Существование и плавность Навье – Стокса

редактировать

Задача Millennium Prize

Визуализация потока турбулентной струи, выполненная с помощью индуцированной лазером флуоресценции. Струя имеет широкий диапазон масштабов длины, что является важной характеристикой турбулентных течений.

Проблема существования и гладкости Навье – Стокса касается математических свойств решений Уравнения Навье – Стокса, система дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают движение жидкости в пространстве. Решения уравнений Навье – Стокса используются во многих практических приложениях. Однако теоретическое понимание решений этих уравнений неполное. В частности, решения уравнений Навье – Стокса часто включают турбулентность, которая остается одной из самых больших нерешенных проблем в физике, несмотря на ее огромное значение для науки и техники.

Даже более основные свойства решений Навье – Стокса никогда не были доказаны. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса.

Поскольку понимание уравнений Навье – Стокса считается первым шагом к пониманию неуловимого явления турбулентности, Институт математики Клея в мае 2000 г. поставил эту задачу. одна из семи его задач по математике. Он предложил приз 1 000 000 долларов США первому, кто предоставил решение для конкретной постановки проблемы:

Докажите или приведите контрпример следующего утверждения:.

В трех измерениях пространства и времени, при заданном начальном поле скорости, существует вектор скорости и скалярное поле давления, которые являются гладкими и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса.

Содержание

1 Уравнения Навье – Стокса
2 Две настройки: неограниченное и периодическое пространство
3 Постановка задачи во всем пространстве
- 3.1 Гипотезы и условия роста
- 3.2 Гипотезы о Премии тысячелетия во всем пространстве
4 Постановка периодической задачи
- 4.1 Гипотезы
- 4.2 Периодические теоремы о Премии тысячелетия
5 Частичные результаты
6 В популярной культуре
7 Примечания
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Уравнения Навье – Стокса

В математике уравнения Навье – Стокса представляют собой систему нелинейных уравнения в частных производных для абстрактных векторных полей любого размера. В физике и технике это система уравнений, которая моделирует движение жидкостей или не разреженных газов (в которых длина свободного пробега достаточно мала, чтобы можно было подумать в качестве среднего континуума, а не набора частиц) с использованием механики сплошной среды. Уравнения представляют собой формулировку второго закона Ньютона, в котором силы моделируются в соответствии с таковыми в вязкой ньютоновской жидкости - как сумма вкладов давления, вязкая напряжение и внешняя сила тела. Поскольку постановка задачи, предложенная Институтом математики Клея, является трехмерной, для несжимаемой и однородной жидкости, ниже рассматривается только этот случай.

Пусть $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ $\ mathbf {v} (\ boldsymbol {x}, t)$ будет трехмерным векторным полем, скорость жидкости, и пусть $p (x, t) {\ displaystyle p ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ $p (\ boldsymbol {x }, t)$ будет давлением жидкости. Уравнения Навье – Стокса:

∂ v ∂ t + (v ⋅ ∇) v = - 1 ρ ∇ p + ν Δ v + f (x, t) {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf { v}} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p + \ nu \ Delta \ mathbf {v } + \ mathbf {f} ({\ boldsymbol {x}}, t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p + \ nu \ Delta \ mathbf {v} + \ mathbf {f} ({\ boldsymbol {x}}, t)}

где $ν>0 {\ displaystyle \ nu>0}$ $\nu>0$ - кинематическая вязкость, $f (x, t) { \ displaystyle \ mathbf {f} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ $\ mathbf {f} (\ boldsymbol {x}, t)$ внешняя объемная сила, $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ - оператор градиента и $Δ {\ displaystyle \ displaystyle \ Delta}$ $\ displaystyle \ Delta$ - это оператор лапласиана, который также обозначается $∇ ⋅ ∇ {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla}$ $\ nabla \ cdot \ nabla$ или $∇ 2 {\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ {2}$ . Обратите внимание, что это векторное уравнение, т.е. оно имеет три скалярных уравнения.. Writin g вниз по координатам скорости и внешней силы

v (x, t) = (v 1 (x, t), v 2 (x, t), v 3 (x, t)), f (x, т) знак равно (е 1 (х, т), е 2 (х, т), е 3 (х, т)) {\ displaystyle \ mathbf {v} ({\ boldsymbol {x}}, т) = { \ big (} \, v_ {1} ({\ boldsymbol {x}}, t), \, v_ {2} ({\ boldsymbol {x}}, t), \, v_ {3} ({\ boldsymbol {x}}, t) \, {\ big)} \,, \ qquad \ mathbf {f} ({\ boldsymbol {x}}, t) = {\ big (} \, f_ {1} ({\ boldsymbol {x}}, t), \, f_ {2} ({\ boldsymbol {x}}, t), \, f_ {3} ({\ boldsymbol {x}}, t) \, {\ big) }}

\ mathbf {v} (\ boldsymbol {x}, t) = \ big (\, v_1 ​​(\ boldsymbol {x}, t), \, v_2 (\ boldsymbol {x}, t), \, v_3 (\ boldsymbol {x}, t) \, \ big) \,, \ qquad \ mathbf { f} (\ boldsymbol {x}, t) = \ big (\, f_1 (\ boldsymbol {x}, t), \, f_2 (\ boldsymbol {x}, t), \, f_3 (\ b oldsymbol {x}, t) \, \ big)

тогда для каждого $i = 1, 2, 3 {\ displaystyle i = 1,2,3}$ $i = 1,2,3$ существует соответствующее скалярное уравнение Навье – Стокса:

∂ vi ∂ t + ∑ j = 1 3 ∂ vi ∂ xjvj = - 1 ρ ∂ p ∂ xi + ν ∑ j = 1 3 ∂ 2 vi ∂ xj 2 + fi (x, t). {\ displaystyle {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j }}} v_ {j} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}} + \ nu \ sum _ {j = 1} ^ { 3} {\ frac {\ partial ^ {2} v_ {i}} {\ partial x_ {j} ^ {2}}} + f_ {i} ({\ boldsymbol {x}}, t).}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3 } {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}}} v_ {j} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}} + \ nu \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial ^ {2} v_ {i}} {\ partial x_ {j} ^ { 2}}} + f_ {i} ({\ boldsymbol {x}}, t).}

Неизвестными являются скорость $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ $\ mathbf {v} (\ boldsymbol {x}, t)$ и давление $p (x, т) {\ displaystyle p ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ $p (\ boldsymbol {x }, t)$ . Поскольку в трех измерениях есть три уравнения и четыре неизвестных (три скалярные скорости и давление), то требуется дополнительное уравнение. Это дополнительное уравнение является уравнением непрерывности для несжимаемой жидкости, которое описывает сохранение массы жидкости:

∇ ⋅ v = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0.}

\ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0.

Благодаря этому последнему свойству решения уравнений Навье – Стокса ищутся в наборе соленоидальных ("дивергенция -свободных ") функций. Для этого течения однородной среды плотность и вязкость постоянны.

Поскольку появляется только его градиент, давление p можно исключить, взяв ротор обеих частей уравнений Навье – Стокса. В этом случае уравнения Навье – Стокса сводятся к уравнениям переноса завихренности.

Две настройки: неограниченное и периодическое пространство

Есть две разные настройки для призового в один миллион долларов Navier– Проблема существования Стокса и гладкости. Исходная задача находится во всем пространстве $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ , что требует дополнительных условий для поведения роста начального условия и решений. Чтобы исключить проблемы на бесконечности, уравнения Навье – Стокса могут быть заданы в периодической структуре, что означает, что они больше не работают во всем пространстве $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { 3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ но в трехмерном торе $T 3 = R 3 / Z 3 {\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {3} = \ mathbb {R} ^ {3} / \ mathbb {Z} ^ {3}}$ $\ mathbb {T} ^ 3 = \ mathbb {R} ^ 3 / \ mathbb {Z} ^ 3$ . Каждый случай будет рассматриваться отдельно.

Постановка задачи во всем пространстве

Гипотезы и условия роста

Начальное условие $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ предполагается гладкой и бездивергентной функцией (см. smooth function ) такой, что для каждого мультииндексного $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ (см. многоиндексную нотацию ) и любые $K>0 {\ displaystyle K>0}$ $K>0$ , существует константа $C = C (α, K)>0 {\ displaystyle C = C (\ alpha, K)>0}$ $C=C(\alpha,K)>0$ таким образом, чтобы

| ∂ α v 0 (x) | ≤ С (1 + | Икс |) К {\ Displaystyle \ vert \ partial ^ {\ alpha} \ mathbf {v_ {0}} (x) \ vert \ leq {\ frac {C} {(1+ \ vert x \ vert) ^ {K}}} \ qquad}

\ vert \ partial ^ \ alpha \ mathbf {v_0} (x) \ vert \ le \ frac {C} {(1+ \ vert x \ vert) ^ K} \ qquad

для всех

x ∈ R 3. {\ displaystyle \ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ {3}.}

\ qquad x \ in \ mathbb {R} ^ 3.

Внешняя сила $f (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$ $\ mathbf {f} (x, t)$ также считается гладкой функцией и удовлетворяет очень аналогичному неравенству (теперь мультииндекс также включает производные по времени):

| ∂ α f (x, t) | ≤ С (1 + | Икс | + T) К {\ Displaystyle \ vert \ partial ^ {\ alpha} \ mathbf {f} (x, t) \ vert \ leq {\ frac {C} {(1+ \ vert x \ vert + t) ^ {K}}} \ qquad}

{\ displaystyle \ vert \ partial ^ {\ alpha} \ mathbf {f} (x, t) \ vert \ leq {\ frac {C} {(1+ \ vert x \ vert + t) ^ {K}}} \ qquad}

для всех

(x, t) ∈ R 3 × [0, ∞). {\ displaystyle \ qquad (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ times [0, \ infty).}

\ qquad (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ 3 \ times [0, \ infty).

Для физически разумных условий типом ожидаемых решений являются гладкие функции, которые не расти как $| х | → ∞ {\ displaystyle \ vert x \ vert \ to \ infty}$ $\ vert x \ vert \ to \ infty$ . Точнее, сделаны следующие предположения:

$v (x, t) ∈ [C ∞ (R 3 × [0, ∞))] 3, p (x, t) ∈ C ∞ (R 3 × [0, ∞)) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t) \ in \ left [C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {3} \ times [0, \ infty)) \ right] ^ {3} \,, \ qquad p (x, t) \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {3} \ times [0, \ infty))}$ $\ mathbf {v} (x, t) \ in \ left [C ^ \ infty (\ mathbb {R} ^ 3 \ times [0, \ infty)) \ right] ^ 3 \,, \ qquad p (x, t) \ in C ^ \ infty (\ mathbb {R} ^ 3 \ times [0, \ infty))$
Существует константа $E ∈ (0, ∞) {\ displaystyle E \ in (0, \ infty)}$ $E \ in (0, \ infty)$ такой, что $∫ R 3 | v (x, t) | 2 d x < E {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx$ ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ vert \ mathbf {v} (x, t) \ vert ^ {2} \, dx <E}$ для всех $t ≥ 0. {\ displaystyle t \ geq 0 \,.}$ $t \ ge 0 \,.$

Условие 1 означает, что функции являются гладкими и определены глобально, а условие 2 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.

Гипотезы Премии тысячелетия во всем пространстве

(A) Существование и гладкость решений Навье – Стокса в $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Пусть $f (x, t) ≡ 0 {\ displaystyle \ mathbf {f} (x, t) \ Equiv 0}$ $\ mathbf {f} (x, t) \ Equiv 0$ . Для любого начального условия $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ , удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнения Навье – Стокса уравнения, т.е. есть вектор скорости $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$ $\ mathbf {v} (x, t)$ и давление $p (x, t) { \ displaystyle p (x, t)}$ $p (x, t)$ удовлетворяет условиям 1 и 2 выше.

(B) Разбивка решений Навье – Стокса в $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Существует начальное условие $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ и внешняя сила $f (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$ $\ mathbf {f} (x, t)$ таких, что не существует решений $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$ $\ mathbf {v} (x, t)$ и $p (x, t) {\ displaystyle p (x, t)}$ $p (x, t)$ удовлетворяет условиям 1 и 2 выше.

Постановка периодической задачи

Гипотезы

Искомые функции периодичны в пространственных переменных периода 1. Точнее, пусть $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_{i}$ - унитарный вектор в i-направлении:

e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) {\ Displaystyle e_ {1} = (1,0,0) \,, \ qquad e_ {2} = (0,1,0) \,, \ qquad e_ {3} = (0, 0,1)}

e_1 = (1,0,0) \,, \ qquad e_2 = (0,1,0) \,, \ qquad e_3 = (0, 0,1)

Тогда $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$ $\ mathbf {v} (x, t)$ периодичен по пространственным переменным, если для любого $я = 1, 2, 3 {\ displaystyle i = 1,2,3}$ $i = 1,2,3$ , тогда:

v (x + ei, t) = v (x, t) для всех (x, t) ∈ R 3 × [0, ∞). {\ displaystyle \ mathbf {v} (x + e_ {i}, t) = \ mathbf {v} (x, t) {\ text {для всех}} (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ times [0, \ infty).}

\ mathbf {v} (x + e_i, t) = \ mathbf {v} ( x, t) \ text {для всех} (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ 3 \ times [0, \ infty).

Обратите внимание, что здесь учитываются координаты mod 1. Это позволяет работать не со всем пространством $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ , а над частным пространством $R 3 / Z 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} / \ mathbb {Z} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3 / \ mathbb {Z} ^ 3$ , который оказывается трехмерным тором:

T 3 = {( θ 1, θ 2, θ 3): 0 ≤ θ i < 2 π, i = 1, 2, 3 }. {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}

\ mathbb {T} ^ 3 = \ {(\ theta_1, \ theta_2, \ theta_3): 0 \ le \ theta_i <2 \ pi \,, \ quad i = 1,2,3 \}.

Теперь гипотезы можно сформулировать правильно. Предполагается, что начальное условие $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ является гладкой и бездивергентной функцией, а внешняя сила $f (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {f} (x, t)}$ $\ mathbf {f} (x, t)$ также считается гладкой функцией. Физически релевантными являются решения, удовлетворяющие следующим условиям:

$v (x, t) ∈ [C ∞ (T 3 × [0, ∞))] 3, p (x, t) ∈ C ∞ (T 3 × [0, ∞)) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t) \ in \ left [C ^ {\ infty} (\ mathbb {T} ^ {3} \ times [0, \ infty)) \ right] ^ {3} \,, \ qquad p (x, t) \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {T} ^ {3} \ times [0, \ infty))}$ $\ mathbf {v} (x, t) \ in \ left [C ^ \ infty (\ mathbb {T} ^ 3 \ times [0, \ infty)) \ right] ^ 3 \,, \ qquad p (x, t) \ in C ^ \ infty (\ mathbb {T} ^ 3 \ times [0, \ infty))$
Существует константа $E ∈ (0, ∞) {\ displaystyle E \ in (0, \ infty)}$ $E \ in (0, \ infty)$ такая, что $∫ T 3 | v (x, t) | 2 d x < E {\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx$ ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {T} ^ {3}} \ vert \ mathbf {v} (x, t) \ vert ^ {2} \, dx <E}$ для всех $t ≥ 0. {\ displaystyle t \ geq 0 \,.}$ $t \ ge 0 \,.$

Как и в предыдущем случае, условие 3 подразумевает, что функции являются гладкими и глобально определены, а условие 4 означает, что кинетическая энергия решения равна глобально ограниченный.

Периодические теоремы о Премии тысячелетия

Пусть $е (Икс, Т) ≡ 0 {\ Displaystyle \ mathbf {F} (х, т) \ эквив 0}$ $\ mathbf {f} (x, t) \ Equiv 0$ . Для любого начального условия $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ , удовлетворяющего приведенным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнения Навье – Стокса уравнения, т.е. существует вектор скорости $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$ $\ mathbf {v} (x, t)$ и давление $p (x, t) { \ displaystyle p (x, t)}$ $p (x, t)$ удовлетворяет условиям 3 и 4 выше.

(D) Разбивка решений Навье – Стокса в $T 3 {\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {3}}$ $\ mathbb {T} ^ 3$

Частичные результаты

Проблема Навье – Стокса в двух измерениях уже была положительно решена с 1930-х годов: существуют гладкие и глобально определенные решения.
Если начальная скорость $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ достаточно мало, тогда утверждение верно: существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье – Стокса.
Для начальной скорости $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ существует конечное время T, зависящее от $v 0 (x) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (x)}$ $\ mathbf {v} _0 (x)$ таким образом, чтобы уравнения Навье – Стокса на $R 3 × (0, T) {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ times (0, T)}$ $\ mathbb {R} ^ 3 \ times (0, T)$ иметь гладкие решения $v (x, t) {\ displaystyle \ mathbf {v} (x, t)}$ $\ mathbf {v} (x, t)$ и $p (x, t) {\ displaystyle p (x, t)}$ $p (x, t)$ . Неизвестно, существуют ли решения за пределами этого «времени разрушения» T.
Жан Лере в 1934 году доказал существование так называемых слабых решений уравнений Навье – Стокса, удовлетворяющих уравнения в среднем, а не точечно.
Джон Форбс Нэш-младший. в 1962 г. доказал существование уникальных регулярных решений в локальном времени уравнения Навье – Стокса.
Теренс Тао в 2016 г. опубликовал результат разрушения за конечное время для усредненной версии 3-мерного уравнения Навье – Стокса. Он пишет, что результат формализует «барьер сверхкритичности» для глобальной проблемы регулярности истинных уравнений Навье – Стокса, и утверждает, что метод доказательства на самом деле намекает на возможный путь к установлению разрушения истинных уравнений.

В популярная культура

Нерешенные проблемы использовались, чтобы указать на редкий математический талант в художественной литературе. Проблема Навье-Стокса фигурирует в The Mathematician's Shiva (2014), книге о престижной умершей вымышленной математике по имени Рахела Карнокович, которая в знак протеста академического сообщества унесла доказательство в могилу. В фильме Одаренные (2017) упоминаются задачи, связанные с Премией тысячелетия, и рассматривается потенциал 7-летней девочки и ее покойной матери-математика для решения проблемы Навье – Стокса.

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Константин, Питер (2001). «Некоторые открытые проблемы и направления исследований в математическом исследовании гидродинамики». Математика без ограничений - 2001 и далее. Берлин: Springer. С. 353–360. DOI : 10.1007 / 978-3-642-56478-9_15. ISBN 3-642-63114-2.

Внешние ссылки

Айзенман, Майкл. «Глобальное существование и уникальность уравнений Навье-Стокса».Прислал: Яков Синай
Премия Института математики Клэя за уравнение Навье-Стокса
Почему глобальная регулярность для Навье-Стокса сложна - Возможные пути решения проблемы тщательно изучаются Теренсом Тао.
существованием и гладкостью Навье – Стокса (Задача Millennium Prize) Лекция по проблеме Луиса Каффарелли.