Аналитическое кручение

редактировать

Топологический инвариант многообразий, который может различать гомотопически эквивалентные многообразия

В математике кручение Рейдемейстера (или R-кручение, или кручение Рейдемейстера – Франца ) - топологический инвариант многообразий, введенный Куртом Рейдемейстером (Reidemeister 1935) для 3-многообразий и обобщен на более высокие измерения Вольфгангом Францем (1935>) и Жорж де Рам (1936). Аналитическое кручение (или кручение Рэя – Зингера ) является инвариантом римановых многообразий, определенных Дэниелом Б. Рэем и Исадором М. Сингер (1971, 1973a, 1973b) как аналитический аналог кручения Рейдемейстера. Джефф Чигер (1977, 1979) и Вернер Мюллер (1978) доказали гипотезу Рэя и Сингера о том, что Кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение одинаковы для компактных римановых многообразий.

Кручение Рейдемейстера было первым инвариантом в алгебраической топологии, который мог различать замкнутые многообразия, которые гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны, и поэтому могут можно рассматривать как рождение геометрической топологии как отдельной области. Его можно использовать для классификации линзовых пространств..

Кручение Рейдемейстера тесно связано с кручением Уайтхеда ; см. (Milnor 1966). Это также дало важную мотивацию арифметической топологии ; см. (Мазур). Более свежие работы по кручению см. В книгах (Тураев 2002) и (Николаеску 2002, 2003).

Содержание

1 Определение аналитического кручения
2 Определение кручения Рейдемейстера
3 Краткая история кручения Рейдемейстера
4 Теорема Чигера – Мюллера
5 Ссылки

Определение аналитического кручения

Если M - риманово многообразие, а E - векторное расслоение над M, то существует лапласовский оператор, действующий на i-формы со значениями в E. Если собственные значения на i-формах равны λ j, тогда дзета-функция ζ i определяется как

ζ i (s) = ∑ λ j>0 λ j - s { \ displaystyle \ zeta _ {i} (s) = \ sum _ {\ lambda _ {j}>0} \ lambda _ {j} ^ {- s}}

\zeta _{i}(s)=\sum _{{\lambda _{j}>0}} \ lambda _ { j} ^ {{- s}}

для s больших, и это распространяется на все комплексные s с помощью аналитического продолжения. Дзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующего на i-формы, равен

Δ i = exp ⁡ (- ζ i '(0)) {\ Displaystyle \ Delta _ {я} = \ ехр (- \ zeta _ {я} ^ {\ p rime} (0))}

\ Delta _ {i} = \ exp (- \ zeta _ {i} ^ {\ prime} (0))

который формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на i-формы. аналитическое кручение T (M, E) определяется как

T (M, E) = exp ⁡ (∑ i (- 1) ii ζ i ′ (0) / 2) = ∏ я Δ я - (- 1) ii / 2. {\ Displaystyle Т (М, Е) = \ ехр \ влево (\ сумма _ {я} (- 1) ^ {я} я \ дзета _ {я} ^ {\ прайм} (0) / 2 \ вправо) = \ prod _ {i} \ Delta _ {i} ^ {- (- 1) ^ {i} i / 2}.}

T (M, E) = \ exp \ left (\ sum _ {i} (- 1) ^ {i} i \ zeta _ {i} ^ {\ prime} (0) / 2 \ right) = \ prod _ {i} \ Delta _ {i} ^ {{- (- 1) ^ {i} i / 2}}.

Определение кручения Рейдемейстера

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ быть конечным связным CW-комплексом с фундаментальной группой $π: = π 1 (X) {\ displaystyle \ pi: = \ pi _ {1} (X)}$ $\ pi: = \ pi _ {1} (X)$ и универсальное покрытие $X ~ {\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${{\ тильда X}}$ , и пусть $U {\ displaystyle U}$ $U$ быть ортогональным конечномерным $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ -представлением. Предположим, что

H n π (X; U): = H n (U ⊗ Z [π] C ∗ (X ~)) = 0 {\ displaystyle H_ {n} ^ {\ pi} (X; U) : = H_ {n} (U \ otimes _ {\ mathbf {Z} [\ pi]} C _ {*} ({\ tilde {X}})) = 0}

H_ {n} ^ {\ pi} (X; U): = H_ {n} (U \ otimes _ {{{\ mathbf {Z}} [\ pi]}} C _ {*} ({{\ tilde X}})) = 0

для всех n. Если мы зафиксируем клеточную основу для $C ∗ (X ~) {\ displaystyle C _ {*} ({\ tilde {X}})}$ $C _ {*} ({{\ tilde X}})$ и ортогонального $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ -основа для $U {\ displaystyle U}$ $U$ , затем $D ∗: = U ⊗ Z [π] C ∗ (X ~) {\ displaystyle D _ {*}: = U \ otimes _ {\ mathbf {Z} [\ pi]} C _ {*} ({\ tilde {X}})}$ $D _ {* }: = U \ otimes _ {{{\ mathbf {Z}} [\ pi]}} C _ {*} ({{\ тильда X}})$ является стягиваемым конечным свободным $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ -цепочечный комплекс. Пусть $γ ∗: D ∗ → D ∗ + 1 {\ displaystyle \ gamma _ {*}: D _ {*} \ to D _ {* + 1}}$ $\ gamma _ {*}: D _ {*} \ to D _ {{* +1}}$ - любое цепное сокращение D *, т.е. $dn + 1 ∘ γ n + γ n - 1 ∘ dn = id D n {\ displaystyle d_ {n + 1} \ circ \ gamma _ {n} + \ gamma _ { n-1} \ circ d_ {n} = id_ {D_ {n}}}$ $d _ {{n + 1}} \ circ \ gamma _ {n} + \ gamma _ {{n-1}} \ circ d_ {n} = id_ {{D_ {n}}}$ для всех $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Мы получаем изоморфизм $(d ∗ + γ ∗) odd: D odd → D even {\ displaystyle (d _ {*} + \ gamma _ {*}) _ {\ text {odd}}: D _ {\ text {odd}} \ to D _ {\ text {even}}}$ ${\ displaystyle (d _ {*} + \ gamma _ {*}) _ {\ text {odd}}: D _ {\ text {odd}} \ к D _ {\ текст {даже}}}$ с $D odd: = ⊕ nodd D n {\ displaystyle D _ {\ text {odd}}: = \ oplus _ { n \, odd} \, D_ {n}}$ ${\ displaystyle D _ {\ text {odd}}: = \ oplus _ {n \, odd} \, D_ {n}}$ , $D even: = ⊕ n even D n {\ displaystyle D _ {\ text {even}}: = \ oplus _ {n \, {\ text {even} }} \, D_ {n}}$ ${\ displaystyle D _ {\ text {even}}: = \ oplus _ {n \, {\ text {even}}} \, D_ {n}}$ . Определим кручение Рейдемейстера

ρ (X; U): = | det (A) | - 1 ∈ R>0 {\ Displaystyle \ rho (X; U): = | \ det (A) | ^ {- 1} \ in \ mathbf {R} ^ {>0}}

\rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0 }

где A - матрица $(d ∗ + γ ∗) нечетного {\ displaystyle (d _ {*} + \ gamma _ {*}) _ {\ text {odd}}}$ ${\ displaystyle (d _ {*} + \ gamma _ {*}) _ {\ text {odd}}}$ относительно заданных оснований. Кручение Рейдемейстера $ρ (X; U) {\ displaystyle \ rho (X; U)}$ $\ rho (X; U)$ не зависит от выбора клеточного базиса для $C ∗ (X ~) { \ displaystyle C _ {*} ({\ tilde {X}})}$ $C _ {*} ({{\ tilde X}})$ , ортогональный базис для $U {\ displaystyle U}$ $U$ и сжатие цепи $γ ∗ {\ displaystyle \ gamma _ {*}}$ $\ gamma _ {*}$ .

Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ - компактное гладкое многообразие, и пусть $ρ: π (M) → GL ( E) {\ displaystyle \ rho \ двоеточие \ pi (M) \ rightarrow GL (E)}$ ${\ displaystyle \ rho \ двоеточие \ pi (M) \ rightarrow GL (E)}$ быть унимодулярным представлением. $M {\ displaystyle M}$ $M$ имеет гладкое триангуляции. При любом выборе объема $μ ∈ det H ∗ (M) {\ displaystyle \ mu \ in \ det H _ {*} (M)}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ det H _ {*} (M)}$ , мы получаем инвариант $τ M (ρ: μ) ∈ R + {\ displaystyle \ tau _ {M} (\ rho: \ mu) \ in \ mathbf {R} ^ {+}}$ $\ tau _ {M} (\ rho: \ mu) \ in {\ mathbf {R}} ^ {+}$ . Затем мы называем положительное вещественное число $τ M (ρ: μ) {\ displaystyle \ tau _ {M} (\ rho: \ mu)}$ $\ tau _ { M} (\ rho: \ mu)$ кручением Рейдемейстера многообразия $M {\ displaystyle M}$ $M$ в отношении $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Краткая история кручения Рейдемейстера

Кручение Рейдемейстера было впервые использовано для комбинаторной классификации трехмерных линзовых пространств в (Reidemeister 1935) Рейдемейстером и в многомерных пространствах Францем. Классификация включает примеры гомотопически эквивалентных трехмерных многообразий, которые не являются гомеоморфными - в то время (1935 г.) классификация была только до гомеоморфизма PL, но позже EJ Броуди (1960) показал, что на самом деле это была классификация до гомеоморфизма.

J. Г. К. Уайтхед определил "кручение" гомотопической эквивалентности конечных комплексов. Это прямое обобщение концепции Рейдемейстера, Франца и де Рама; но это более тонкий инвариант. Кручение Уайтхеда предоставляет ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связано с концепцией «простого гомотопического типа», см. (Milnor 1966)

In 1960 Милнор открыл отношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) многочлен Александера узлов является кручением Рейдемистера его узлового дополнения в $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ . (Milnor 1962) Для каждого q двойственность Пуанкаре $P o {\ displaystyle P_ {o}}$ $P_ {o}$ индуцирует

P o: det ⁡ (ЧАС Q (M)) ⟶ ∼ (det ⁡ (H n - q (M))) - 1 {\ displaystyle P_ {o} \ двоеточие \ OperatorName {det} (H_ {q} (M)) {\ overset {\ sim} {\, \ longrightarrow \,}} (\ operatorname {det} (H_ {nq} (M))) ^ {- 1}}

{\ displaystyle P_ {o} \ двоеточие \ operatorname {det} (H_ {q} (M)) {\ overset {\ sim} {\, \ longrightarrow \,}} (\ operatorname {det} (H_ {nq} (M))) ^ {- 1}}

и тогда мы получаем

Δ (t) = ± tn Δ (1 / t). {\ Displaystyle \ Delta (t) = \ pm t ^ {n} \ Delta (1 / t).}

\ Delta (t) = \ pm t ^ {n} \ De lta (1 / t).

Представление фундаментальной группы узлового дополнения играет центральную роль роль в них. Это дает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

Теорема Чигера – Мюллера

Пусть $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и $ρ: π (M) → GL ⁡ (E) {\ displaystyle \ rho \ двоеточие \ pi (M) \ rightarrow \ mathop {GL} (E)}$ ${\ displaystyle \ rho \ двоеточие \ pi (M) \ rightarrow \ mathop {GL} (E)}$ представление фундаментальной группы из $M {\ displaystyle M}$ $M$ на вещественном векторном пространстве размерности N. Затем мы можем определить комплекс де Рама

Λ 0 ⟶ d 0 Λ 1 ⟶ d 1 ⋯ ⟶ dn - 1 Λ N {\ Displaystyle \ Lambda ^ {0} {\ stackrel {d_ {0}} {\ longrightarrow}} \ Lambda ^ {1} {\ stackrel {d_ {1}} {\ longrightarrow}} \ cdots {\ stackrel {d_ {n-1}} {\ longrightarrow}} \ Lambda ^ {n}}

\ Lambda ^ {0} {\ stackrel {d_ {0}} {\ longrightarrow}} \ Lambda ^ {1} {\ stackrel {d_ {1}} {\ longrightarrow}} \ cdots {\ stackrel {d _ {{n-1}}} {\ longrightarrow}} \ Lambda ^ {n}

и формальное сопряжение $dp {\ displaystyle d_ {p}}$ $d_ {p}$ и $δ p {\ displaystyle \ delta _ {p}}$ $\ delta_p$ из-за плоскостности $E q {\ displaystyle E_ {q}}$ $E_ {q}$ . Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах

∆ p = δ p + 1 d p + d p - 1 δ p. {\ displaystyle \ Delta _ {p} = \ delta _ {p + 1} d_ {p} + d_ {p-1} \ delta _ {p}.}

{\ displaystyle \ Delta _ { p} = \ delta _ {p + 1} d_ {p} + d_ {p-1} \ delta _ {p}.}

Предполагая, что $∂ M = 0 { \ displaystyle \ partial M = 0}$ $\ partial M = 0$ , тогда лапласиан является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром

0 ≤ λ 0 ≤ λ 1 ≤ ⋯ → ∞. {\ displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {0} \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ cdots \ rightarrow \ infty.}

0 \ leq \ lambda _ {0} \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ cdots \ rightarrow \ infty.

Таким образом, как и раньше, мы можем определить дзета-функцию, связанную с лапласианом $Δ q {\ displaystyle \ Delta _ {q}}$ $\ Delta _ {q}$ на $Λ q (E) {\ displaystyle \ Lambda ^ {q} (E)}$ $\ Лямбда ^ {q} (E)$ по

ζ q (s; ρ) = ∑ λ j>0 λ j - s = 1 Γ (s) ∫ 0 ∞ ts - 1 Tr (e - t Δ q - P q) dt, Re (s)>n 2 { \ displaystyle \ zeta _ {q} (s; \ rho) = \ sum _ {\ lambda _ {j}>0} \ lambda _ {j} ^ {- s} = {\ frac {1} {\ Gamma ( s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} {\ text {Tr}} (e ^ {- t \ Delta _ {q}} - P_ {q}) dt, \ \ \ {\ text {Re}} (s)>{\ frac {n} {2}}}

\zeta _{q}(s;\rho)=\sum _{\lambda _{j}>0} \ lambda _ {j} ^ {- s} = {\ frac {1 } {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} {\ text {Tr}} (e ^ {- t \ Delta _ {q}} - P_ { q}) dt, \ \ \ {\ text {Re}} (s)>{\ frac {n} {2}}

, где $P {\ displaystyle P}$ $P$ - проекция $L 2 Λ (Е) {\ Displaystyle L ^ {2} \ Lambda (E)}$ $L ^ {2} \ Lambda (E)$ на пространство ядра $H q (E) {\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {q} (E)}$ ${\ mathcal {H}} ^ {q} (E)$ лапласиана $Δ q { \ Displaystyle \ Delta _ {q}}$ $\ Delta _ {q}$ . Кроме того, (Сили 1967) было показано, что $ζ q (s; ρ) {\ displaystyle \ zeta _ {q} (s; \ rho)}$ $\ zeta _ {q} (s; \ rho)$ распространяется на мероморфная функция $s ∈ C {\ displaystyle s \ in \ mathbf {C}}$ $s \ in {\ mathbf {C}}$ , которая голоморфна в $s = 0 {\ displaystyle s = 0}$ $s = 0$ .

Как в В случае ортогонального представления мы определяем аналитическое кручение $TM (ρ; E) {\ displaystyle T_ {M} (\ rho; E)}$ $T_ {M} (\ rho; E)$ как

TM (ρ; E) = ехр ⁡ (1 2 ∑ q = 0 n (- l) qqdds ζ q (s; ρ) | s = 0). {\ displaystyle T_ {M} (\ rho; E) = \ exp {\ biggl (} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {q = 0} ^ {n} (- l) ^ {q } q {\ frac {d} {ds}} \ zeta _ {q} (s; \ rho) {\ biggl |} _ {s = 0} {\ biggr)}.}

T_ {M} (\ rho; E) = \ exp {\ biggl (} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {{q = 0}} ^ {n} (- l) ^ {q} q {\ frac {d} {ds}} \ zeta _ {q} (s; \ rho) {\ biggl |} _ {{s = 0}} {\ biggr)}.

В БД 1971 г. Рэй и И.М. Сингер предположили, что $TM (ρ; E) = τ M (ρ; μ) {\ displaystyle T_ {M} (\ rho; E) = \ tau _ {M} (\ rho; \ mu) }$ $T_ {M} (\ rho; E) = \ tau _ {M} (\ rho; \ mu)$ для любого унитарного представления $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ . Эта гипотеза Рэя – Зингера была в конечном итоге независимо доказана Чигером (1977, 1979) и Мюллером (1978). Оба подхода ориентированы на логарифм кручений и их следов. Для нечетномерных многообразий это проще, чем для четномерных, что связано с дополнительными техническими трудностями. Эта теорема Чигера – Мюллера (о том, что два понятия кручения эквивалентны) вместе с теоремой Атьи – Патоди – Зингера позже послужили основой для теории возмущений Черна – Саймонса.

Доказательство Теорема Чигера-Мюллера для произвольных представлений была позже дана Дж. М. Бисмутом и Вейпином Чжаном. В их доказательстве используется расширение.

Ссылки

Bismut, J. -M.; Чжан, В. (1994-03-01), "Метрики Милнора и Рэй-певца на эквивариантном определителе плоского векторного расслоения", Геометрический и функциональный анализ GAFA, 4 (2): 136–212, doi : 10.1007 / BF01895837, ISSN 1420-8970
Brody, EJ (1960), «Топологическая классификация линзовых пространств. ", Annals of Mathematics, 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307 / 1969884, JSTOR 1969884, MR 0116336
Чигер, Джефф (1977), «Аналитическое кручение и кручение Рейдемейстера», Труды Национальной академии наук Соединенные Штаты Америки, 74(7): 2651–2654, Bibcode : 1977PNAS... 74.2651C, doi : 10.1073 / pnas.74.7.2651, MR 0451312, PMC 431228, PMID 16592411
Чигер, Джефф (1979), «Аналитическое кручение и уравнение теплопроводности», Annals of Mathematics, 2, 109 (2): 259–322, doi : 10.2307 / 1971113, JSTOR 1971113, MR 0528965
Франц, Вольфганг (1935), «Ueber die Torsion einer Ueberdeckung», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 173 : 245–254
Милнор, Джон (1962), «Теорема двойственности для кручения Рейдемейстера», Annals of Mathematics, 76(1): 137–138, doi : 10.2307 / 1970268, JSTOR 1970268
Милнор, Джон (1966), "Кручение Уайтхеда", Бюллетень Американского математического общества, 72(3): 358–426, doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2, MR 0196736
Мищенко, Александр С. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Мюллер, Вернер (1978), «Аналитическое кручение и R-кручение римановых многообразий», Успехи в математике, 28(3): 233–305, doi : 10.1016 / 0001-8708 (78) 90116-0, MR 0498252
Николаеску, Ливиу И. (2002), Заметки о кручении Рейдемайстера (PDF) Электронная книга
Николаеску, Ливиу И. (2003), Кручение Рейдемейстера трехмерных многообразий, де Грюйте r Исследования по математике, 30, Берлин: Walter de Gruyter Co., стр. xiv + 249, doi : 10.1515 / 9783110198102, ISBN 3-11-017383-2, MR 1968575
Ray, Daniel B.; Сингер, Исадор М. (1973a), «Аналитическое кручение для комплексных многообразий», Annals of Mathematics, 2, 98 (1): 154–177, doi : 10.2307 / 1970909, JSTOR 1970909, MR 0383463
Ray, Daniel B.; Сингер, Исадор М. (1973b), «Аналитическое кручение», Уравнения с частными производными, Proc. Симпозиумы. Pure Math., XXIII, Providence, R.I.: Amer. Математика. Soc., Стр. 167–181, MR 0339293
Ray, Daniel B.; Сингер, Исадор М. (1971), «R-кручение и лапласиан на римановых многообразиях», Успехи в математике, 7(2): 145–210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4, MR 0295381
Рейдемейстер, Курт (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 11 : 102–109, doi : 10.1007 / BF02940717
de Rham, Georges (1936), «Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister ", Recueil Mathématique (Математический сборник), Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl 0016.04501
Тураев Владимир ( 2002), Кручения трехмерных многообразий, Progress in Mathematics, 208, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. X + 196, doi : 10.1007 / 978-3- 0348-7999-6, ISBN 3-7643-6911-6, MR 1958479
Мазур, Барри. «Замечания о многочлене Александера» (PDF).
Сили, RT (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Кальдероне, Альберто П. (ред.), Сингулярные интегралы ( Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 10, Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR 0237943