Среднее по ансамблю (статистическая механика)

В статистической механике среднее по ансамблю определяется как среднее величины, которая является функцией микросостояния системы в соответствии с распределением системы на ее микросостоянии. состояний в этом ансамбле .

Поскольку среднее по ансамблю зависит от выбранного ансамбля , его математическое выражение меняется от ансамбля к ансамблю. Однако среднее значение, полученное для данной физической величины, не зависит от ансамбля, выбранного в термодинамическом пределе. большой канонический ансамбль является примером открытой системы.

• 1 Каноническое среднее значение по ансамблю
  • 1.1 Классическая статистическая механика
  • 1.2 Квантовая статистическая механика
• 2 Ансамбль среднее в других ансамблях
  • 2.1 Микроканонический ансамбль
  • 2.2 Канонический ансамбль
  • 2.3 Большой канонический ансамбль
• 3 См. также

Классическая статистическая механика

Для классической системы, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой, среднее по ансамблю принимает форму интеграла по фазовому пространству системы:

$A\; ¯\; =\; \int \; A\; e\; -\; \beta \; H\; (q\; 1,\; q\; 2,...\; q\; M,\; p\; 1,\; p\; 2,...\; p\; N)\; d\; \tau \; \int \; e\; -\; \beta \; H\; (q\; 1,\; q\; 2,...\; q\; M,\; p\; 1,\; п\; 2,...\; п\; N)\; d\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{A\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \{Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; H\; (q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},...\; q\_\; \{M\},\; p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\},...\; p\_\; \{N\})\}\; d\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; int\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; H\; (q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\}),...\; q\_\; \{M\},\; p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\},...\; p\_\; \{N\})\}\; d\; \backslash \; tau\}\}\}\}$

где:

$A\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{A\}\}\}$- среднее по ансамблю системы m свойство A,

$\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$равно $1\; k\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{kT\}\}\}$, известное как термодинамическая бета,

H - это гамильтониан классической системы в терминах набора координат $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\}$и их сопряженных обобщенные импульсы $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\}$, а

$d\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\}$- элемент объема интересующего классического фазового пространства.

Знаменатель в этом выражении известен как статистическая сумма и обозначается буквой Z.

Квантовая статистическая механика

В квантовой статистической механике для квантовой системы, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой, средневзвешенное значение принимает форму суммы по состояниям квантовой энергии, а не непрерывного интеграла:

$A\; ¯\; знак\; равно\; \sum \; я\; A\; ie\; -\; \beta \; E\; i\; \sum \; ie\; -\; \beta \; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{A\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{A\_\; \{i\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; E\_\; \{i\}\}\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; E\_\; \{i\}\}\}\}\}\}$

Обобщенная версия статистической суммы обеспечивает полную основу для работы со средними по ансамблю в термодинамике, теории информации, статистической механике и квантовая механика.

Микроканонический ансамбль

Микроканонический ансамбль представляет собой изолированную систему, в которой энергия (E), объем (V) и количество частиц ( N) все постоянны.

Канонический ансамбль

Канонический ансамбль представляет собой замкнутую систему, которая может обмениваться энергией (E) с окружающей средой (обычно термостатом), но объем (V) и количество частиц (N) все постоянны.

Большой канонический ансамбль

Большой канонический ансамбль представляет собой открытую систему, которая может обмениваться энергией (E), а также частицами с окружающей средой, но объем (V) равен остается постоянным.

• Статистика Максвелла – Больцмана

.