Нейтральная с точки зрения риска мера

В математических финансах, мера, нейтральная к риску (также называемая равновесная мера, или эквивалент мартингейла мера ) - это вероятностная мера, такая, что цена каждой акции в точности равна дисконтированному ожиданию цены акции в соответствии с этой мерой. Это широко используется при ценообразовании производных финансовых инструментов из-за фундаментальной теоремы ценообразования активов, которая подразумевает, что на полном рынке цена производного инструмента является дисконтированной. ожидаемое значение будущей выплаты согласно уникальной нейтральной к риску мере. Такая мера существует тогда и только тогда, когда на рынке нет арбитража.

Самый простой способ запомнить, что такое нейтральная к риску мера, или объяснить ее специалисту по теории вероятностей, который может не очень разбираться в финансах, - это осознать, что это:

1. Вероятностная мера преобразованная случайная величина. Обычно это преобразование представляет собой функцию полезности выплаты. Нейтральная по отношению к риску мера - это мера, соответствующая ожиданию выплаты при линейной полезности.
2. Мера подразумеваемой вероятности, которая подразумевается на основе текущих наблюдаемых / опубликованных / торгуемых цен соответствующих инструментов. Релевантные означает те инструменты, которые причинно связаны с событиями в рассматриваемом вероятностном пространстве (т.е. базовые цены плюс производные финансовые инструменты), а
3. Это подразумеваемая вероятностная мера (решает своего рода обратную задачу), которая определяется с использованием линейная (нейтральная к риску) полезность выигрыша, предполагающая некоторую известную модель выплаты. Это означает, что вы пытаетесь найти нейтральную с точки зрения риска меру, решая уравнение, в котором текущие цены представляют собой ожидаемую приведенную стоимость будущих выплат в соответствии с нейтральной по отношению к риску мерой. Концепция уникальной нейтральной по отношению к риску меры наиболее полезна, когда кто-то представляет себе установление цен по ряду деривативов, которые будут представлять собой уникальную нейтральную с точки зрения риска меру, поскольку она подразумевает своего рода согласованность гипотетических неторгуемых цен и теоретически указывает на возможности арбитража. на рынках, где видны цены спроса / предложения.

Также стоит отметить, что в большинстве вводных приложений в области финансов рассматриваемые выплаты являются детерминированными при условии знания цен в некоторый конечный или будущий момент времени. Для использования этих методов не обязательно.

Содержание

• 1 Мотивация использования мер, нейтральных к риску
• 2 Происхождение меры, нейтральной к риску (ценные бумаги Arrow)
• 3 Использование
• 4 Пример 1 - Биномиальная модель цен на акции
• 5 Пример 2 - Модель броуновского движения цен на акции
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Внешние ссылки

Мотивация использования мер, нейтральных к риску

Цены на активы зависят решающее значение имеет их риск, поскольку инвесторы обычно требуют большей прибыли за больший риск. Таким образом, сегодняшняя цена требования по рисковой сумме, реализованной завтра, обычно будет отличаться от ее ожидаемой стоимости. Чаще всего инвесторы не склонны к риску, и сегодняшняя цена ниже ожиданий, вознаграждая тех, кто несет риск (по крайней мере, на крупных финансовых рынках ; примерами рынков, ориентированных на риск, являются казино и лотереи ).

Для цены активов, следовательно, рассчитанные ожидаемые значения необходимо скорректировать с учетом предпочтений инвестора в отношении риска (см. Также коэффициент Шарпа ). К сожалению, ставки дисконтирования будут варьироваться между инвесторами, и индивидуальные предпочтения к риску трудно определить количественно.

Оказывается, что на полном рынке с без возможности арбитража есть альтернативный способ сделать этот расчет: вместо того, чтобы сначала принять ожидание, а затем скорректировать на Если инвестор предпочитает риск, то можно раз и навсегда скорректировать вероятности будущих результатов так, чтобы они включали все премии инвесторов за риск, а затем принять ожидание в соответствии с этим новым распределением вероятностей - мерой, нейтральной к риску. Основное преимущество заключается в том, что после обнаружения нейтральных к риску вероятностей каждый актив можно оценить, просто взяв текущую стоимость его ожидаемой выплаты. Обратите внимание, что если бы мы использовали фактические вероятности реального мира, для каждой ценной бумаги потребовалась бы другая корректировка (поскольку они различаются по степени риска).

Отсутствие арбитража имеет решающее значение для существования меры, нейтральной к риску. Фактически, согласно фундаментальной теореме ценообразования на активы, условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию меры, нейтральной к риску. Полнота рынка также важна, потому что на неполном рынке существует множество возможных цен на актив, соответствующих различным параметрам, нейтральным к риску. Принято утверждать, что рыночная эффективность предполагает наличие только одной цены («закон одной цены »); правильная нейтральная к риску мера цены, которая должна быть выбрана с использованием экономических, а не чисто математических аргументов.

Распространенная ошибка - путать построенное распределение вероятностей с реальной вероятностью. Они будут разными, потому что в реальном мире инвесторы требуют премии за риск, тогда как можно показать, что при нейтральных к риску вероятностях все активы имеют одинаковую ожидаемую норму доходности, безрисковую ставку ( или краткосрочная ставка ) и, таким образом, не включают такие премии. Метод ценообразования без учета риска следует рассматривать, как и многие другие полезные вычислительные инструменты - удобные и мощные, даже если они кажутся искусственными.

Происхождение нейтральной к риску меры (ценные бумаги Эрроу)

Естественно спросить, как нейтральная к риску мера возникает на рынке, свободном от арбитража. Каким-то образом цены на все активы будут определять вероятностную меру. Одно объяснение дается с использованием защиты Стрелка. Для простоты рассмотрим дискретный (даже конечный) мир только с одним временным горизонтом будущего. Другими словами, есть настоящее (время 0) и будущее (время 1), а в момент времени 1 состояние мира может быть одним из конечного числа состояний. Ценная бумага «Стрелка», соответствующая состоянию n, A n, - это ценная бумага, которая платит 1 доллар в момент времени 1 в состоянии n и 0 долларов в любом из других состояний мира.

Какая сейчас цена A n ? Он должен быть положительным, поскольку есть шанс выиграть 1 доллар; он должен быть меньше 1 доллара, так как это максимально возможный выигрыш. Таким образом, цена каждого A n, которую мы обозначаем A n (0), находится строго между 0 и 1.

Фактически, сумма всех Цены на ценные бумаги должны быть равны приведенной стоимости в 1 доллар, потому что владение портфелем, состоящим из каждой ценной бумаги Arrow, приведет к определенной выплате в 1 доллар. Рассмотрим розыгрыш, в котором один билет выигрывает приз из всех вступительных взносов: если приз составляет 1 доллар, вступительный взнос будет равен 1 / количество билетов. Для простоты мы будем считать, что процентная ставка равна 0, так что приведенная стоимость 1 доллара равна 1 доллару.

Таким образом, A n (0) удовлетворяют аксиомам вероятностного распределения. Каждый из них неотрицателен, и их сумма равна 1. Это мера без риска! Теперь осталось показать, что он работает так, как рекламируется, т.е. принятие ожидаемых значений в отношении этой меры вероятности даст правильную цену в момент времени 0.

Предположим, у вас есть ценная бумага C, цена которой в момент времени 0 равна C ( 0). В будущем в состоянии i его выигрыш будет C i. Рассмотрим портфель P, состоящий из суммы C i каждой ценной бумаги Arrow A i. В будущем, какое бы состояние i ни произошло, A i платит 1 доллар, в то время как другие ценные бумаги Arrow платят 0 долларов, поэтому P заплатит C i. Другими словами, портфель P воспроизводит выигрыш C независимо от того, что произойдет в будущем. Отсутствие возможностей арбитража означает, что цена P и C должна быть сейчас одинаковой, поскольку любая разница в цене означает, что мы можем без какого-либо риска (шорт) продать более дорогое, купить более дешевое и присваивать разницу. В будущем нам нужно будет вернуть коротко проданный актив, но мы можем финансировать это именно за счет продажи нашего купленного актива, оставив нам нашу первоначальную прибыль.

Рассматривая каждую цену ценной бумаги Arrow как вероятность, мы видим, что цена портфеля P (0) является ожидаемым значением C при вероятностях, нейтральных к риску. Если бы процентная ставка R не была равна нулю, нам пришлось бы соответствующим образом дисконтировать ожидаемую стоимость, чтобы получить цену. В частности, портфель, состоящий из каждой ценной бумаги Arrow, теперь имеет приведенную стоимость $1\; 1\; +\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; R\}\}\}$, поэтому риск - нейтральная вероятность состояния i становится $(1\; +\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; R)\}$, умноженная на цену каждой ценной бумаги Arrow A i или ее форвардная цена.

Обратите внимание, что ценные бумаги Arrow на самом деле не нуждаются в торговле на рынке. Вот где вступает в игру полнота рынка. На полноценном рынке каждую ценную бумагу Arrow можно воспроизвести с использованием портфеля реальных торгуемых активов. Приведенный выше аргумент все еще работает, если рассматривать каждую ценную бумагу Arrow как портфель.

В более реалистичной модели, такой как модель Блэка – Шоулза и ее обобщения, наша защита Arrow будет чем-то вроде двойной цифровой опции, которая окупается 1 доллар, если базовый актив находится между нижней и верхней границей, и 0 долларов в противном случае. Цена такого опциона затем отражает точку зрения рынка на вероятность того, что спотовая цена окажется в этом ценовом интервале, скорректированная на премию за риск, что полностью аналогично тому, как мы получили вышеупомянутые вероятности для одношагового дискретного мира.

Использование

Нейтральные с точки зрения риска меры позволяют легко выразить стоимость производного инструмента в формуле. Предположим, что в будущем $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$производный инструмент (например, опцион колл на акции ) платит $HT\; \{\; \backslash \; displaystyle\; H\_\; \{T\}\}$единиц, где $HT\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{T\}\}$- случайная величина с вероятностью пробел, описывающий рынок. Далее предположим, что коэффициент дисконтирования с этого момента (ноль времени) до времени $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$равен $P\; (0,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\; 0,\; Т)\}$. Тогда сегодняшняя справедливая стоимость производного инструмента составляет

$H\; 0\; =\; P\; (0,\; T)\; E\; Q\; \; (H\; T).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; =\; P\; (0,\; T)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{Q\}\; (H\_\; \{T\}).\}$

где нейтральная к риску мера обозначается $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$. Это можно переформулировать в терминах физической меры P как

$H\; 0\; =\; P\; (0,\; T)\; EP\; \; (d\; Q\; d\; PHT)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; =\; P\; (0,\; T)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{P\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dQ\}\; \{dP\}\}\; H\_\; \{T\}\; \backslash \; right)\}$

где $d\; Q\; d\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dQ\}\; \{dP\; \}\}\}$- производная Радона – Никодима от $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$по отношению к $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$.

Другое название меры, нейтральной к риску, - эквивалентная мера мартингейл. Если на финансовом рынке существует только одна нейтральная к риску мера, то для каждого актива на рынке существует уникальная цена без арбитража. Это фундаментальная теорема ценообразования без арбитража. Если таких мер больше, то в интервале цен никакой арбитраж невозможен. Если эквивалентной меры мартингейла не существует, существуют возможности для арбитража.

На рынках с транзакционными издержками, без numéraire, согласованный процесс ценообразования заменяет эквивалентную меру мартингейла. Фактически существует связь 1: 1 между последовательным процессом ценообразования и эквивалентной мерой мартингейла.

Пример 1. Биномиальная модель цен акций

Дано вероятностное пространство $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{F\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\})\}$, рассмотрим однопериодную биномиальную модель. Вероятностная мера $P\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\; ^\; \{*\}\}\}$называется нейтральной по отношению к риску, если для всех $i\; \in \; \{0,...,\; d\}\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,...,\; d\; \backslash \}\}$$\pi \; i\; =\; EP\; *\; (S\; i\; /\; (1\; +\; r))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{*\}\}\; (S\; ^\; \{i\}\; /\; (1\; +\; r))\}$. Предположим, у нас есть экономика с двумя состояниями: начальная цена акций $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$может возрасти до $S\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{u\}\}$или меньше до $S\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{d\}\}$. Если процентная ставка $R>0\; \{\backslash \; displaystyle\; R>0\}$и $S\; d\; \le \; (1\; +\; R)\; S\; \le \; S\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{d\}\; \backslash \; leq\; (1\; +\; R)\; S\; \backslash \; leq\; S\; ^\; \{u\}\}$(иначе на рынке существует арбитраж ), тогда нейтральная к риску вероятность восходящего движения акций определяется числом

$\pi \; =\; (1\; +\; R)\; S\; -\; S\; d\; S\; U\; -\; S\; d.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; pi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; R)\; SS\; ^\; \{d\}\}\; \{S\; ^\; \{u\}\; -S\; ^\; \{d\}\}\}.\}$

Дана производная с выплатой $X\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{u\}\}$при повышении цены акции и $X\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{d\}\; \}$когда он снижается, мы можем оценить производную с помощью

$X\; =\; \pi \; X\; u\; +\; (1\; -\; \pi )\; X\; d\; 1\; +\; R.\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; X\; ^\; \{u\}\; +\; (1-\; \backslash \; pi)\; X\; ^\; \{d\}\}\; \{1\; +\; R\}\}.\}$

Пример 2 - Модель броуновского движения цен акций

Предположим, наша экономика состоит из двух активов., акции и безрисковой облигации, и что мы используем Bl Модель Ака – Шоулза. В модели эволюция курса акций может быть описана как Геометрическое броуновское движение :

$d\; S\; t\; =\; \mu \; S\; tdt\; +\; \sigma \; S\; td\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; mu\; S\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; S\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\}$

где $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$- стандартное броуновское движение с уважение к физической мере. Если мы определим

$W\; ~\; t\; =\; W\; t\; +\; \mu \; -\; r\; \sigma \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{W\}\}\; \_\; \{t\}\; =\; W\_\; \{t\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -r\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; t,\}$

Теорема Гирсанова утверждает, что существует мера $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$, при которой $W\; ~\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\; W\}\}\; \_\; \{t\}\}$- это броуновское движение. $\mu \; -\; r\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -r\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$известна как рыночная цена риска. Используя правила в рамках исчисления Ито, можно неформально провести различие по отношению к $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и изменить приведенное выше выражение, чтобы получить SDE

$d\; W\; t\; =\; d\; W\; ~\; t\; -\; \mu \; -\; r\; \sigma \; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; dW\_\; \{t\}\; =\; d\; \{\backslash \; tilde\; \{W\}\}\; \_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -r\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash ,\; dt,\}$

Верните это в исходное уравнение:

$d\; S\; t\; =\; r\; S\; tdt\; +\; \sigma \; S\; td\; W\; ~\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{t\}\; =\; rS\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; S\_\; \{t\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; tilde\; \{W\}\}\; \_\; \{t\}.\}$

Пусть $S\; ~\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{t\}\}$- цена акции со скидкой, заданная по формуле $S\; ~\; t\; =\; e\; -\; rt\; S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\; S\}\}\; \_\; \{t\}\; =\; e\; ^\; \{-\; rt\}\; S\_\; \{t\}\}$, тогда по лемме Ито получаем СДУ:

$d\; S\; ~\; t\; =\; \sigma \; S\; ~\; td\; W\; ~\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; tilde\; \{W\}\}\; \_\; \{t\}.\}$

$Q\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Q\}$- уникальный показатель, нейтральный к риску для модели. Процесс дисконтированной выплаты производной по акции $H\; t\; =\; EQ\; \; (HT\; |\; F\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{Q\}\; (H\_\; \{T\}\; |\; F\_\; \{t\; \})\}$- это мартингейл под $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$. Обратите внимание, что отклонение SDE составляет r, безрисковая процентная ставка, что подразумевает нейтральность риска. Поскольку $S\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$равны $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$-мартингейл, мы можем применить теорему представления мартингала, чтобы найти стратегию репликации - портфель акций и облигаций, который приносит прибыль $H\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{t\}\}$всегда $t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; leq\; T\}$.

См. также

• Броуновская модель финансовых рынков
• Анализ условных требований
• Форвард мера
• Фундаментальная теорема ценообразования без арбитража
• Закон одной цены
• Мартингейл-ценообразование
• Мартингейл (теория вероятностей)
• Математические финансы
• Рациональное ценообразование

Примечания

1. ^Глин А. Холтон (2005). «Фундаментальная теорема ценообразования активов». riskglossary.com. Проверено 20 октября 2011 г.
2. ^Ханс Фёльмер; Александр Щид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 6. ISBN 978-3-11-018346-7.
3. ^Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп П. Э. (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Springer. Стр. 48 –50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Внешние ссылки

• Гизигер, Николас: Разъяснение нейтральных к риску вероятностей
• Тхам, Джозеф: Риск -Нейтральная оценка: мягкое введение, Часть II