Войти
В математике, особенно в области дифференциальной топологии, гомологии Морса - это теория гомологий, определенная для любого гладкого многообразия. Он построен с использованием гладкой структуры и вспомогательной метрики на многообразии, но оказывается топологически инвариантным и фактически изоморфен сингулярным гомологиям. Гомологии Морса также служат моделью для различных бесконечномерных обобщений, известных как теории гомологий Флоера.
Для любого (компактного) гладкого многообразия пусть f - функция Морса, а g - риманова метрика на многообразии. (Они вспомогательные; в конце концов, гомологии Морса ни от того не зависят.) Пара дает нам градиентное векторное поле. Мы говорим, что это Морс-Смейл, если стабильные и неустойчивые многообразия, связанные со всеми из критических точек из F пересекается друг с другом в поперечном направлении.
Для любой такой пары можно показать, что разница в индексе между любыми двумя критическими точками равна размерности пространства модулей градиентных потоков между этими точками. Таким образом, существует одномерное пространство модулей потоков между критической точкой индекса i и одной из точек индекса. Каждый поток можно перепараметризовать путем одномерного преобразования в домене. После изменения этих параметров фактор-пространство становится нульмерным, то есть представляет собой набор ориентированных точек, представляющих непараметризованные линии потока.
Тогда цепной комплекс можно определить следующим образом. Множество цепочек является Z - модуль порождается критическими точками. Дифференциал d комплекса отправляет критическую точку p индекса i в сумму индекс- критических точек с коэффициентами, соответствующими (со знаком) количеству непараметризованных потоковых линий от p до этих индекс- критических точек. Конечность числа таких линий тока следует из компактности пространства модулей.
Тот факт, что это определяет цепной комплекс (то есть, что) следует из понимания того, как компактифицируются пространства модулей градиентных потоков. А именно, в коэффициенте индекс- критической точки q есть (подписанное) количество прерванных потоков, состоящих из потока индекса-1 из p в некоторую критическую точку r индекса и другого потока индекса-1 из r в q. Эти разорванные потоки в точности составляют границу пространства модулей потоков индекса-2: можно показать, что предел любой последовательности непрерывных потоков индекса-2 имеет эту форму, и все такие прерывистые потоки возникают как пределы непрерывного потока индекса-2. потоки. Непараметризованные потоки индекса 2 относятся к одномерным семействам, которые компактифицируются в компактные одномерные многообразия. Об этом свидетельствует тот факт, что край компактного одномерного многообразия всегда равен нулю.
Можно показать, что гомологии этого комплекса не зависят от пары Морса – Смейла ( f, g), использованной для его определения. Всегда можно определить гомотопию пар ( f t, g t), которая интерполирует между любыми двумя заданными парами ( f 0, g 0) и ( f 1, g 1). Либо с помощью бифуркационного анализа, либо с помощью карты продолжения для определения цепного отображения из в, можно показать, что две гомологии Морса изоморфны. Аналогичные рассуждения с использованием гомотопии гомотопий показывают, что этот изоморфизм каноничен.
Другой подход к доказательству инвариантности гомологий Морса состоит в том, чтобы напрямую связать ее с сингулярными гомологиями. Можно определить отображение в особые гомологии, посылая критическую точку особой цепи, связанной с неустойчивым многообразием, связанным с этой точкой; И наоборот, сингулярная цепочка отправляется к предельным критическим точкам, достигаемым путем протекания цепочки с использованием векторного поля градиента. Самый чистый способ сделать это строго - использовать теорию токов.
Изоморфизм с сингулярными гомологиями также может быть доказан путем демонстрации изоморфизма с клеточными гомологиями, рассматривая неустойчивое многообразие, ассоциированное с критической точкой индекса i, как i -клетку, и показывая, что граничные отображения в морсовском и клеточном комплексах соответствуют.
Этот подход к теории Морса в той или иной форме был известен Рене Тому и Стивену Смейлу. Это также подразумевается в книге Джона Милнора о теореме о h-кобордизме.
Из того факта, что гомологии Морса изоморфны сингулярным гомологиям, неравенства Морса вытекают из рассмотрения числа образующих, то есть критических точек, необходимых для генерации групп гомологий соответствующих рангов (и рассмотрения усечений комплекса Морса, чтобы получить более сильные неравенства). Существование гомологий Морса «объясняет» в смысле категоризации неравенства Морса.
Эдвард Виттен придумал родственную конструкцию в начале 1980-х, иногда известную как теория Морса – Виттена.
Гомологии Морса могут быть расширены до конечномерных некомпактных или бесконечномерных многообразий, где индекс остается конечным, метрика полна и функция удовлетворяет условию компактности Пале – Смейла, например, функционал энергии для геодезических на римановом многообразии. Обобщение на ситуации, когда и индекс, и коиндекс бесконечны, но относительный индекс любой пары критических точек конечен, известно как гомологии Флоера.
Сергей Новиков обобщил эту конструкцию на теорию гомологий, связанную с замкнутой одноформой на многообразии. Гомологии Морса - это частный случай одноформной df. Частным случаем теории Новикова является кругозначная теория Морса, которую Майкл Хатчингс и Йи-Джен Ли соединили с кручением Рейдемейстера и теорией Зайберга – Виттена.
Гомологии Морса могут быть выполнены в ситуации Морса – Ботта, т.е. когда вместо изолированных невырожденных критических точек функция имеет критические многообразия, касательное пространство которых в точке совпадает с ядром гессиана в этой точке. Такая ситуация будет возникать всегда, если рассматриваемая функция инвариантна относительно недискретной группы Ли.
Чтобы описать полученный цепной комплекс и его гомологии, на каждом критическом подмногообразии введем общую функцию Морса. Цепочки будут состоять из путей, которые начинаются в критическом многообразии в критической точке вспомогательной функции Морса, следуют градиентной траектории относительно некоторой метрики, а затем покидают подмногообразие, чтобы следовать за векторным полем градиента функции Морса – Ботта, пока он попадает в другой критический коллектор; он либо течет некоторое время по градиентной траектории, связанной с функцией Морса на этом критическом подмногообразии, а затем перетекает на другое критическое подмногообразие и т. д., либо течет к критической точке в исходном подмногообразии и завершается. См. (Фрауенфельдер). Этот подход к гомологиям Морса – Ботта появился в контексте неопубликованной работы Буржуа по контактным гомологиям, в которой критические подмногообразия - это множества орбит Риба, а градиентные потоки между критическими подмногообразиями - псевдоголоморфные кривые в симплектизации контактного многообразия. асимптотика к орбитам Риба в соответствующих критических многообразиях орбит Риба. Если мы расширим каждую функцию Морса до функции на всем многообразии с носителем вблизи критических подмногообразий, мы можем явно записать функцию Морса – Смейла, которая возмущает исходную функцию Морса – Ботта. А именно, умножьте каждую из расширенных функций на некоторую небольшую положительную константу, просуммируйте их и добавьте результат к исходной функции Морса – Ботта. Описанные выше разорванные потоки будут C 0 близко к линиям тока этой функции Морса – Смейла.
