Локальная волатильность

A локальной волатильности в математических финансах и финансовом инжиниринге тот, который рассматривает волатильность как функцию как текущего уровня актива $S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{t\}\}$, так и времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Таким образом, модель локальной волатильности является обобщением модели Блэка – Шоулза, где волатильность является постоянной (т.е. тривиальной функцией $S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{t\}\}$и $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$).

• 1 Формулировка
• 2 Разработка
  • 2.1 Выведение
• 3 Использование
• 4 Ссылки

В математических финансах актив S t, который лежит в основе производного финансового инструмента, обычно предполагается, что он подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению формы

$d\; S\; t\; знак\; равно\; (rt\; -\; dt)\; S\; tdt\; +\; \sigma \; t\; S\; td\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{t\}\; =\; (r\_\; \{t\}\; -d\_\; \{t\})\; S\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; S\_\; \{\; t\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\}$,

где $rt\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{t\}\}$- мгновенная безрисковая ставка, дающая среднее локальное направление на динамика, а $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\}$- это винеровский процесс, представляющий приток случайности в динамику. Амплитуда этой случайности измеряется мгновенной волатильностью $\sigma \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\}$. В простейшей модели, то есть модели Блэка – Шоулза, $\sigma \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\}$предполагается постоянным; на самом деле, реализованная волатильность базового актива фактически меняется со временем.

Когда такая волатильность имеет собственную случайность - часто описываемую другим уравнением, управляемым другим W, - вышеприведенная модель называется моделью стохастической волатильности. И когда такая волатильность является просто функцией текущего уровня активов S t и времени t, у нас есть модель локальной волатильности. Модель локальной волатильности является полезным упрощением модели стохастической волатильности.

«Локальная волатильность», таким образом, является термином, используемым в количественном финансировании для обозначения набора коэффициентов диффузии, $\sigma \; t\; =\; \sigma \; (S\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; (S\_\; \{t\},\; t)\}$, которые соответствуют рыночным ценам для всех опционов данного базового актива. Эта модель используется для расчета оценок экзотических опционов, которые согласуются с наблюдаемыми ценами ванильных опционов.

Концепция локальной волатильности была разработана, когда Бруно Дюпире и Эмануэль Дерман и отметил, что существует уникальный процесс распространения, соответствующий нейтральным к риску плотностям, полученным на основе рыночных цен европейских опционов.

Дерман и Кани описали и реализовали функцию локальной волатильности для моделирования мгновенной волатильности. Они использовали эту функцию на каждом узле в модели ценообразования биномиальных опционов. Дерево успешно произвело оценку опционов, соответствующую всем рыночным ценам по страйкам и истечениям. Таким образом, была сформулирована модель Дермана-Кани с дискретными шагами по времени и цене акций. (Дерман и Кани создали то, что называется «подразумеваемым биномиальным деревом ; с помощью Нила Крисса они расширили это до подразумеваемого трехчленного дерева.)

Ключевые уравнения с непрерывным временем, используемые в моделях локальной волатильности, были разработаны Бруно Дюпире в 1994 году. Уравнение Дюпира гласит

$\partial \; C\; \partial \; T\; =\; 1\; 2\; \sigma \; 2\; (K,\; T;\; S\; 0)\; К\; 2\; \partial \; 2\; C\; \partial \; К\; 2\; -\; (r\; -\; d)\; K\; \partial \; C\; \partial \; K\; -\; d\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; C\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; (K,\; T;\; S\_\; \{0\})\; K\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; C\}\; \{\backslash \; partial\; K\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; (rd)\; K\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; C\}\; \{\backslash \; partial\; K\}\}\; -\; dC\}$

Существует несколько известных параметризаций поверхности волатильности на основе модели Хестона (Schönbucher, SVI и gSVI), а также их деформаций. - методологии арбитража.

Деривация

Учитывая цену актива $S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{t\}\}$регулируется нейтральным к риску SDE

$d\; S\; t\; знак\; равно\; (г\; -\; d)\; S\; tdt\; +\; \sigma \; (t,\; S\; t)\; S\; td\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{t\}\; =\; (rd)\; S\_\; \{t\}\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; (t,\; S\_\; \{t\})\; S\_\; \{t\}\; dW\_\; \{t\}\}$

Th е вероятность перехода $p\; (t,\; S\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (t,\; S\_\; \{t\})\}$условно для $S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\}$удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова (также известному как уравнение Фоккера – Планка )

$pt\; =\; -\; [(r\; -\; d)\; sp]\; s\; +\; 1\; 2\; [(\sigma \; s)\; 2\; p]\; ss\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{t\}\; =\; -\; [(rd)\; s\; \backslash ,\; p]\; \_\; \{s\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; [(\backslash \; sigma\; s)\; ^\; \{2\}\; p]\; \_\; \{ss\}\}$

Потому что теоремы ценообразования по мартингейлу цена опциона колл со сроком погашения $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$и страйком $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$равно

$C\; =\; e\; -\; r\; TEQ\; [(ST\; -\; K)\; +]\; =\; e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; (s\; -\; K)\; pds\; =\; e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; spds\; -\; K\; e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; pds\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; C\; =\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; ^\; \{Q\}\; [(S\_\; \{T\}\; -K)\; ^\; \{+\}]\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{\; -rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (sK)\; \backslash ,\; p\; \backslash ,\; ds\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; \backslash ,\; p\; \backslash ,\; ds-K\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; p\; \backslash ,\; ds\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Дифференциация цены опциона колл относительно $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$

$CK\; =\; -\; e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; pds\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{K\}\; =\; -\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; pds\}$

и замена в формуле цены опциона колл и перестановка условий

$e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; spds\; =\; C\; -\; KCK\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; \backslash ,\; p\; \backslash ,\; ds\; =\; CK\; \backslash ,\; C\_\; \{K\}\}$

Дифференциация цены опциона колл по отношению к $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$дважды

$CKK\; =\; e\; -\; r\; T\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{KK\}\; =\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; p\}$

Дифференциация цены опциона колл с относительно $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$дает

$CT\; =\; -\; r\; C\; +\; e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; (s\; -\; K)\; p\; T\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{T\}\; =\; -r\; \backslash ,\; C\; +\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (sK)\; p\_\; \{T\}\; ds\}$

с использованием прямого уравнения Колмогорова

$CT\; =\; -\; r\; C\; -\; e\; -\; р\; T\; \int \; К\; \infty \; (s\; -\; K)\; [(r\; -\; d)\; sp]\; sds\; +\; 1\; 2\; e\; -\; r\; T\; \int \; K\; \infty \; (s\; -\; K)\; [(\sigma \; s)\; 2\; p]\; ssds\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{T\; \}\; =\; -\; r\; \backslash ,\; Ce\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (sK)\; [(rd)\; s\; \backslash ,\; p]\; \_\; \{s\}\; \backslash ,\; ds\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (sK)\; [(\backslash \; sigma\; s)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; p]\; \_\; \{ss\}\; \backslash ,\; ds\}$

интегрирование по частям первый интеграл один раз, второй два раза

$CT\; Знак\; равно\; -\; р\; С\; +\; (г\; -\; г)\; е\; -\; р\; T\; \int \; К\; \infty \; SPDS\; +\; 1\; 2\; е\; -\; р\; Т\; (\sigma \; К)\; 2\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{T\}\; =\; -\; г\; \backslash ,\; C\; +\; (rd)\; e\; ^\; \{\; -rT\}\; \backslash \; int\; \_\; \{K\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; \backslash ,\; p\; \backslash ,\; ds\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; (\backslash \; sigma\; K)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; p\}$

с использованием полученных формул дифференцирования цены опциона колл по отношению к $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$

$CT\; =\; -\; r\; C\; +\; (r\; -\; d)\; (C\; -\; KCK)\; +\; 1\; 2\; \sigma \; 2\; К\; 2\; CKK\; знак\; равно\; -\; (г\; -\; d)\; KCK\; -\; d\; C\; +\; 1\; 2\; \sigma \; 2\; K\; 2\; CKK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; C\_\; \{T\}\; =\; -\; r\; \backslash ,\; C\; +\; (rd)\; (CK\; \backslash ,\; C\_\; \{K\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; K\; ^\; \{2\}\; C\_\; \{KK\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; (rd)\; K\; \backslash ,\; C\_\; \{K\}\; -d\; \backslash ,\; C\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; K\; ^\; \{2\}\; C\_\; \{KK\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Модели локальной волатильности полезны в любых вариантах рынок, на котором волатильность базового актива преимущественно зависит от уровня базового актива, например, процентных деривативов. Неизменные во времени локальные волатильности предположительно несовместимы с динамикой предполагаемой поверхности волатильности индекса акций, но см. Crepey, S (2004). «Дельта-хеджирование Вега Риск». Количественные финансы. 4 (5): 559–579. doi : 10.1080 / 14697680400000038., который утверждает, что такие модели обеспечивают наилучшее среднее хеджирование для опционов на индекс акций. Тем не менее, модели локальной волатильности полезны при формулировании моделей стохастической волатильности.

Модели локальной волатильности имеют ряд привлекательных особенностей. Поскольку единственным источником случайности является цена акций, модели локальной волатильности легко откалибровать. Для работы с процессами Маккина-Власова разработаны многочисленные методы калибровки, включая наиболее часто используемый подход с использованием частиц и бинов. Кроме того, они ведут к полноценным рынкам, на которых хеджирование может быть основано только на базовом активе. Однако общий непараметрический подход Дюпира проблематичен, так как необходимо произвольно предварительно интерполировать входную подразумеваемую поверхность волатильности перед применением метода. Были предложены альтернативные параметрические подходы, в частности, очень гибкие модели динамической локальной волатильности смеси Дамиано Бриго и Фабио Меркурио.

Поскольку в моделях локальной волатильности волатильность является детерминированной функцией случайной цены акций. модели локальной волатильности не очень хорошо используются для определения цены опционов кликета или опционов форвардного старта, значения которых зависят конкретно от случайной природы самой волатильности.

1. Кэрол Александер (2004). «Нормальная диффузия смеси с неопределенной летучестью: моделирование краткосрочных и долгосрочных эффектов улыбки». Журнал "Банковское дело и финансы". 28 (12).

1. Бабак Махдави Дамгани и Эндрю Кос (2013). «Деарбитражная торговля со слабой улыбкой: применение для искажения риска». Журнал Wilmott Magazine. Для цитирования журнала требуется |journal=()http://ssrn.com/abstract=2428532