Одномерная группа симметрии

редактировать

группа симметрии в одномерных системах

A одномерная группа симметрии - это математическая группа, который описывает симметрии в одном измерении (1D).

Узор в 1D может быть представлен как функция f (x), например, для цвета в позиции x.

Единственная нетривиальная точечная группа в 1D - это простое отражение . Он может быть представлен простейшей группой Кокстера, A 1, [] или диаграммой Кокстера-Дынкина .

Аффинные группы симметрии представляют перевод. Изометрии, которые оставляют функцию неизменной, - это переводы x + a с такими, что f (x + a) = f (x), и отражения a - x с такими, что f (a - х) = е (х). Отражения могут быть представлены аффинной группой Кокстера [∞] или диаграммой Кокстера-Дынкина , представляющей два отражения, и трансляционной симметрией как [∞] или диаграммой Кокстера-Дынкина как соединение двух отражений.

Содержание

1 Точечная группа
2 Дискретные группы симметрии
- 2.1 Трансляционная симметрия
- 2.2 Недискретные группы симметрии
3 1D-симметрия функции и 2D-симметрия ее графика
4 Групповое действие
5 Орбиты и стабилизаторы
6 См. Также

Точечная группа

Для шаблона без трансляционной симметрии есть следующие возможности (1D точечные группы ):

группа симметрии - тривиальная группа (без симметрии)
группа симметрии - одна из групп, каждая из которых состоит из тождества и отражения в точке (изоморфна Z 2)

Группа	Кокстер		Описание
C1	[]		Идентичность, Тривиальная группа Z1
D1	[]		Отражение. Абстрактные группы Z 2 или Dih 1.

Дискретные группы симметрии

Эти аффинные симметрии можно рассматривать как предельные случаи двумерных диэдральных и циклических групп :

Группа	Кокстера		Описание
C∞	[∞]		Циклические: ∞-кратные вращения становятся трансляциями. Абстрактная группа Z ∞, бесконечный циклический группа.
D∞	[∞]		Диэдральная: ∞-кратные отражения. Абстрактная группа Dih ∞, группа бесконечного диэдра.

Трансляционная симметрия

Рассмотрим все модели в 1D, которые имеют трансляционную симметрию, т. Е. Функции f ( x) такое, что для некоторого a>0 f (x + a) = f (x) для всех x. Для этих шаблонов значения a, для которых выполняется это свойство, образуют группу .

. Сначала мы рассмотрим шаблоны, для которых группа дискретна, т. Е. Для которых положительные значения в группе имеют минимум. При изменении масштаба мы делаем это минимальное значение 1.

Такие шаблоны делятся на две категории: две 1D группы пробелов или группы линий.

В более простом случае единственные изометрии R, которые сопоставляют шаблон самому себе, являются переводами; это применимо, например, для шаблона

- −−− - −−− - −−− - −−−

Каждая изометрия может быть охарактеризована целым числом, а именно плюс или минус расстояние перемещения. Следовательно, группа симметрии равна Z.

. В другом случае, среди изометрий R, которые отображают шаблон на себя, также есть отражения; это применимо, например, для шаблона

- −−− - - −−− - - −−− -

Мы выбираем начало координат для x в одной из точек отражения. Теперь все отражения, которые сопоставляют шаблон с самим собой, имеют форму a − x, где константа "a" является целым числом (приращение a снова равно 1, потому что мы можем объединить отражение и перенос, чтобы получить другое отражение, и мы можно объединить два отражения, чтобы получить перевод). Следовательно, все изометрии можно охарактеризовать целым числом и кодом, скажем 0 или 1, для перевода или отражения.

Таким образом:

$(a, 0): x ↦ x + a {\ displaystyle (a, 0): x \ mapsto x + a}$ $(a, 0): x \ mapsto x + a$
$(a, 1): x ↦ a - x {\ displaystyle (a, 1): x \ mapsto ax}$ $(a, 1): x \ mapsto ax$

Последний является отражением относительно точки a / 2 (целое число или целое число плюс 1/2).

Групповые операции (композиция функций, первая справа) для целых чисел a и b:

$(a, 0) ∘ (b, 0) = (a + b, 0) {\ displaystyle (a, 0) \ circ (b, 0) = (a + b, 0)}$ $(a, 0) \ circ (b, 0) = (a + b, 0)$
$(a, 0) ∘ (b, 1) = (a + b, 1) {\ displaystyle (a, 0) \ circ (b, 1) = (a + b, 1)}$ $(a, 0) \ circ (b, 1) = (a + b, 1)$
$(a, 1) ∘ (b, 0) = (a - b, 1) {\ displaystyle (a, 1) \ circ (b, 0) = (ab, 1)}$ $(a, 1) \ circ (b, 0) = (ab, 1)$
$(a, 1) ∘ (b, 1) = (a - b, 0) {\ displaystyle (a, 1) \ circ (b, 1) = (ab, 0)}$ $(a, 1) \ circ (b, 1) = (ab, 0)$

Например, в третьем случае: перевод на величину b изменяет x в x + b, отражение относительно 0 дает − x - b, а перевод a дает a - b - x.

Эта группа называется обобщенной диэдральной группой из Z, Dih (Z ), а также D ∞. Это полупрямое произведение из Z и C 2. Он имеет нормальную подгруппу из индекса 2, изоморфную Z : переводы. Также он содержит элемент п порядка 2 такой, что для всех п в Z, п F = F N: отражение относительно опорной точки, (0,1).

Две группы называются решетчатыми группами. Решетка равна Z . В качестве ячейки трансляции мы можем взять интервал 0 ≤ x < 1. In the first case the фундаментальный домен, можно взять то же самое; топологически это круг (1- тор ); во втором случае можно взять 0 ≤ x ≤ 0,5.

Фактическая группа дискретной симметрии трансляционно-симметричного шаблона может быть:

типа группы 1, для любого положительного значения наименьшего трансляционного расстояния
группы 2 типа, для любого положительного значения наименьшего расстояния трансляции и любого расположения решетки точек отражения (которая вдвое плотнее решетки трансляции)

Таким образом, набор трансляционно-симметричных паттернов можно классифицировать по фактической симметрии группы, в то время как фактические группы симметрии, в свою очередь, могут быть классифицированы как тип 1 или тип 2.

Эти типы пространственных групп представляют собой группы симметрии «с точностью до сопряженности относительно аффинных преобразований»: аффинное преобразование изменяет расстояние перевода к стандартному (вверху: 1) и положение одной из точек отражения, если применимо, к началу координат. Таким образом, настоящая группа симметрии содержит элементы вида gag = b, который является сопряженным с a.

Недискретные группы симметрии

Для однородного «паттерна» группа симметрии содержит все трансляции и отражение во всех точках. Группа симметрии изоморфна Dih (R ).

Существуют также менее тривиальные шаблоны / функции с трансляционной симметрией для произвольно малых переводов, например группа переводов на рациональные расстояния. Даже помимо масштабирования и смещения случаев существует бесконечно много, например рассматривая рациональные числа, знаменатели которых являются степенями данного простого числа.

Переводы образуют группу изометрий. Однако нет никакой закономерности с этой группой как группой симметрии.

1D-симметрия функции и 2D-симметрия ее графика

Симметрии функции (в смысле данной статьи) подразумевают соответствующие симметрии ее графика. Однако двукратная осевая симметрия графика не подразумевает какой-либо симметрии (в смысле данной статьи) функции: значения функции (в шаблоне, представляющем цвета, оттенки серого и т. Д.) Являются номинальными данными, т.е. серый не находится между черным и белым, просто все три цвета разные.

Даже с номинальными цветами может быть особый вид симметрии, например:

−−−−−−− - - −−− - - - -

(отражение дает негативное изображение). Это тоже не входит в классификацию.

Групповое действие

Групповое действие группы симметрии, которое можно рассматривать в этой связи:

на R
на множестве реальных функций реальной переменной (каждое из которых представляет собой pattern)

В этом разделе показаны концепции групповых действий для этих случаев.

Действие G на X называется

транзитивным, если для любых двух x, y в X существует g в G такой, что g · x = y; ни для одного из двух действий группы это не так для любой дискретной группы симметрии
точной (или эффективной), если для любых двух различных g, h в G существует x в X такой, что g · x ≠ h · Икс; для обоих групповых действий это имеет место для любой дискретной группы симметрии (потому что, за исключением тождества, группы симметрии не содержат элементов, которые «ничего не делают»)
бесплатно, если для любых двух разных g, h в G и для всех x в X имеем g · x ≠ h · x; это тот случай, если нет отражений
регулярных (или просто транзитивных), если они одновременно транзитивны и свободны; это равносильно утверждению, что для любых двух x, y в X существует ровно один g в G такой, что g · x = y.

Орбиты и стабилизаторы

Рассмотрим группу G, действующую на множестве X. Орбита точки x в X - это набор элементов X, к которым x может быть перемещен элементами G. Орбита x обозначается Gx:

G x = { g ⋅ x ∣ g ∈ G}. {\ displaystyle Gx = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ right \}.}

Gx = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ right \}.

Случай, когда действие группы находится на R:

Для тривиальной группы все орбиты содержат только один элемент; для группы переводов орбита равна, например, {.., - 9,1,11,21,..}, для отражения, например {2,4}, а для группы симметрии со сдвигами и отражениями, например, {−8, −6,2,4,12,14,22,24,..} (расстояние переноса равно 10, точки отражения.., - 7, −2,3,8,13,18,23,..). Точки на орбите «эквивалентны». Если для шаблона применяется группа симметрии, то в пределах каждой орбиты цвет будет одинаковым.

Случай, когда групповое действие относится к шаблонам:

Орбиты - это наборы шаблонов, содержащие переведенные и / или отраженные версии, “ эквивалентные образцы ». Перевод шаблона эквивалентен только в том случае, если расстояние перевода является одним из тех, которые включены в рассматриваемую группу симметрии, и аналогично для зеркального изображения.

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / ГРАММ.

Если Y является подмножеством X, мы пишем GY для набора {g · y: y $∈ {\ displaystyle \ in}$ $\ in$ Y и г $∈ {\ displaystyle \ in}$ $\ in$ G}. Мы называем подмножество Y инвариантным относительно G, если GY = Y (что эквивалентно GY ⊆ Y). В этом случае G также действует на Y. Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g · y = y для всех g в G и всех y в Y. В примере с орбитой {−8, −6,2,4, 12,14,22,24,..}, {−9, −8, −6, −5,1,2,4,5,11,12,14,15,21,22,24,25,..} инвариантен относительно G, но не фиксирован.

Для каждого x в X мы определяем подгруппу стабилизатора x (также называемую группой изотропии или маленькой группой ) как множество всех элементов в G, фиксирующих x:

G x = {g ∈ G ∣ g ⋅ x = x}. {\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}.}

G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}.

Если x - точка отражения, ее стабилизатор - это группа второго порядка, содержащая идентичность и отражение инкс. В остальных случаях стабилизатор - тривиальная группа.

Для фиксированного x в X рассмотрим отображение из G в X, заданное как $g ∣ → g ⋅ x {\ displaystyle g \ mid \ rightarrow g \ cdot x}$ ${\ displaystyle g \ mid \ стрелка вправо g \ cdot x}$ . Изображение этой карты - это орбита x, а coimage - это набор всех левых смежных классов G x. Стандартная теорема о частном в теории множеств затем дает естественную биекцию между $G / G x {\ displaystyle G / G_ {x}}$ ${ \ displaystyle G / G_ {x}}$ и $G x {\ displaystyle Gx}$ ${\ displaystyle Gx}$ . В частности, взаимное соответствие задается следующим образом: $h G x ∣ → h ⋅ x {\ displaystyle hG_ {x} \ mid \ rightarrow h \ cdot x}$ ${\ displaystyle hG_ {x} \ mid \ rightarrow h \ cdot x}$ . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты . Если в примере мы возьмем $x = 3 {\ displaystyle x = 3}$ $x = 3$ , орбита будет {−7,3,13,23,..}, и две группы будут изоморфны с Z.

Если два элемента $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ принадлежат одной и той же орбите, то их подгруппы стабилизаторов, $G x {\ displaystyle G_ {x}}$ $G_ {x}$ и $G y {\ displaystyle G_ {y}}$ $G_y$ , изоморфны. Точнее: если $y = g ⋅ x {\ displaystyle y = g \ cdot x}$ ${\ displaystyle y = g \ cdot x}$ , то $G y = g G xg - 1 {\ displaystyle G_ {y} = gG_ {x} g ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle G_ {y} = gG_ {x} g ^ {- 1}}$ . В примере это применимо, например, для 3 и 23 - обе точки отражения. Отражение около 23 соответствует смещению -20, отражение около 3 и смещению 20.

См. Также