Стохастическая волатильность

редактировать

В статистике стохастической волатильностью модели являются те, в которых дисперсия из стохастического процесса является сам случайным образом распределены. Они используются в области математических финансов для оценки производных ценных бумаг, таких как опционы. Название происходит от лечения на основе имеющихся моделей, лежащих в основе ценной бумаги волатильности как случайный процесс, регулируется переменными состояния, такие как уровень цен базового актива, тенденция волатильности вернуться к какой - то долгосрочной перспективе среднего значения, и дисперсии в сам процесс волатильности, среди прочего.

Модели стохастической волатильности - это один из подходов к устранению недостатков модели Блэка – Шоулза. В частности, модели, основанные на модели Блэка-Шоулза, предполагают, что базовая волатильность постоянна в течение срока действия производного инструмента и не зависит от изменений уровня цен базовой ценной бумаги. Однако эти модели не могут объяснить давно наблюдаемые особенности поверхности подразумеваемой волатильности, такие как улыбка и перекос волатильности, которые указывают на то, что подразумеваемая волатильность имеет тенденцию меняться в зависимости от цены исполнения и срока истечения. Предполагая, что волатильность базовой цены является случайным процессом, а не константой, становится возможным более точное моделирование производных финансовых инструментов.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Базовая модель
- 1.1 Модель Хестона
- 1.2 Модель CEV
- 1.3 Модель волатильности SABR
- 1.4 Модель GARCH
- Модель 1,5 3/2
2 Калибровка и оценка
3 См. Также
4 ссылки
5 Источники

Базовая модель

Исходя из подхода постоянной волатильности, предположим, что цена базового актива производного инструмента соответствует стандартной модели геометрического броуновского движения :

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t} \,}

dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t} \,

где - постоянный дрейф (т.е. ожидаемая доходность) цены ценной бумаги, - постоянная волатильность, и это стандартный винеровский процесс с нулевым средним и единичной скоростью отклонения. Явное решение этого стохастического дифференциального уравнения есть ${\ displaystyle \ mu \,}$ $\ му \,$ ${\ displaystyle S_ {t} \,}$ $S_ {t} \,$ ${\ Displaystyle \ sigma \,}$ $\ сигма \,$ ${\ displaystyle dW_ {t} \,}$ $dW_ {t} \,$

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} e ^ {(\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}) t + \ sigma W_ {t}}.}

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} e ^ {(\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}) t + \ sigma W_ {t}}.}

Оценка максимального правдоподобия для оценки постоянной волатильности для данных цен акций в разное время: ${\ Displaystyle \ sigma \,}$ $\ сигма \,$ ${\ displaystyle S_ {t} \,}$ $S_ {t} \,$ ${\ displaystyle t_ {i} \,}$ $t_ {i} \,$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ sigma}} ^ {2} amp; = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ гидроразрыв {(\ ln S_ {t_ {i}} - \ ln S_ {t_ {i-1}}) ^ {2}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} \ right) - {\ гидроразрыв {1} {n}} {\ frac {(\ ln S_ {t_ {n}} - \ ln S_ {t_ {0}}) ^ {2}} {t_ {n} -t_ {0}}} \\ amp; = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (t_ {i} -t_ {i-1}) \ left ({\ frac {\ ln {\ гидроразрыв {S_ {t_ {i}}} {S_ {t_ {i-1}}}}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} - {\ frac {\ ln {\ frac {S_ { t_ {n}}} {S_ {t_ {0}}}}} {t_ {n} -t_ {0}}} \ right) ^ {2}; \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ sigma}} ^ {2} amp; = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ гидроразрыв {(\ ln S_ {t_ {i}} - \ ln S_ {t_ {i-1}}) ^ {2}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} \ right) - {\ гидроразрыв {1} {n}} {\ frac {(\ ln S_ {t_ {n}} - \ ln S_ {t_ {0}}) ^ {2}} {t_ {n} -t_ {0}}} \\ amp; = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (t_ {i} -t_ {i-1}) \ left ({\ frac {\ ln {\ гидроразрыв {S_ {t_ {i}}} {S_ {t_ {i-1}}}}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} - {\ frac {\ ln {\ frac {S_ { t_ {n}}} {S_ {t_ {0}}}}} {t_ {n} -t_ {0}}} \ right) ^ {2}; \ end {align}}}

его ожидаемое значение является ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ widehat {\ sigma}} ^ {2} \ right] = {\ frac {n-1} {n}} \ sigma ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ widehat {\ sigma}} ^ {2} \ right] = {\ frac {n-1} {n}} \ sigma ^ {2}.}$

Эта базовая модель с постоянной волатильности является отправной точкой для нестохастических моделей волатильности, таких как модель Блэка-Шоулза и модель Кокса-Росса-Рубинштейна. ${\ Displaystyle \ sigma \,}$ $\ сигма \,$

Для модели стохастической волатильности замените постоянную волатильность функцией, моделирующей дисперсию. Эта функция дисперсии также моделируется как броуновское движение, и ее форма зависит от конкретной исследуемой модели SV. ${\ Displaystyle \ sigma \,}$ $\ сигма \,$ ${\ Displaystyle \ ню _ {т} \,}$ $\орех}\,$ ${\ displaystyle S_ {t} \,}$ $S_ {t} \,$ ${\ Displaystyle \ ню _ {т} \,}$ $\орех}\,$

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + {\ sqrt {\ nu _ {t}}} S_ {t} \, dW_ {t} \,}

dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + {\ sqrt {\ nu _ {t}}} S_ {t} \, dW_ {t} \,

{\ Displaystyle д \ ню _ {т} = \ альфа _ {\ ню, т} \, дт + \ бета _ {\ ню, т} \, дБ_ {т} \,}

d \ nu_t = \ alpha _ {\ nu, t} \, dt + \ beta _ {\ nu, t} \, dB_t \,

где и - некоторые функции от, и - еще один стандартный гауссовский параметр, который коррелирует с постоянным коэффициентом корреляции. ${\ Displaystyle \ альфа _ {\ ню, т} \,}$ $\ alpha _ {\ nu, t} \,$ ${\ Displaystyle \ бета _ {\ ню, т} \,}$ $\ beta _ {\ nu, t} \,$ ${\ Displaystyle \ ню \,}$ $\ ню \,$ ${\ Displaystyle дБ_ {т} \,}$ $дБ_ {t} \,$ ${\ displaystyle dW_ {t} \,}$ $dW_ {t} \,$ ${\ Displaystyle \ rho \,}$ $\ rho \,$

Модель Хестона

Основная статья: модель Хестона

Популярная модель Хестона - это обычно используемая модель SV, в которой случайность процесса дисперсии изменяется как квадратный корень из дисперсии. В этом случае дифференциальное уравнение для дисперсии принимает вид:

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ theta (\ omega - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi {\ sqrt {\ nu _ {t}}} \, dB_ {t} \,}

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ theta (\ omega - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi {\ sqrt {\ nu _ {t}}} \, dB_ {t} \,}

где - средняя долгосрочная дисперсия, - скорость, с которой дисперсия возвращается к своему долгосрочному среднему значению, - волатильность процесса дисперсии и, как и гауссиан, имеет нулевое среднее значение и дисперсию. Однако и коррелируют с постоянным значением корреляции. ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ${\ Displaystyle дБ_ {т}}$ $дБ_ {t}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ $dW_ {t}$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ $dW_ {t}$ ${\ Displaystyle дБ_ {т}}$ $дБ_ {t}$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$

Другими словами, модель Heston SV предполагает, что дисперсия - это случайный процесс, который

проявляет тенденцию возвращаться к долгосрочному среднему значению со скоростью, ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$
демонстрирует волатильность, пропорциональную квадратному корню из его уровня
и чей источник случайности коррелирует (с корреляцией) со случайностью ценовых процессов базового актива. ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$

Некоторая параметризация поверхности волатильности, например SVI, основана на модели Хестона.

Модель CEV

Основная статья: Модель постоянной эластичности дисперсии

Модель CEV описывает взаимосвязь между волатильностью и ценой, вводя стохастическую волатильность:

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} ^ {\, \ gamma} \, dW_ {t}}

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} ^ {\, \ gamma} \, dW_ {t}}

По идее, на некоторых рынках волатильность повышается, когда цены растут (например, на сырьевые товары), поэтому. На других рынках волатильность имеет тенденцию возрастать по мере падения цен, согласно модели. ${\ displaystyle \ gammagt; 1}$ $\ gammagt; 1$ ${\ displaystyle \ gamma lt;1}$ $\ gamma lt;1$

Некоторые утверждают, что, поскольку модель CEV не включает в себя собственный стохастический процесс волатильности, это не совсем стохастическая модель волатильности. Вместо этого они называют это моделью локальной волатильности.

Модель волатильности SABR

Основная статья: модель волатильности SABR

Модель SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho), представленная Хаганом и др. описывает один форвард (связанный с любым активом, например индексом, процентной ставкой, облигацией, валютой или акцией) при стохастической волатильности: ${\ displaystyle F}$ $F$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

{\ displaystyle dF_ {t} = \ sigma _ {t} F_ {t} ^ {\ beta} \, dW_ {t},}

dF_ {t} = \ sigma _ {t} F_ {t} ^ {\ beta} \, dW_ {t},

{\ displaystyle d \ sigma _ {t} = \ alpha \ sigma _ {t} \, dZ_ {t},}

{\ displaystyle d \ sigma _ {t} = \ alpha \ sigma _ {t} \, dZ_ {t},}

Начальные значения и представляют собой текущую форвардную цену и волатильность, тогда как и являются двумя коррелированными винеровскими процессами (т. Е. Броуновскими движениями) с коэффициентом корреляции. Постоянные параметры таковы, что. ${\ displaystyle F_ {0}}$ $F_ {0}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ $\ sigma _ {0}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ ${\ displaystyle Z_ {t}}$ $Z_ {t}$ ${\ Displaystyle -1 lt;\ rho lt;1}$ $-1 lt;\ rho lt;1$ ${\ Displaystyle \ бета, \; \ альфа}$ $\ бета, \; \ альфа$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq \ бета \ Leq 1, \; \ альфа \ geq 0}$ $0 \ leq \ beta \ leq 1, \; \ alpha \ geq 0$

Основная особенность модели SABR - возможность воспроизвести эффект улыбки изменчивой улыбки.

Модель GARCH

Модель обобщенной авторегрессии с условной гетероскедастичностью ( GARCH ) - еще одна популярная модель для оценки стохастической волатильности. Предполагается, что случайность процесса дисперсии зависит от дисперсии, в отличие от квадратного корня из дисперсии, как в модели Хестона. Стандартная модель GARCH (1,1) имеет следующий вид для дифференциала дисперсии:

{\ Displaystyle д \ ню _ {т} = \ тета (\ омега - \ ню _ {т}) \, дт + \ хи \ ню _ {т} \, дБ_ {т} \,}

d \ nu _ {t} = \ theta (\ omega - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi \ nu _ {t} \, dB_ {t} \,

Модель GARCH была расширена с помощью множества вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH и т. Д. Однако строго условные волатильности из моделей GARCH не являются стохастическими, поскольку в момент времени t волатильность полностью предопределена. -детерминированный (детерминированный) с учетом предыдущих значений.

3/2 модель

Модель 3/2 похожа на модель Хестона, но предполагает, что случайность дисперсионного процесса зависит от. Форма дифференциала дисперсии: ${\ displaystyle \ nu _ {t} ^ {3/2}}$ $\ nu _ {t} ^ {{3/2}}$

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ nu _ {t} (\ omega - \ theta \ nu _ {t}) \, dt + \ xi \ nu _ {t} ^ {3/2} \, дБ_ {t}. \,}

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ nu _ {t} (\ omega - \ theta \ nu _ {t}) \, dt + \ xi \ nu _ {t} ^ {3/2} \, дБ_ {t}. \,}

Однако значение параметров отличается от модели Хестона. В этой модели и возврат к среднему значению, и параметры изменчивости дисперсии являются стохастическими величинами, задаваемыми и соответственно. ${\ Displaystyle \ тета \ ню _ {т}}$ $\ theta \ nu _ {t}$ ${\ Displaystyle \ хи \ ню _ {т}}$ $\ xi \ nu _ {t}$

Калибровка и оценка

После выбора конкретной модели SV ее необходимо откалибровать по существующим рыночным данным. Калибровка - это процесс определения набора параметров модели, которые, скорее всего, соответствуют наблюдаемым данным. Один из популярных методов - использовать оценку максимального правдоподобия (MLE). Например, в модели Гестона, набор параметров модели можно оценить применения алгоритма MLE, таких как Пауэлл Направленный Set метода [1] к наблюдениям исторических базовых цен на ценные бумаги. ${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ {\ omega, \ theta, \ xi, \ rho \} \,}$ $\ Psi _ {0} = \ {\ omega, \ theta, \ xi, \ rho \} \,$

В этом случае вы начинаете с оценки, вычисляете остаточные ошибки при применении исторических данных о ценах к результирующей модели, а затем корректируете, чтобы попытаться минимизировать эти ошибки. После выполнения калибровки стандартной практикой является периодическая повторная калибровка модели. ${\ displaystyle \ Psi _ {0} \,}$ $\ Psi _ {0} \,$ ${\ Displaystyle \ Psi \,}$ $\ Psi \,$

Альтернативой калибровке является статистическая оценка, учитывающая неопределенность параметров. Было предложено и реализовано множество частотных и байесовских методов, как правило, для подмножества вышеупомянутых моделей. В следующем списке представлены пакеты расширений для статистической программы с открытым исходным кодом R, специально разработанные для оценки гетероскедастичности. Первые три предназначены для моделей типа GARCH с детерминированной волатильностью; четвертый касается оценки стохастической волатильности.

rugarch : ARFIMA, средние, внешние регрессоры и различные варианты GARCH, с методами подгонки, прогноза, моделирования, вывода и построения графиков.
fGarch : Часть среды Rmetrics для преподавания "Финансовый инжиниринг и вычислительные финансы".
bayesGARCH : Байесовская оценка модели GARCH (1,1) с t-инновациями Стьюдента.
stochvol : Эффективные алгоритмы для полностью байесовской оценки моделей стохастической волатильности (SV) с помощью методов Монте-Карло цепи Маркова (MCMC).

Многие численные методы были разработаны с течением времени и решили оценить финансовые активы, такие как опционы, с помощью моделей стохастической волатильности. Недавно разработанное приложение - это модель локальной стохастической волатильности. Эта модель локальной стохастической волатильности дает лучшие результаты при ценообразовании новых финансовых активов, таких как валютные опционы.

Существуют также альтернативные библиотеки статистической оценки на других языках, таких как Python:

PyFlux Включает поддержку байесовского и классического вывода для моделей GARCH и beta-t-EGARCH.

Смотрите также

Рекомендации

Источники

Стохастическая волатильность и анализ средней дисперсии, Хёнсок Ан, Пол Уилмотт, (2006).
Решение в закрытой форме для опционов со стохастической волатильностью, С.Л. Хестон, (1993).
Inside Volatility Arbitrage, Алиреза Джавахери (2005).
Ускорение калибровки моделей стохастической волатильности, Килин, Фиодар (2006).