Модель ценообразования биномиальных опционов

редактировать
Численный метод оценки финансовых опционов

В финансах параметр биномиальная модель ценообразования опционов (BOPM ) предоставляет обобщаемый числовой метод для оценки опционов. По сути, модель использует "дискретную" (решеточную ) модель изменения цены во времени базового финансового инструмента, обращаясь к случаям, когда закрытая форма Не хватает формулы Блэка – Шоулза.

Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в издании Investments 1978 года (ISBN 013504605X ) и формализована Кокс, Росс и Рубинштейн в 1979 году и Рендлман и Барттер в том же году.

Для биномиальных деревьев применительно к фиксированному доходу и производные процентные ставки см. Модель решетки (финансы) # Производные процентные ставки.

Содержание

  • 1 Использование модели
  • 2 Метод
    • 2.1 Шаг 1: Создание биномиальное ценовое дерево
    • 2.2 Шаг 2: Найдите значение опциона на каждом последнем узле
    • 2.3 Шаг 3: Найдите значение опциона на более ранних узлах
  • 3 Связь с Блэком – Шоулзом
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Использование модели

Биномиальная модель ценообразования опционов широко использовалась, поскольку она способна обрабатывать множество условий, для которых нелегко применить другие модели. Во многом это связано с тем, что BOPM основан на описании базового инструмента за период времени, а не на отдельной точке. Как следствие, он используется для оценки американских опционов, которые могут быть исполнены в любое время в данном интервале, а также бермудских опционов, которые могут быть исполнены в определенные моменты времени. Поскольку модель относительно проста, ее легко реализовать в компьютерном программном обеспечении (включая электронную таблицу ).

Хотя вычислительно медленнее, чем формула Блэка – Шоулза, она более точна, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с выплатой дивидендов. По этим причинам различные версии биномиальной модели широко используются практиками на рынках опционов.

Для опционов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные опционы ) и для опционов со сложными (например, азиатские варианты ), биномиальные методы менее практичны из-за ряда трудностей, и вместо них обычно используются модели вариантов Монте-Карло. При моделировании небольшого количества временных шагов моделирование Монте-Карло будет требовать больше вычислительных затрат времени, чем BOPM (см. методы Монте-Карло в финансах ). Однако в худшем случае время выполнения BOPM будет O (2), где n - количество временных шагов в моделировании. Моделирование методом Монте-Карло обычно будет иметь полиномиальную временную сложность и будет быстрее для большого количества шагов моделирования. Моделирование методом Монте-Карло также менее подвержено ошибкам выборки, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится тем более справедливым, чем меньше становятся дискретные единицы.

Метод

Биномиальная решетка с формулами CRR
функция americanPut (T, S, K, r, sigma, q, n) {'T... срок действия' S... цена акции 'K... цена исполнения 'q... дивидендная доходность' n... высота биномиального дерева deltaT: = T / n; вверх: = exp (sigma * sqrt (deltaT)); p0: = (up * exp (-q * deltaT) - exp (-r * deltaT)) / (up ^ 2 - 1); p1: = exp (-r * deltaT) - p0; 'начальные значения в момент времени T для i: = от 0 до n {p [i]: = K - S * up ^ (2 * i - n); если p [i] <0, то p [i]: = 0; } 'перейти к более раннему времени для j: = n-1 вниз к 0 {для i: = 0 до j {' биномиальное значение p [i]: = p0 * p [i + 1] + p1 * p [i]; 'значение упражнения упражнение: = K - S * up ^ (2 * i - j); если p [i] <упражнение, то p [i]: = упражнение; }} return americanPut: = p [0]; }

Биномиальная модель ценообразования отслеживает эволюцию ключевых базовых переменных опциона в дискретном времени. Это делается с помощью биномиальной решетки (дерева) для ряда временных шагов между датой оценки и датой истечения срока. Каждый узел в решетке представляет собой возможную цену базового актива в данный момент времени.

Оценка выполняется итеративно, начиная с каждого из конечных узлов (тех, которые могут быть достигнуты во время истечения срока действия), а затем работая в обратном направлении по дереву к первому узлу (оценка Дата). Стоимость, вычисляемая на каждом этапе, - это стоимость опциона на данный момент времени.

Оценка опциона с использованием этого метода, как описано, представляет собой трехэтапный процесс:

  1. построение дерева цен,
  2. расчет стоимости опциона на каждом последнем узле,
  3. последовательный расчет стоимости опциона на каждом предшествующем узле.

Шаг 1: Создайте биномиальное ценовое дерево

Дерево цен создается путем продвижения вперед от даты оценки до истечения срока.

На каждом этапе предполагается, что базовый инструмент будет перемещаться вверх или вниз на определенный коэффициент (u {\ displaystyle u}u или d {\ displaystyle d}d) на шаг дерева (где, по определению, u ≥ 1 {\ displaystyle u \ geq 1}u \ ge 1 и 0 < d ≤ 1 {\displaystyle 00 <d \ le 1 ). Итак, если S {\ displaystyle S}S - текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо S up = S ⋅ u {\ displaystyle S_ {up} = S \ cdot u}S_ {вверх} = S \ cdot u или S down = S ⋅ d {\ displaystyle S_ {down} = S \ cdot d}S_ {down} = S \ cdot d .

Коэффициенты увеличения и уменьшения рассчитываются с использованием базового волатильность, σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma и длительность шага t {\ displaystyle t}t , измеряемая в годах ( с использованием правила подсчета дней базового инструмента). Из условия, что дисперсия логарифма цены равна σ 2 t {\ displaystyle \ sigma ^ {2} t}\ sigma ^ 2 t , мы имеем:

u знак равно е σ T {\ displaystyle u = e ^ {\ sigma {\ sqrt {t}}}}u = e ^ {\ sigma \ sqrt t}
d = e - σ t = 1 u. {\ displaystyle d = e ^ {- \ sigma {\ sqrt {t}}} = {\ frac {1} {u}}.}d = e ^ {- \ sigma \ sqrt t} = \ frac {1} {u}.

Выше - оригинальный метод Кокса, Росса и Рубинштейна (CRR); существуют различные другие методы для создания решетки, такие как дерево «равных вероятностей», см.

Метод CRR гарантирует, что дерево является рекомбинантным, т.е. если базовый актив перемещается вверх, а затем вниз (u, d) цена будет такой же, как если бы она двигалась вниз, а затем вверх (d, u) - здесь два пути сливаются или рекомбинируются. Это свойство уменьшает количество узлов дерева и, таким образом, ускоряет вычисление цены опциона.

Это свойство также позволяет рассчитывать стоимость базового актива на каждом узле напрямую с помощью формулы и не требует, чтобы сначала было построено дерево. Значение узла будет:

S n = S 0 × u N u - N d, {\ displaystyle S_ {n} = S_ {0} \ times u ^ {N_ {u} -N_ {d}},}{\ displaystyle S_ {n} = S_ {0} \ times u ^ {N_ {u} -N_ {d}},}

где N u {\ displaystyle N_ {u}}N_{u}- количество тиков вверх, а N d {\ displaystyle N_ {d}}N_ {d} - количество тиков вниз.

Шаг 2: Найдите значение параметра на каждом последнем узле

на каждом последнем узле дерева, т.е. по истечении срока действия опциона - значение опциона - это просто его внутренняя или исполненная стоимость:

Макс [(S n - K), 0], для опцион колл
Макс [(K - S n), 0], для опциона пут ,

, где K - цена исполнения и S n {\ displaystyle S_ {n}}S_ {n} - спотовая цена базового актива в n периоде.

Шаг 3: Найдите значение параметра в более ранних узлах

После завершения вышеуказанного шага значение параметра затем будет найдено для каждого узла, начиная с предпоследнего временного шага и возвращаясь к первый узел дерева (дата оценки), где рассчитанный результат - это стоимость опциона.

В общих чертах: «биномиальное значение» находится в каждом узле с использованием допущения нейтральности риска ; см. Оценка без риска. Если упражнение разрешено в узле, то модель берет большее из значений бинома и упражнения в узле.

Этапы следующие:

  1. При допущении нейтральности риска сегодняшняя справедливая цена производного инструмента равна ожидаемой стоимости его будущего вознаграждения, дисконтированного по безрисковой ставке. Следовательно, ожидаемая стоимость рассчитывается с использованием значений опционов из двух более поздних узлов (вариант вверх и вариант вниз), взвешенных по их соответствующим вероятностям - «вероятность» p восходящего движения базового актива и «вероятность» (1 − p) движения вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется до r, безрисковая ставка, соответствующая сроку действия опциона.
    Следующая формула для вычисления ожидаемого значения применяется к каждому узлу:
    Биномиальное значение = [p × Option up + (1 - p) × Option down] × exp ⁡ (- r × Δ t) {\ displaystyle {\ text {биномиальное значение}} = [p \ times {\ text {Option up}} + (1-p) \ times {\ text {Option down]}} \ times \ exp (-r \ times \ Delta t)}{\ displaystyle {\ text {биномиальное значение}} = [p \ times {\ text {Option up}} + (1-p) \ times {\ text {Option down]}} \ times \ exp (-r \ times \ Delta t)} , или
    C t - Δ t, i = e - r Δ t (p C t, i + (1 - p) C t, я + 1) {\ Displaystyle С_ {т- \ Дельта т, я} = е ^ {- г \ Дельта т} (рС_ {т, я} + (1-р) С_ {т, я + 1}) \,}{\ displaystyle C_ {t- \ Delta t, i} = e ^ {- r \ Delta t} (pC_ {t, i} + (1-p) C_ {t, i + 1}) \,}
    где
    C t, i {\ displaystyle C_ {t, i} \,}C_ {t, i} \, - значение параметра для iith {\ displaystyle i ^ {th} \,}i ^ {th } \, узел в момент времени t,
    p = e (r - q) Δ t - du - d {\ displaystyle p = {\ frac {e ^ {(rq) \ Delta t} -d} {ud}}}p = \ frac {e ^ {(rq) \ Delta t} - d} {u - d} выбирается так, чтобы связанное биномиальное распределение имитировало геометрическое броуновское движение лежащей в основе акции с параметрами r и σ,
    q - дивидендная доходность базового актива, соответствующая сроку действия опциона. Отсюда следует, что в нейтральном к риску мире фьючерсная цена должна иметь ожидаемый темп роста, равный нулю, и поэтому мы можем рассматривать q = r {\ displaystyle q = r}q = r для фьючерсов.
    Примечание. что для p находится в интервале (0, 1) {\ displaystyle (0,1)}(0,1) следующее условие на Δ t {\ displaystyle \ Delta t}\ Delta t должен быть выполнен Δ t < σ 2 ( r − q) 2 {\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}\ Delta t <\ frac {\ sigma ^ 2} {(rq) ^ 2} .
    (Обратите внимание, что альтернативный подход к оценке, ценообразование без арбитража, дает идентичные результаты; см. «дельта-хеджирование ».)
  2. Этот результат представляет собой «биномиальное значение». Он представляет собой справедливую цену производного инструмента в определенный момент времени (то есть в каждом узле), учитывая динамику цены базового инструмента до этого момента. Это стоимость опциона, если бы он был удержан, а не исполнен в этот момент.
  3. В зависимости от стиля опциона оцените возможность досрочного исполнения на каждом узле: if (1) опцион может быть исполнен, и (2) значение исполнения превышает биномиальное значение, затем (3) значение в узле является значением исполнения.
    • Для европейского опциона нет возможности раннего исполнения, и биномиальное значение применяется во всех узлах.
    • Для американского опциона, поскольку опцион может быть удержан или исполнен до истечения срока его действия, значение в каждом узле равно: Макс. (биномиальная стоимость, стоимость исполнения).
    • Для бермудского опциона, значение на узлы, где разрешено раннее упражнение: Макс (биномиальное значение, значение упражнения); в узлах, где раннее упражнение не разрешено, применяется только биномиальное значение.

При вычислении значения на следующем вычисленном временном шаге, т.е. на один шаг ближе к оценке - модель должна использовать выбранное здесь значение для «Вариант вверх» / «Вариант вниз», соответственно, в формуле в узле. Алгоритм aside демонстрирует подход к вычислению цены американского пут-опциона, хотя его легко обобщить для колл и для европейских и бермудских опционов:

Взаимосвязь с Блэком – Шоулзом

Подобные предположения лежат в основе биномиальной модели и модели Блэка – Шоулза, и, таким образом, биномиальная модель обеспечивает дискретное время приближение к непрерывный процесс, лежащий в основе модели Блэка – Шоулза. Биномиальная модель предполагает, что движения цены следуют биномиальному распределению ; для многих испытаний это биномиальное распределение приближается к логнормальному распределению, принятому Блэком – Шоулзом. В этом случае для европейских опционов без дивидендов значение биномиальной модели сходится к значению формулы Блэка – Шоулза по мере увеличения количества временных шагов.

Кроме того, при анализе в виде числовой процедуры биномиальный метод CRR можно рассматривать как частный случай явного метода конечных разностей для метода Блэка – Шоулза PDE ; см. методы конечных разностей для ценообразования опционов.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-12 06:35:56
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте