Теория среднего поля

В физике и теории вероятностей, теории среднего поля ( так называемый MFT или редко самосогласованной теории поля ) исследования поведения многомерных случайных ( стохастических ) моделей на основе изучения более простую модель, которая аппроксимирует оригинал путем усреднения по степеням свободы ( количество значений в окончательном расчете статистики, которые могут изменяться). Такие модели рассматривают множество отдельных компонентов, которые взаимодействуют друг с другом. В MFT, эффект от всех других лиц на любой данной особи аппроксимируется одного усредненного эффекта, таким образом, уменьшая проблемы многих тел к задаче одного тела.

Основная идея MFT - заменить все взаимодействия с одним телом средним или эффективным взаимодействием, иногда называемым молекулярным полем. Это превращает любую проблему многих тел в эффективную проблему одного тела. Простота решения проблем MFT означает, что некоторое представление о поведении системы может быть получено с меньшими вычислительными затратами.

С тех пор MFT применяется к широкому кругу областей за пределами физики, включая статистический вывод, графические модели, нейробиологию, искусственный интеллект, модели эпидемий, теорию очередей, производительность компьютерных сетей и теорию игр, как в равновесии квантового отклика.

• 1 Происхождение
• 2 Срок действия
• 3 Формальный подход (гамильтониан)
• 4 Приложения
  • 4.1 Модель Изинга
    • 4.1.1 Формальный вывод
    • 4.1.2 Приближение невзаимодействующих спинов
  • 4.2 Применение к другим системам
• 5 Расширение полей средних значений, зависящих от времени
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Идеи впервые появились в физике ( статистической механике ) в работах Пьера Кюри и Пьера Вайса для описания фазовых переходов. MFT был использован в приближении Брэгга-Вильямса, модели на решетке Бете, теории Ландау, приближение Пьер Вайсс, теории растворов Флори-Хаггинса и теории Scheutjens-насмешка.

Системы со многими (иногда бесконечными) степенями свободы, как правило, трудно решить точно или вычислить в замкнутой аналитической форме, за исключением некоторых простых случаев (например, некоторых гауссовских теорий случайного поля, одномерной модели Изинга ). Часто возникают комбинаторные проблемы, которые затрудняют такие вещи, как вычисление статистической суммы системы. MFT - это метод аппроксимации, который часто делает исходный вариант разрешимым и открытым для вычислений. Иногда MFT дает очень точные приближения.

В теории поля гамильтониан может быть расширен с точки зрения величины флуктуаций около среднего значения поля. В этом контексте MFT можно рассматривать как разложение гамильтониана «нулевого порядка» по флуктуациям. Физически это означает, что система MFT не имеет флуктуаций, но это совпадает с идеей о замене всех взаимодействий «средним полем».

Довольно часто MFT является удобной отправной точкой для изучения флуктуаций более высокого порядка. Например, при вычислении статистической суммы изучение комбинаторики членов взаимодействия в гамильтониане иногда может в лучшем случае дать пертурбативные результаты или диаграммы Фейнмана, которые исправляют приближение среднего поля.

В общем, размерность играет важную роль в определении того, будет ли подход среднего поля работать для какой-либо конкретной проблемы. Иногда существует критический размер, выше которого MFT действителен, а ниже которого нет.

Эвристически многие взаимодействия заменяются в MFT одним эффективным взаимодействием. Таким образом, если поле или частица демонстрирует много случайных взаимодействий в исходной системе, они имеют тенденцию компенсировать друг друга, поэтому среднее эффективное взаимодействие и MFT будут более точными. Это верно в случаях высокой размерности, когда гамильтониан включает дальнодействующие силы или когда частицы растянуты (например, полимеры). Критерий Гинзбурга является формальным выражением, как флуктуации [определить] оказывают MFT плохую аппроксимацию, часто в зависимости от числа пространственных измерений в системе, представляющей интерес.

Формальной основой теории среднего поля является неравенство Боголюбова. Это неравенство утверждает, что свободная энергия системы с гамильтонианом

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {0} + \ Delta {\ mathcal {H}}}$

имеет следующую верхнюю границу:

${\ Displaystyle F \ leq F_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ langle {\ mathcal {H}} \ rangle _ {0} -TS_ {0},}$

где - энтропия, и - свободные энергии Гельмгольца. Среднее значение берется по равновесному ансамблю системы отсчета с гамильтонианом. В частном случае, когда эталонный гамильтониан является гамильтонианом невзаимодействующей системы и, таким образом, может быть записан как ${\ displaystyle S_ {0}}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} h_ {i} (\ xi _ {i}),}$

где - степени свободы отдельных компонентов нашей статистической системы (атомов, спинов и т. д.), можно рассмотреть возможность уточнить верхнюю границу путем минимизации правой части неравенства. Тогда минимизирующая система отсчета является «наилучшим» приближением к истинной системе с использованием некоррелированных степеней свободы и известна как приближение среднего поля. ${\ displaystyle \ xi _ {я}}$

В наиболее частом случае, когда целевой гамильтониан содержит только парные взаимодействия, т. Е.

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {(i, j) \ in {\ mathcal {P}}} V_ {i, j} (\ xi _ {i}, \ xi _ {j}),}$

где - множество взаимодействующих пар, процедуру минимизации можно провести формально. Определим как обобщенную сумму наблюдаемого по степеням свободы одного компонента (сумма для дискретных переменных, интегралов для непрерывных). Приближенная свободная энергия дается выражением ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {i} f (\ xi _ {i})}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {0} amp; = \ operatorname {Tr} _ {1,2, \ ldots, N} {\ mathcal {H}} (\ xi _ {1}, \ xi _ { 2}, \ ldots, \ xi _ {N}) P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {N}) \\ amp; + kT \, \ operatorname {Tr} _ {1,2, \ ldots, N} P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {N}) \ log P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {N}), \ end {выровнено}} }$

где - вероятность найти систему отсчета в состоянии, заданном переменными. Эта вероятность дается нормированным фактором Больцмана ${\ Displaystyle P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ dots, \ xi _ {N})}$${\ Displaystyle (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ точки, \ xi _ {N})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {N}) amp; = {\ frac { 1} {Z_ {0} ^ {(N)}}} e ^ {- \ beta {\ mathcal {H}} _ {0} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {N})} \\ amp; = \ prod _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {Z_ {0}}} e ^ {- \ beta h_ {i} (\ xi _ {i})} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ prod _ {i = 1} ^ {N} P_ {0} ^ {(i)} (\ xi _ {i }), \ end {выровнены}}}$

где - статистическая сумма. Таким образом ${\ displaystyle Z_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {0} amp; = \ sum _ {(i, j) \ in {\ mathcal {P}}} \ operatorname {Tr} _ {i, j} V_ {i, j } (\ xi _ {i}, \ xi _ {j}) P_ {0} ^ {(i)} (\ xi _ {i}) P_ {0} ^ {(j)} (\ xi _ {j }) \\ amp; + kT \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ operatorname {Tr} _ {i} P_ {0} ^ {(i)} (\ xi _ {i}) \ log P_ { 0} ^ {(i)} (\ xi _ {i}). \ End {align}}}$

Чтобы минимизировать, мы берем производную по вероятностям с одной степенью свободы, используя множитель Лагранжа, чтобы гарантировать правильную нормализацию. Конечным результатом является система уравнений самосогласования. ${\ Displaystyle P_ {0} ^ {(я)}}$

${\ displaystyle P_ {0} ^ {(i)} (\ xi _ {i}) = {\ frac {1} {Z_ {0}}} e ^ {- \ beta h_ {i} ^ {MF} ( \ xi _ {i})}, \ quad i = 1,2, \ ldots, N,}$

где среднее поле определяется выражением

${\ displaystyle h_ {i} ^ {\ text {MF}} (\ xi _ {i}) = \ sum _ {\ {j \ mid (i, j) \ in {\ mathcal {P}} \}} \ operatorname {Tr} _ {j} V_ {i, j} (\ xi _ {i}, \ xi _ {j}) P_ {0} ^ {(j)} (\ xi _ {j}).}$

Теория среднего поля может применяться к ряду физических систем для изучения таких явлений, как фазовые переходы.

Модель Изинга

Формальное происхождение

Неравенство Боголюбова, приведенное выше, может быть использовано для определения намагниченности в модели среднего поля двумерной решетки Изинга. Полный вывод как неравенства Боголюбова, так и намагниченности из результирующей приблизительной свободной энергии можно найти в. Он переформулирован здесь.

Мы приближаем истинный гамильтониан, используя невзаимодействующий или эффективный гамильтониан поля,

${\ Displaystyle -m \ сумма _ {я} s_ {я}}$

и используем это в нашем неравенстве Боголюбова. Вариационная свободная энергия становится

${\ Displaystyle F_ {V} = F_ {0} + \ left \ langle \ left (-J \ sum s_ {i} s_ {j} -h \ sum s_ {i} \ right) - \ left (-m \ сумма s_ {i} \ right) \ right \ rangle _ {0}.}$

Упрощая это и вычисляя намагниченность, которая минимизирует вариационную свободную энергию, что дает наилучшее приближение к нашей реальной намагниченности, следуя неравенству Боголюбова, мы получаем

${\ Displaystyle м = J \ сумма \ langle s_ {j} \ rangle _ {0} + h,}$

где у нас есть среднее по ансамблю спина.

Это упрощает

${\ displaystyle m = {\ text {tanh}} (zJ \ beta m) + h.}$

Приближение невзаимодействующих спинов

Рассмотрим модель Изинга на -мерной решетке. Гамильтониан задается формулой ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle H = -J \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} s_ {i} s_ {j} -h \ sum _ {i} s_ {i},}$

где указывает суммирование по паре ближайших соседей, а - соседние спины Изинга. ${\ displaystyle \ sum _ {\ langle i, j \ rangle}}$${\ displaystyle \ langle i, j \ rangle}$${\ displaystyle s_ {i}, s_ {j} = \ pm 1}$

Преобразуем нашу спиновую переменную, введя отклонение от ее среднего значения. Мы можем переписать гамильтониан как ${\ Displaystyle м_ {я} \ эквив \ langle s_ {я} \ rangle}$

${\ displaystyle H = -J \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} (m_ {i} + \ delta s_ {i}) (m_ {j} + \ delta s_ {j}) - h \ sum _ {i} s_ {i},}$

где мы определяем ; это колебание спина. ${\ displaystyle \ delta s_ {i} \ Equiv s_ {i} -m_ {i}}$

Если мы расширим правую часть, мы получим один член, который полностью зависит от средних значений спинов и не зависит от конфигураций спинов. Это банальный термин, который не влияет на статистические свойства системы. Следующий член - это член, состоящий из произведения среднего значения вращения и значения флуктуации. Наконец, последний член включает произведение двух значений флуктуации.

Приближение среднего поля состоит в пренебрежении этим флуктуационным членом второго порядка:

${\ displaystyle H \ приблизительно H ^ {\ text {MF}} \ Equiv -J \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} (m_ {i} m_ {j} + m_ {i} \ delta s_ {j } + m_ {j} \ delta s_ {i}) - h \ sum _ {i} s_ {i}.}$

Эти колебания усиливаются при малых размерах, что делает MFT лучшим приближением для больших размеров.

Опять же, слагаемое можно разложить заново. Кроме того, мы ожидаем, что среднее значение каждого спина не зависит от узла, поскольку цепь Изинга трансляционно инвариантна. Это дает

${\ displaystyle H ^ {\ text {MF}} = - J \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} {\ big (} m ^ {2} + 2m (s_ {i} -m) {\ big)} - h \ sum _ {i} s_ {i}.}$

Суммирование по соседним спинам можно переписать как, где означает «ближайший сосед », а префактор избегает двойного счета, поскольку каждая связь участвует в двух спинах. Упрощение приводит к окончательному выражению ${\ displaystyle \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} \ sum _ {j \ in nn (i)}}$${\ displaystyle nn (я)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle 1/2}$

${\ displaystyle H ^ {\ text {MF}} = {\ frac {Jm ^ {2} Nz} {2}} - \ underbrace {(h + mJz)} _ {h ^ {\ text {eff.}} } \ sum _ {i} s_ {i},}$

где - координационное число. В этот момент гамильтониан Изинга был разделен на сумму гамильтонианов одного тела с эффективным средним полем, которое является суммой внешнего поля и среднего поля, индуцированного соседними спинами. Стоит отметить, что это среднее поле напрямую зависит от числа ближайших соседей и, таким образом, от размера системы (например, для гиперкубической решетки размерности,). ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle h ^ {\ text {eff.}} = h + Jzm}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle z = 2d}$

Подставляя этот гамильтониан в статистическую сумму и решая эффективную одномерную задачу, получаем

${\ displaystyle Z = e ^ {- {\ frac {\ beta Jm ^ {2} Nz} {2}}} \ left [2 \ cosh \ left ({\ frac {h + mJz} {k _ {\ text { B}} T}} \ right) \ right] ^ {N},}$

где - количество узлов решетки. Это замкнутое и точное выражение статистической суммы системы. Мы можем получить свободную энергию системы и вычислить критические показатели. В частности, мы можем получить намагниченность как функцию от. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle ч ^ {\ текст {эфф.}}}$

Таким образом, у нас есть два уравнения между и, позволяющие определить зависимость от температуры. Это приводит к следующему наблюдению: ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle ч ^ {\ текст {эфф.}}}$${\ displaystyle m}$

• Для температур, превышающих определенное значение, единственное решение. Система парамагнитна. ${\ displaystyle T _ {\ text {c}}}$${\ displaystyle m = 0}$
• Для, есть два ненулевых решения:. Система ферромагнитная. ${\ Displaystyle Т lt;Т _ {\ текст {с}}}$${\ displaystyle m = \ pm m_ {0}}$

${\ displaystyle T _ {\ text {c}}}$ задается следующим соотношением:. ${\ displaystyle T _ {\ text {c}} = {\ frac {Jz} {k_ {B}}}}$

Это показывает, что MFT может объяснить ферромагнитный фазовый переход.

Применение к другим системам

Точно так же MFT может применяться к другим типам гамильтониана, например, в следующих случаях:

• Изучить переход металл – сверхпроводник. В этом случае аналогом намагничивания является сверхпроводящая щель. ${\ displaystyle \ Delta}$
• Молекулярное поле жидкого кристалла, возникающее, когда лапласиан поля директора отличен от нуля.
• Чтобы определить оптимальную упаковку боковой цепи аминокислоты с учетом фиксированного белкового скелета при прогнозировании структуры белка (см. Самосогласованное среднее поле (биология) ).
• Для определения упругих свойств композитного материала.

Основная статья: Динамическая теория среднего поля

В теории среднего поля среднее поле, возникающее в задаче с одним узлом, является скалярной или векторной величиной, не зависящей от времени. Однако это не всегда так: в варианте теории среднего поля, называемом динамической теорией среднего поля (DMFT), среднее поле становится величиной, зависящей от времени. Например, DMFT может быть применен к модели Хаббарда для изучения перехода металл – Мотт-изолятор.

• Теория динамического среднего поля
• Теория игр среднего поля
• Генерализованная эпидемическая модель среднего поля