 4.«В качестве примера потенциально бесконечного ряда в отношении увеличения, одно число всегда может быть добавлено за другим в серии, которая начинается с 1,2,3,... но процесс добавления все большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен. "
Что касается деления, потенциально бесконечная последовательность делений может начинаться, например, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс разделения нельзя исчерпать или завершить.
«Потому что тот факт, что процесс разделения никогда не заканчивается, гарантирует, что эта деятельность существует потенциально, но не то, что бесконечное существует отдельно».
— Метафизика, книга 9, глава 6.схоластические философыПодавляющее большинство схоластических философов придерживались девиза Infinitum act non datur. Это означает, что существует только (развивающаяся, несобственная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность, но не актуальная бесконечность (фиксированная, собственная, «категорематическая»). Однако были исключения, например, в Англии.
«Хорошо известно, что в средние века все схоластические философы отстаивали« infinitum act non datur »Аристотеля как неопровержимый принцип». (Дж. Кантор )
Количество точек в отрезке длиной в один элемент является его истинной мерой. (Р. Гроссетест [9, стр. 96])
Фактическая бесконечность существует в число, время и количество. (J. Baconthorpe [9, p. 96])
В эпоху Возрождения и в начале нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редкими.
Континуум фактически состоит из бесконечного множества неделимые (Г. Галилей [9, с. 97])
Я так сторонник актуальной бесконечности. (Г.В. Лейбниц [9, с. 97])
Большинство согласилось с известной цитатой Гаусса:
Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то завершенного, что никогда не допустимо в математике. Бесконечность - это просто способ выражения, истинное значение которого - предел, который одни коэффициенты приближаются к неопределенно близким, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. (К.Ф. Гаусс [в письме Шумахеру, 12 июля 1831 г.])
Резкое изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 век.
Бернар Больцано, который ввел понятие множества (на немецком языке: Menge), и Георг Кантор, представивший теорию множеств, выступили против общей позиции. Кантор выделил три области бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «absolutum»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и множества математики..
Множество, превышающее любое конечное множество, то есть множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является только его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])
Фокусов вдвое больше, чем центров эллипсов. (Б. Больцано [2a, § 93])
Соответственно, я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена Богом и его атрибутами, и сотворенную бесконечность, или transfinitum, которая должна использоваться везде в сотворенной природе. Фактическая бесконечность должна быть замечена, например, в отношении, по моему твердому убеждению, действительно бесконечного числа сотворенных индивидуумов как во Вселенной, так и на нашей Земле и, наиболее вероятно, даже в каждом сколь угодно маленьком протяженном кусочке пространство. (Георг Кантор) (Г. Кантор [8, с. 252])
Одно доказательство основано на понятии Бога. Во-первых, исходя из высочайшего совершенства Бога, мы делаем вывод о возможности создания трансфинитного, затем, исходя из Его милосердия и великолепия, мы делаем вывод о необходимости того, что создание трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])
Числа - свободное творение человеческого разума. (Р. Дедекинд [3a, стр. III])
Оппозиция школы интуиционистовМатематическое значение термина «актуальный» в актуальной бесконечностиявляется синонимом определенного, завершенного, расширенногоили экзистенциального, но не может быть ошибочно принят за физически существующий. Следовательно, вопрос о том, натуральные или действительные числа образуют определенные множества, не зависит от вопроса о том, существуют ли бесконечные вещи физически в природе.
Сторонники интуиционизма, начиная с Кронекера и далее, отвергают утверждение, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не допустить существования актуальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ действительно допускает существование завершенной бесконечности целых чисел.
Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциальная; термины, синонимичные этому понятию, становятся конструктивными. Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную« ленту », (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку вдоль нее за конечное число шагов: следовательно, лента только «потенциально» бесконечна, поскольку, хотя всегда есть возможность сделать следующий шаг, сама бесконечность никогда не достигается.
Математики обычно принимают действительные бесконечности. Георг Кантор - наиболее выдающийся математик, защищавший актуальные бесконечности, приравнивая Абсолютное Бесконечное к Богу. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что актуальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то он не участвует ни в каком противоречие.
Философская проблема актуальной бесконечности состоит в том, является ли понятие связным и эпистемически правильным.
Классическая теория множествКлассическая теория множеств принимает понятие актуальных, завершенных бесконечностей. Однако некоторые финитисты философы математики и конструктивисты возражают против этого понятия.
Если положительное число n становится бесконечно большим, выражение 1 / n обращается в ноль (или становится бесконечно малым). В этом смысле говорят о несобственном или потенциально бесконечном. В резком и ясном контрасте только что рассмотренное множество представляет собой легко законченное, замкнутое бесконечное множество, зафиксированное в себе, содержащее бесконечно много точно определенных элементов (натуральных чисел) ни больше ни меньше. (А. Френкель [4, с. 6])
Таким образом, покорение актуальной бесконечности можно считать расширением нашего научного горизонта не менее революционным, чем система Коперника или чем теория относительности или даже квантовая и ядерная физика. (А. Френкель [4, с. 245])
Взглянуть на вселенную всех множеств не как на фиксированную сущность, а как на сущность, способную «расти», т.е. мы способны «производить» все больше и больше. наборы. (А. Френкель и др. [5, с. 118])
(Брауэр ) утверждает, что настоящий континуум, который не перечислим, может быть получен как среда свободного развития; другими словами, помимо точек, которые существуют (готовы) в силу их определения законами, такими как e, pi и т. д., другие точки континуума не готовы, а развиваются как так называемые последовательности выбора. (А. Френкель и др. [5, с. 255])
Интуиционисты отвергают само понятие произвольной последовательности целых чисел как обозначение чего-то законченного и определенного как незаконного. Такая последовательность считается только растущим объектом, а не законченным. (А. Френкель и др. [5, с. 236])
До тех пор никто не предполагал возможности того, что бесконечности бывают разных размеров, и, более того, математики не использовали «актуальную бесконечность». Аргументы, использующие бесконечность, включая дифференциальное исчисление Ньютона и Лейбница, не требуют использования бесконечных множеств. (Т. Джех [1] )
Благодаря гигантским одновременным усилиям Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное взошло на трон и упивалось всем своим триумф. В своем смелом полете бесконечное достигло головокружительных высот успеха. (Д. Гильберт [6, с. 169])
Одна из самых энергичных и плодотворных областей математики [...] рай, созданный Кантором, из которого никто никогда не изгнал нас [...] самый замечательный цветок математического разума и в целом одно из выдающихся достижений чисто интеллектуальной деятельности человека (Д. Гильберт о теории множеств [6])
Наконец, давайте вернемся к нашей исходной теме и сделаем вывод из всех наших размышлений о бесконечном. Общий результат таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет ни в природе, ни в качестве основа нашего рационального мышления - замечательная гармония между бытием и мышлением. (Д. Гильберт [6, 190])
Бесконечные совокупности не существуют ни в каком смысле слова (то есть реально или идеально). Точнее, любое упоминание или предполагаемое упоминание бесконечных тотальностей буквально бессмысленно. (А. Робинсон [10, стр. 507])
В самом деле, я думаю, что существует реальная необходимость, в формализме и в других областях, связать наше понимание математики с нашим пониманием физического мира.. (А. Робинсон)
Грандиозный мета-рассказ Георга Кантора, Теория множеств, созданный им почти в одиночку в течение примерно пятнадцати лет, больше похож на произведение высокого искусства, чем на научную теорию. (Ю. Манин [2] )
Таким образом, изысканный минимализм выразительных средств используется Кантором для достижения возвышенной цели: постижения бесконечности, а точнее бесконечности бесконечностей. (Ю. Манин [3] )
Не существует актуальной бесконечности, которую канторианцы забыли и попали в ловушку противоречий. (Х. Пуанкаре [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. Morale 14(1906) стр. 316])
Когда предметом обсуждения являются лингвистические сущности [...], то этот набор сущностей может изменяться в результате обсуждения их. Следствием этого является что «натуральные числа» сегодняшнего дня - не то же самое, что «натуральные числа» вчерашнего дня. (Д. Айлз [4] )
Есть по крайней мере два разных взгляда на числа: как на завершенные бесконечность и как неполная бесконечность... рассмотрение чисел как неполной бесконечности предлагает жизнеспособную и интересную альтернативу рассмотрению чисел как завершенную бесконечность, которая ведет к большим упрощениям в некоторых областях математики, и это тесно связано с проблемами вычислительной сложности. (Э. Нельсон [5] )
В эпоху Возрождения, особенно с Бруно, актуальная бесконечность переходит от Бога к миру. Конечные мировые модели современной науки ясно показывают, как эта сила Идея актуальной бесконечности перестала существовать с классической (современной) физикой. В этом аспекте включение актуальной бесконечности в математику, которое явно началось с Г. Кантора только в конце прошлого века, кажется неудовлетворительным. наш век... актуальная бесконечность производит впечатление анахронизма. (П. Лоренцен [6] )
См. такжеСсылкиИсточники
- «Бесконечность» в архиве истории математики MacTutor, в которых рассматривается история понятия бесконечности, включая проблему актуальной бесконечности.
- Аристотель, Physics [7]
- Бернар Больцано, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Reclam, Leipzig.
- Бернар Больцано 1837, Wi ssenschaftslehre, Sulzbach.
- Георг Кантор в E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Phillophischen Inhalts, Olms, Hildesheim.
- Ричард Дедекинд в 1960 г. Was sind und was sollen die Zahlen ?, Vieweg, Braunschweig.
- Adolf Abraham Fraenkel 1923, Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin.
- Адольф Абрахам Френкель, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Foundations of Set Theory, 2-е изд., Северная Голландия, Амстердам, Нью-Йорк.
- Стивен К. Клини 1952 (издание 1971 года, 10-е издание), Введение в метаматематику, издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк. ISBN 0-444-10088-1.
- H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
- H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, Georg Cantor-Briefe, Springer, Berlin.
- Abraham Robinson 1979, Selected Papers, Vol. 2, W.A.J. Люксембург, С. Кернер (Hrsg.), Северная Голландия, Амстердам.
![[6]](http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/lor01.gif){kind=link}