Векторный лапласиан

редактировать

В математике и физике, то вектор оператор Лапласа, обозначаемое, названный в честь Пьера-Симона Лапласа, является дифференциальный оператор, определенный над векторным полем. Векторный лапласиан аналогичен скалярному лапласиану. В то время как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю, возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормированных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана. ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ набла ^ {2}$ применяется к каждому компоненту вектора.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Обобщение
2 Использование в физике
3 ссылки

Определение

Вектор лапласиана из векторного поля определяется как ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}).}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ mathbf {A}}).

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^ {2} A_ {y}, \ nabla ^ {2} A_ {z}), }

\ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^ {2} A_ {y}, \ nabla ^ {2} A_ {z}),

где, и - компоненты. Можно увидеть, что это частный случай формулы Лагранжа; см. тройное произведение вектора. ${\ displaystyle A_ {x}}$ $A_x$ ${\ displaystyle A_ {y}}$ $A_y$ ${\ displaystyle A_ {z}}$ $A_z$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$

Для выражения векторного лапласиана в других системах координат см. Del в цилиндрических и сферических координатах.

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля ( «тензор» включает в себя скалярное и векторное) определяется как дивергенции от градиента тензора: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ $\ mathbf {T}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}

В частном случае, когда - скаляр (тензор нулевой степени), лапласиан принимает знакомый вид. ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ $\ mathbf {T}$

Если - вектор (тензор первой степени), градиент представляет собой ковариантную производную, которая приводит к тензору второй степени, и дивергенция этого снова является вектором. Формула для векторного лапласиана, приведенная выше, может использоваться, чтобы избежать тензорной математики, и может быть показана как эквивалентная дивергенции матрицы Якоби, показанной ниже для градиента вектора: ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ $\ mathbf {T}$

{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} amp; T_ {xy} amp; T_ { xz} \\ T_ {yx} amp; T_ {yy} amp; T_ {yz} \\ T_ {zx} amp; T_ {zy} amp; T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {where}} T_ {uv} \ Equiv {\ frac {\ partial T_ {u}} {\ partial v}}.}

{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} amp; T_ {xy} amp; T_ { xz} \\ T_ {yx} amp; T_ {yy} amp; T_ {yz} \\ T_ {zx} amp; T_ {zy} amp; T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {where}} T_ {uv} \ Equiv {\ frac {\ partial T_ {u}} {\ partial v}}.}

И таким же образом скалярное произведение, которое оценивается как вектор, вектора градиентом другого вектора (тензор 2-й степени) можно рассматривать как произведение матриц:

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} amp; A_ {y} amp; A_ {z} \ end {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {x} amp; \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {y} amp; \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {z} \ end { bmatrix}}.}

{\ mathbf {A}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {B}} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} amp; A_ {y} amp; A_ {z} \ end {bmatrix}} \ nabla {\ mathbf {B }} = {\ begin {bmatrix} {\ mathbf {A}} \ cdot \ nabla B_ {x} amp; {\ mathbf {A}} \ cdot \ nabla B_ {y} amp; {\ mathbf {A}} \ cdot \ nabla B_ {z} \ end {bmatrix}}.

Эта идентичность является результатом, зависящим от координат, и не является общим.

Использование в физике

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского потока несжимаемой жидкости :

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} \ right) = \ rho \ mathbf {f} - \ nabla p + \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right),}

\ rho \ left ({\ frac {\ partial {\ mathbf {v}}} {\ partial t}} + ({\ mathbf {v}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {v}} \ right) = \ rho {\ mathbf {f}} - \ nabla p + \ mu \ left (\ nabla ^ {2} {\ mathbf {v}} \ right),

где член с вектором лапласианом скорости поля представляет собой вязкие напряжения в жидкости. ${\ displaystyle \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right)}$ $\ mu \ left (\ nabla ^ 2 \ mathbf {v} \ right)$

Другой пример - волновое уравнение для электрического поля, которое может быть получено из уравнений Максвелла в отсутствие зарядов и токов:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2 }}} = 0.}

\ nabla ^ 2 \ mathbf {E} - \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf {E}} {\ partial t ^ 2} = 0.

Предыдущее уравнение также можно записать как:

{\ Displaystyle \ Box \, \ mathbf {E} = 0,}

\ Box \, \ mathbf {E} = 0,

где

{\ Displaystyle \ Box \ Equiv {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}, }

\ Box \ Equiv \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} - \ nabla ^ 2,

- даламбертиан, используемый в уравнении Клейна – Гордона.

Ссылки