Группа линий

A Группа линий - это математический способ описания симметрии, связанной с перемещением по линии. Эти симметрии включают повторение вдоль этой линии, что делает эту линию одномерной решеткой. Однако группы линий могут иметь более одного измерения, и они могут включать эти размеры в свои изометрии или преобразования симметрии.

Строят группу линий, беря группу точек во всех измерениях пространства, а затем добавляя перемещения или смещения вдоль линии к каждому из элементов группы точек, как построения пространственной группы . Эти смещения включают повторы и часть повтора, по одной доле для каждого элемента. Для удобства дроби масштабируются по размеру повтора; таким образом, они находятся в пределах сегмента элементарной ячейки линии.

• 1 Одномерный
• 2 Двумерный
• 3 Трехмерный
  • 3.1 Спиральная симметрия
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Имеется 2 одномерных группы линий. Это бесконечные пределы дискретных двумерных точечных групп Cnи D n:

Обозначения				Описание	Пример
Intl	Орбифолд	Кокстер	PG
p1	∞∞	[∞]	C∞	Переводы. Абстрактная группа Z, целые числа при сложении	... ->->->->...
p1m	* ∞∞	[∞]	D∞	Размышления. Абстрактная группа Dih ∞, бесконечная двугранная группа	... -><-- --><--...

Имеется 7 фризовых групп, которые включают отражения вдоль линии, отражения, перпендикулярные линии, и поворот на 180 ° в двух измерениях.

7 обозначений групп фризов и диаграмма

IUC	Орбифолд	Шёнфлис	Конвей	Кокстер	Фундаментальный. домен
p1	∞∞	C∞	C∞	[∞, 1]
p1m1	* ∞∞	C∞v	CD2∞	[∞, 1]
p11g	∞x	S2∞	CC2∞	[∞, 2]
p11m	∞*	C∞h	±C∞	[∞, 2]
p2	22∞	D∞	D2∞	[∞, 2]
p2mg	2 * ∞	D∞d	DD4∞	[∞, 2]
p2mm	* 22∞	D∞h	±D2∞	[∞, 2]

Существует 13 бесконечных семейств трехмерных групп линий, производных от 7 бесконечных семейств аксиальных трехмерных точечных групп. Как и в случае с пространственными группами в целом, группы линий с одной и той же группой точек могут иметь разные шаблоны смещений. Каждое из семейств основано на группе вращений вокруг оси с порядком n. Группы перечислены в нотации Германа-Могена, а для точечных групп - нотации Шенфлиса. Кажется, что нет сопоставимых обозначений для групп линий. Эти группы также можно интерпретировать как образцы групп обоев, обернутых вокруг цилиндра n раз и бесконечно повторяющихся вдоль оси цилиндра, подобно трехмерным точечным группам и группам фризов. Таблица этих групп:

Группа точек					Группа линий
H-M		Schönf.	Orb.	Cox.	HM		Offset type	Wallpaper			Coxeter. [∞h, 2, p v]
Even n	Нечетный n				Четный n	Нечетный n		IUC	Орбифолд	Диаграмма
n		Cn	nn	[n]	Pnq		Спиральная: q	p1	o		[∞, 2, n]
2n	n	S2n	n×	[2,2n]	P2n	Pn	Нет	p11g, pg (h)	××		[(∞, 2), 2n]
n / m	2n	Cnh	n*	[2, n]	Pn / m	P2n	Нет	p11m, pm (h)	**		[∞, 2, n]
2n / m		C2nh	( 2n) *	[2,2n]	P2n n / m		Зигзаг	c11m, см (h)	*x		[∞, 2,2n]
нм	нм	Cnv	*nn	[n]	Pnmm	Pnm	Нет	p1m1, pm (v)	**		[∞, 2, n]
					Pncc	Pnc	Плоское отражение	p1g1, pg (v)	xx		[∞, (2, n)]
2nmm		C2nv	*(2n)(2n)	[2n]	P2n n mc		Зигзаг	c1m1, cm (v)	*x		[∞, 2,2n]
n22	n2	Dn	n22	[2, n]	Pnq22	Pnq2	Спирально: q	p2	2222		[∞, 2, n ]
2n2m	нм	Dnd	2*n	[2,2n]	P2n2m	Pnm	Нет	p2gm, pmg (ч)	22 * ​​		[(∞, 2), 2n]
					P2n2c	Pnc	Плоское отражение	p2gg, pgg	22 ×		[(∞, (2), 2n)]
n / ммм	2n2m	Dnh	*n22	[2, n]	Pn / ммм	P2n2m	Нет	p2mm, pmm	* 2222		[∞, 2, n]
					Pn / mcc	P2n2c	Плоское отражение	p2mg, pmg (v)	22 * ​​		[∞, (2, n)]
2n / ммм		D2nh	*(2n)22	[2,2n]	P2n n / мкм		Зигзаг	c2mm, cmm	2 * 22		[∞, 2,2n]

Типы смещения:

• Без смещения.
• Спиральное смещение со спиральностью q. Для C n (q) и D n (q) осевое вращение k из n имеет смещение (q / n) k mod 1. Частица, подвергаемая вращению в Таким образом, последовательность будет прослеживать спираль. D n (q) включает повороты на 180 ° по осям в перпендикулярной плоскости; эти оси имеют одинаковый спиральный образец смещения относительно их направлений.
• Зигзагообразное смещение. Смещение по спирали для спиральности q = n для общего числа 2n. Осевое вращение k из 2n имеет 1/2, если нечетное, 0, если четное, и то же самое для других элементов.
• Смещение плоского отражения. Каждый элемент, который является отражением вдоль направления в перпендикулярной плоскости, имеет смещение 1/2. Это аналогично тому, что происходит в группах фризов p11g и p2mg.

Обратите внимание, что группы обоев pm, pg, cm и pmg появляются дважды. Каждый внешний вид имеет разную ориентацию относительно оси группы линий; отражение параллельно (h) или перпендикулярно (v). У остальных групп такой ориентации нет: p1, p2, pmm, pgg, cmm.

Если точечная группа ограничена, чтобы быть кристаллографической точечной группой, симметрией некоторой трехмерной решетки, то полученная группа линий называется группой стержней. Всего 75 групп стержней.

• Обозначение Кокстера основано на прямоугольных группах обоев с вертикальной осью, свернутой в цилиндр симметрии порядка n или 2n.

Переходя к континуальному пределу, с n до ∞, возможные группы точек становятся C ∞, C ∞h, C ∞v, D ∞ и D ∞h, а группы линий имеют соответствующие возможные смещения, за исключением зигзага.

Спиральная симметрия

Спираль Бордейка – Кокстера, цепочка правильных тетраэдров, демонстрирует спиральную симметрию без целого числа витков, повторяющих исходную ориентацию.

Группы C n (q) и D n (q) выражают симметрии спиральных объектов. C n (q) для | q | спирали ориентированы в одном направлении, а D n (q) для | q | неориентированные спирали и 2 | q |, спирали с чередующейся ориентацией. Изменение знака q на противоположное создает зеркальное отражение, изменяя хиральность спиралей или их направленность. Спирали могут иметь собственную длину внутреннего повтора; n становится числом оборотов, необходимым для получения целого числа внутренних повторов. Но если скручивание спирали и ее внутреннее повторение несоизмеримы (отношение не является рациональным числом), то фактически n равно ∞.

Нуклеиновые кислоты, ДНК и РНК хорошо известны своей спиральной симметрией. Нуклеиновые кислоты имеют четко определенное направление, давая одиночные цепи C n (1). Двойные нити имеют противоположные направления и находятся на противоположных сторонах оси спирали, что дает им D n (1).

• Точечная группа
• Пространственная группа
• Одномерная группа симметрии
• Фризовая группа
• Стержневая группа