Абсолютная бесконечность

Абсолютная бесконечность(символ: Ω) является расширением идеи бесконечности, предложенной математиком Георг Кантор.

Его можно представить как число, которое больше любой мыслимой или немыслимой величины, конечной или трансфинитной.

Кантор связал Абсолютное Бесконечное с Богом, и считал, что у него есть различные математические свойства, включая принцип отражения : каждое свойство Абсолютного Бесконечного также поддерживается некоторым меньшим объектом.

• 1 Кантора. точка зрения
• 2 Парадокс Бурали-Форти
• 3 См. также
• 4 Примечания
• 5 Библиография

Кантор сказал:

Действительное бесконечное различалось тремя отношения: во-первых, как это реализуется в высшем совершенстве, в полностью независимом, внеземирном существовании, в Део, где я называю это абсолютным бесконечным или просто абсолютным; во-вторых, в той степени, в которой он представлен в зависимом, творческом мире; в-третьих, поскольку это может быть задумано in abstracto в мышлении как математическая величина, число или тип порядка. В двух последних отношениях, где оно явно проявляется как ограниченное и способное к дальнейшему распространению и, следовательно, знакомое конечному, я называю его Transfinitum и резко противопоставляю его абсолюту.

Кантор также упомянул о идея в его письмах к Ричарду Дедекинду (текст в квадратных скобках отсутствует в оригинале):

A множественность называется хорошо упорядоченной, если она удовлетворяет условию, что каждая подпрограмма -множественность имеет первый элемент ; такую ​​множественность я для краткости называю «последовательностью»........ Теперь я представляю себе систему всех [порядковых] чисел и обозначаю ее Ω........ Система Ω в ее естественном порядке по величине является «последовательностью».. Теперь добавим к этой последовательности 0 как дополнительный элемент и поместим его, очевидно, на первую позицию ; то получаем последовательность Ω ′:.. 0, 1, 2, 3,... ω 0 , ω 0 +1,..., γ ,.... из которых легко убедиться, что каждое число γ, встречающееся в нем, является типом [т. Е. Порядковым типом] последовательности всех его предшествующих элементов (включая 0). (Последовательность Ω имеет это свойство сначала для ω 0 +1. [Ω 0 +1 должно быть ω 0.]).. Теперь Ω ′ (а значит, и Ω) не может быть согласованной кратностью. Ведь если бы Ω ′ было непротиворечивым, то как хорошо упорядоченному множеству ему соответствовало бы число δ, которое было бы больше, чем все числа системы Ω; число δ, однако, также принадлежит системе Ω, поскольку включает в себя все числа. Таким образом, δ было бы больше, чем δ; противоречие. Следовательно:..

Система Ω всех [порядковых] чисел представляет собой противоречивую, абсолютно бесконечную множественность.

Парадокс Бурали-Форти

Идея, что совокупность всех порядковых чисел не может существовать логически, кажется Парадоксально для многих. Это связано с "парадоксом" Чезаре Бурали-Форти, который утверждает, что не может быть наибольшего порядкового числа. Все эти проблемы можно проследить до идеи, что для каждого свойства, которое может быть определено логически, существует набор всех объектов, обладающих этим свойством. Однако, как и в аргументе Кантора (выше), эта идея приводит к затруднениям.

В более общем плане, как отмечает А. У. Мур, не может быть конца процессу формирования множества, и, следовательно, не может быть такой вещи, как совокупность всех множеств или иерархия множеств. Любая такая совокупность сама должна быть набором, таким образом лежащим где-то в пределах иерархии и, таким образом, не может содержать каждый набор.

Стандартное решение этой проблемы находится в теории множеств Цермело, которая не допускает неограниченного формирования множеств из произвольных свойств. Скорее, мы можем сформировать набор всех объектов, которые обладают данным свойством и лежат в некотором данном наборе (аксиома разделения Цермело ). Это позволяет формировать наборы на основе свойств в ограниченном смысле, сохраняя при этом (надеюсь) непротиворечивость теории.

Хотя это решает логическую проблему, можно утверждать, что философская проблема остается. Кажется естественным, что группа индивидов должна существовать, пока существуют индивиды. Действительно, можно сказать, что наивная теория множеств основана на этом понятии. Хотя исправление Цермело позволяет классу описывать произвольные (возможно, «большие») объекты, эти предикаты метаязыка могут не существовать формально (т. Е. Как набор) в пределах теория. Например, класс всех наборов будет правильным классом. Некоторых это не устраивает с философской точки зрения и побудило к дополнительной работе по теории множеств и другим методам формализации основ математики, таким как Новые основы Уилларда Ван Ормана Куайна.

См. Также

• Актуальная бесконечность
• Ограничение размера
• Монадология
• Принцип отражения
• Предельное (философия)

Примечания

Библиография

• Роль абсолютной бесконечности в концепции множества
• Бесконечность и разум Кантора, Руди Ракер, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 1995, ISBN 0-691- 00172-3 ; ориг. паб. Бостон: Birkhäuser, 1982, ISBN 3-7643-3034-1.
• The Infinite, AW Moore, London, New York: Routledge, 1990, ISBN 0-415-03307-1.
• Теория множеств, парадокс Сколема и трактат, А.В. Мур, Анализ 45, # 1 (январь 1985), стр. 13–20.