Модель волатильности SABR

В математических финансах модель SABR - это стохастическая волатильность модель, которая пытается уловить улыбку волатильности на рынках производных финансовых инструментов. Название расшифровывается как «стохастический альфа, бета, ро », ссылаясь на параметры модели. Модель SABR широко используется практикующими специалистами в финансовой отрасли, особенно на рынках процентных производных. Его разработали Патрик С. Хэган, Дип Кумар, Эндрю Лесневски и Дайана Вудворд.

Содержание

• 1 Динамика
• 2 Асимптотическое решение
• 3 SABR для отрицательных ставок
• 4 Арбитражная задача в формула подразумеваемой волатильности
• 5 Расширения
• 6 Моделирование
• 7 См. также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Dynamics

Модель SABR описывает один форвардный $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, такой как LIBOR форвардный курс, курс форвардного свопа или форвардная цена акции. Это один из рыночных стандартов, используемых участниками рынка для определения волатильности. Неустойчивость форварда $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$описывается параметром $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$. SABR - это динамическая модель, в которой оба $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$представлены стохастическими переменными состояния, эволюция которых во времени задается следующей системой стохастические дифференциальные уравнения :

$d\; F\; t\; =\; \sigma \; t\; (F\; t)\; \beta \; d\; W\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; \backslash \; left\; (F\_\; \{t\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\},\}$

$d\; \sigma \; T\; =\; \alpha \; \sigma \; td\; Z\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{\}\; \backslash ,\; dZ\_\; \{t\},\; \}$

с заданными значениями нулевого времени (наблюдаемыми в настоящее время) $F\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{0\}\}$и $\sigma \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\}$. Здесь $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$и $Z\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{t\}\}$- это два коррелированных винеровских процесса с коэффициентом корреляции :

$d\; W\; td\; Z\; t\; =\; \rho \; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; dW\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dZ\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; dt\}$

Постоянные параметры $\beta ,\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta,\; \backslash ;\; \backslash \; alpha\}$удовлетворяют условиям $0\; \le \; \beta \; \le \; 1,\; \alpha \; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; beta\; \backslash \; leq\; 1,\; \backslash ;\; \backslash \; alpha\; \backslash \; geq\; 0\}$. $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- параметр волатильности, подобный волатильности. $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- мгновенная корреляция между базовым активом и его волатильностью. $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, таким образом, контролирует высоту предполагаемого уровня волатильности банкомата. Корреляция $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$управляет наклоном предполагаемого перекоса, а $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$контролирует его кривизну.

Вышеупомянутая динамика является стохастической версией модели CEV с параметром асимметрии $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$: фактически, он сводится к модели CEV, если $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$Параметр $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$часто называют вольволом, и его значение заключается в логнормальной волатильности параметра волатильности $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$.

Асимптотическое решение

Мы рассматриваем Европейский опцион (скажем, колл) на форвард $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$страйк на $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, который истекает $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$лет спустя. Значение этой опции равно подходящей дисконтированной ожидаемой величине выплаты $max\; (FT\; -\; K,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; max\; (F\_\; \{T\}\; -K,\; \backslash ;\; 0)\}$в соответствии с распределением вероятностей процесса $F\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{t\}\}$.

За исключением особых случаев $\beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$и $\beta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1\}$, выражение в закрытой форме для этого распределения вероятностей неизвестно. Общий случай может быть решен приближенно с помощью асимптотического разложения по параметру $\epsilon \; =\; T\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; T\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}$. В типичных рыночных условиях этот параметр невелик, и приблизительное решение на самом деле довольно точное. Также важно то, что это решение имеет довольно простую функциональную форму, очень легко реализуется в компьютерном коде и хорошо подходит для управления рисками больших портфелей опционов в режиме реального времени.

Решение удобно выразить в терминах подразумеваемой волатильности $\sigma \; impl\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; textrm\; \{impl\}\}\}$варианта. А именно, мы переводим цену опциона по модели SABR в форму формулы оценки модели Блэка. Тогда подразумеваемая волатильность, которая представляет собой значение параметра логнормальной волатильности в модели Блэка, которое заставляет ее соответствовать цене SABR, приблизительно определяется следующим образом:

$\sigma \; impl\; =\; \alpha \; log\; \; (F\; 0\; /\; K)\; D\; (\zeta )\; \{1\; +\; [2\; \gamma \; 2\; -\; \gamma \; 1\; 2\; +\; 1\; /\; (средний\; F)\; 2\; 24\; (\sigma \; 0\; C\; (средний\; F)\; \alpha )\; 2\; +\; \rho \; \gamma \; 1\; 4\; \sigma \; 0\; C\; (средний\; F)\; \alpha \; +\; 2\; -\; 3\; \rho \; 2\; 24]\; \epsilon \},\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{impl\}\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; (F\_\; \{0\}\; /\; K)\}\; \{D\; (\backslash \; zeta)\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1+\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; /\; \backslash \; left\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \}\; \{24\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; C\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\}\; \{4\}\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; C\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2-3\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

где для ясности мы установили $C\; (F)\; =\; F\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; left\; (F\; \backslash \; right)\; =\; F\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$. Значение $F\; mid\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\}\}$обозначает удобно выбранную среднюю точку между $F\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{0\}\}$и $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$(например, среднее геометрическое $F\; 0\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{F\_\; \{0\}\; K\}\}\}$или среднее арифметическое $(F\; 0\; +\; K)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (F\_\; \{0\}\; +\; K\; \backslash \; right)\; /\; 2\}$). Мы также установили

$\zeta \; =\; \alpha \; \sigma \; 0\; \int \; KF\; 0\; dx\; C\; (x)\; =\; \alpha \; \sigma \; 0\; (1\; -\; \beta )\; (F\; 0\; 1\; -\; \beta \; -\; K\; 1\; -\; \beta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{F\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{C\; (x)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; (1-\; \backslash \; beta)\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; (F\_\; \{0\}\; \{\}\; ^\; \{1-\; \backslash \; beta\}\; -K\; ^\; \{1-\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; right),\}$

и

$\gamma \; 1\; =\; C\; \text{'}(F\; mid)\; C\; (F\; mid)\; =\; \beta \; F\; mid,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\text{'}\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\; \{C\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\}\}\}\; \backslash \; ;,\}$

$\gamma \; 2\; =\; C\; ″\; (F\; mid)\; C\; (F\; mid)\; =\; -\; \beta \; (1\; -\; \beta )\; (F\; mid)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\; \text{'}\text{'}\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\; \{C\; (F\_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; (1-\; \backslash \; beta)\}\; \{\backslash \; left\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; ;,\}$

Функция $D\; (\zeta )\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; left\; (\backslash \; zeta\; \backslash \; right)\}$, входящая в приведенную выше формулу, определяется как

$D\; (\zeta )\; =\; log\; \; (1\; -\; 2\; \rho \; \zeta \; +\; \zeta \; 2\; +\; \zeta \; -\; \rho \; 1\; -\; \rho ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; (\backslash \; zeta)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{1-2\; \backslash \; rho\; \backslash \; zeta\; +\; \backslash \; zeta\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; zeta\; -\; \backslash \; rho\}\; \{1-\; \backslash \; rho\; \}\}\; \backslash \; right).\}$

В качестве альтернативы можно выразить цену SABR в терминах модели Башелье. Тогда подразумеваемая нормальная волатильность может быть вычислена асимптотически с помощью следующего выражения:

$\sigma \; impl\; n\; =\; \alpha \; F\; 0\; -\; KD\; (\zeta )\; \{1\; +\; [2\; \gamma \; 2\; -\; \gamma \; 1\; 2\; 24\; (\sigma \; 0\; C\; (F\; mid)\; \alpha )\; 2\; +\; \rho \; \gamma \; 1\; 4\; \sigma \; 0\; C\; (F\; mid)\; \alpha \; +\; 2\; -\; 3\; \rho \; 2\; 24]\; \epsilon \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{impl\}\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{F\_\; \{0\}\; -K\}\; \{D\; (\backslash \; zeta)\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1+\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\; \{24\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; C\; (\; F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\}\; \{4\}\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{\; 0\}\; C\; (F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{mid\}\})\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2-3\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Стоит отметить, что нормальная подразумеваемая волатильность SABR обычно несколько более точна, чем логнормальная подразумеваемая волатильность.

SABR для отрицательных ставок

A SABR Расширение модели для отрицательных процентных ставок, которое приобрело популярность в последние годы, представляет собой смещенную модель SABR, в которой предполагается смещенный форвардный курс следовать процессу SABR

$d\; F\; t\; =\; \sigma \; t\; (F\; t\; +\; s)\; \beta \; d\; W\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; (F\_\; \{t\}\; +\; s)\; ^\; \{\backslash \; бета\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\},\}$

$d\; \sigma \; t\; =\; \alpha \; \sigma \; td\; Z\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; \backslash ,\; dZ\_\; \{t\},\}$

для некоторого положительного сдвига $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$. Поскольку сдвиги включаются в рыночные котировки и существует интуитивно понятная мягкая граница того, как могут стать отрицательные ставки, смещенный SABR стал лучшей рыночной практикой для адаптации отрицательных ставок.

Модель SABR также может быть изменена для покрытия отрицательных процентных ставок следующим образом:

$d\; F\; t\; =\; \sigma \; t\; |\; F\; t\; |\; \beta \; d\; W\; T,\; \{\backslash \; Displaystyle\; dF\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; |\; F\_\; \{t\}\; |\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\},\}$

$d\; \sigma \; t\; =\; \alpha \; \sigma \; td\; Z\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; \backslash ,\; dZ\_\; \{t\},\}$

для $0\; \le \; \beta \; \le \; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; beta\; \backslash \; leq\; 1/2\}$и свободное граничное условие для $F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; 0\}$. Доступны его точное решение для нулевой корреляции, а также эффективное приближение для общего случая.

Очевидным недостатком этого подхода является априорное предположение о потенциально отрицательных процентных ставках через свободную границу.

Арбитражная проблема в формуле подразумеваемой волатильности

Хотя асимптотическое решение очень легко реализовать, плотность, подразумеваемая приближением, не всегда является безарбитражной, особенно для очень низких страйков (это становится отрицательным или плотность не интегрируется в единицу).

Одной из возможностей «исправить» формулу является использование метода стохастической коллокации и проецирование соответствующей подразумеваемой, некорректной модели на полином от переменных без арбитража, например обычный. Это гарантирует равенство вероятностей в точках коллокации, в то время как сгенерированная плотность не зависит от арбитража. Используя метод прогнозирования, доступны аналитические европейские цены опционов, а предполагаемая волатильность остается очень близкой к той, которая изначально была получена с помощью асимптотической формулы.

Другая возможность состоит в том, чтобы полагаться на быстрый и надежный решатель PDE на эквивалентном разложении прямого PDE, который численно сохраняет нулевой и первый моменты, тем самым гарантируя отсутствие арбитража.

Расширения

Модель SABR может быть расширена, если предположить, что ее параметры зависят от времени. Однако это усложняет процедуру калибровки. Усовершенствованный метод калибровки зависящей от времени модели SABR основан на так называемых «эффективных параметрах».

Моделирование

Поскольку процесс стохастической волатильности следует за геометрическим броуновским движением, его точное моделирование несложно. Однако моделирование процесса форвардного актива - нетривиальная задача. Обычно рассматриваются схемы моделирования на основе Тейлора, такие как Эйлер – Маруяма или Мильштейн. Недавно были предложены новые методы для почти точного моделирования модели SABR методом Монте-Карло. Обширные исследования модели SABR недавно были рассмотрены в Cui et al. Для нормальной модели SABR ($\beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$без граничных условий в $F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; 0\}$) известен метод моделирования в закрытой форме.

См. также

• Волатильность (финансы)
• Стохастическая волатильность
• Риск-нейтральная мера

Ссылки

Внешние ссылки

• Управление риском улыбки, П. Хаган и др. - Оригинальная статья, представляющая модель SABR.
• Распределение вероятностей в модели стохастической волатильности SABR, П. Хаган и др. - Представлены нормальная модель SABR, расширение теплового ядра и асимптотическое распределение вероятностей.
• Хеджирование в рамках модели SABR, Б. Бартлетт - Уточненное управление рисками в рамках модели SABR.
• Модель рынка LIBOR со стохастической волатильностью в стиле SABR, П. Hagan и A. Lesniewski - LMM-расширение SABR для моделирования временной структуры.
• Arbitrage Free SABR, P. Hagan et al. - Уточненная обработка почти нулевых форвардов.
• Obloj, Jan (2007)). «Настройте свою улыбку - поправка на Хагана и др.». arXiv : 0708.0998 [q-fin.CP ].
• Краткое изложение подходов к модели SABR для производных финансовых инструментов smile
• Генри-Лабордер, Пьер (2006). «Объединение моделей BGM и SABR: короткая поездка в гиперболической геометрии». arXiv : Physics / 0602102.
• Асимптотические аппроксимации для моделей CEV и SABR
• Проверить SABR (с калибровкой) онлайн
• Калибровка SABR
• Расширенная аналитика для модели SABR - Включает точную формулу для случая нулевой корреляции
• Расширение предполагаемой волатильности малых страйков в модели SABR - Асимптотическая формула без арбитража для малых страйков и для долгосрочных опционов