Многообразие Штейна

редактировать

В теории нескольких комплексных переменных и сложных многообразий в математике a Многообразие Штейна является комплексным подмногообразием векторного пространства n комплексных измерений. Они были введены и названы в честь Карла Штейна (1951). Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна, но может иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии.

Содержание

1 Определение
2 Некомпактные римановы поверхности - это Штейн
3 Свойства и примеры многообразий Штейна
4 Отношение к гладким многообразиям
5 Примечания
6 Ссылки

Определение

Предположим, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ является сложным многообразием комплексного измерения $n {\ displaystyle n}$ $n$ и пусть $O (X) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$ ${\ mathcal O} (X)$ обозначает кольцо голоморфных функций на $X. {\ displaystyle X.}$ $X.$ Мы вызываем $X {\ displaystyle X}$ $X$ a многообразие Штейна, если выполняются следующие условия:

$X {\ displaystyle X}$ $X$ является голоморфно выпуклым, т.е. для любого компактного подмножества $K ⊂ X {\ displaystyle K \ subset X}$ $K \ subset X$ так называемая голоморфно выпуклая оболочка,

K ¯ = {z ∈ X | | f (z) | ≤ sup w ∈ K | f (w) | ∀ е ∈ O (X)}, {\ displaystyle {\ bar {K}} = \ left \ {z \ in X \ left || f (z) | \ leq \ sup _ {w \ in K} | f (w) | \ \ forall f \ in {\ mathcal {O}} (X) \ right. \ right \},}

{\ displaystyle {\ bar {K}} = \ left \ {z \ in X \ left || f (z) | \ leq \ sup _ {w \ in K} | f (w) | \ \ forall f \ in {\ mathcal {O}} (X) \ right. \ right \},}

также является компактным подмножеством

X {\ displaystyle X}

X

$X {\ displaystyle X}$ $X$ голоморфно разделимо, то есть если $x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}$ $x \ neq y$ две точки в $X {\ displaystyle X }$ $X$ , тогда существует $f ∈ O (X) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} (X)}$ $f \ in {\ mathcal O} (X)$ такое, что $f ( х) ≠ f (y). {\ displaystyle f (x) \ neq f (y).}$ $f (x) \ neq f (y).$

Некомпактные римановы поверхности - это поверхности Штейна

. Пусть X - связная некомпактная риманова поверхность. Глубокая теорема из Генриха Бенке и Штейна (1948) утверждает, что X является многообразием Штейна.

Другой результат, приписываемый Гансу Грауэрту и Гельмуту Рёрлю (1956), утверждает, кроме того, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждый линейный пучок тривиален, поэтому $H 1 (X, OX ∗) = 0 {\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) = 0}$ $ЧАС ^ {1} (Икс, {\ mathcal O} _ {X} ^ {*}) = 0$ . последовательность экспоненциальных пучков приводит к следующей точной последовательности:

H 1 (X, OX) ⟶ H 1 (X, OX ∗) ⟶ H 2 (X, Z) ⟶ H 2 (X, ОХ) {\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ longrightarrow H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) \ longrightarrow H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ longrightarrow H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}

{\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ lo ngrightarrow H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) \ longrightarrow H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ longrightarrow H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}

Теперь теорема Картана B показывает, что $H 1 (X, OX) = H 2 (X, OX) = 0 {\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = 0}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = 0 }$ , поэтому $H 2 (X, Z) = 0 {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$ .

Это связано с решением задачи второго Кузена.

Свойства и примеры многообразий Штейна

Стандартное комплексное пространство $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ - многообразие Штейна.

Каждая область голоморфности в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C } ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ - многообразие Штейна.

Достаточно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна i как многообразие Штейна.

Теорема вложения для многообразий Штейна утверждает следующее: Каждое многообразие Штейна $X {\ displaystyle X}$ $X$ комплексной размерности $n {\ displaystyle n}$ $n$ может быть встроено в $C 2 n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2n + 1}}$ с помощью биголоморфного собственное отображение.

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого является структурой объемлющего пространства (поскольку вложение биголоморфно).

Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n-мерного CW-комплекса.

В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразие Штейна тогда и только тогда, когда оно не компактно. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге для римановых поверхностей, принадлежащую Бенке и Штейну.

Каждое многообразие Штейна $X {\ displaystyle X}$ $X$ голоморфно расширяемый, т.е. для каждой точки $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ существуют $n {\ displaystyle n}$ $n$ голоморфные функции, определенные на всех $X {\ displaystyle X}$ $X$ , которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Быть многообразием Штейна эквивалентно тому, чтобы быть ( комплекс) сильно псевдовыпуклое многообразие. Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, т.е. гладкую вещественную функцию $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ на $X {\ displaystyle X}$ $X$ (который можно считать функцией Морса ) с $i ∂ ∂ ¯ψ>0 {\ displaystyle i \ partial {\ bar {\ partial} } \ psi>0}$ $i\partial {\bar \partial }\psi>0$ , так что подмножества ${z ∈ X ∣ ψ (z) ≤ c} {\ displaystyle \ {z \ in X \ mid \ psi (z) \ leq c \}}$ ${\ displaystyle \ {z \ in X \ mid \ psi (z) \ leq c \}}$ компактны в $X {\ displaystyle X}$ $X$ для каждого действительного числа $c {\ displaystyle c}$ $с$ . Это решение так называемой Задача Леви, названная в честь Е.Э. Леви (1911). Функция $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ предлагает обобщение многообразия Штейна до идеи соответствующий класс компактных комплексных многообразий с краем, называемый Stein домены . Область Штейна - это прообраз ${z ∣ - ∞ ≤ ψ (z) ≤ c} {\ displaystyle \ {z \ mid - \ infty \ leq \ psi (z) \ leq c \}}$ ${\ displaystyle \ {z \ mid - \ infty \ leq \ psi (z) \ leq c \}}$ . Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями.

В связи с предыдущим пунктом другое эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2 таково: поверхность Штейна - это комплексная поверхность X с вещественной функцией Морса f на X такое, что вдали от критических точек f поле комплексных касаний к прообразу $X c = f - 1 (c) {\ displaystyle X_ {c} = f ^ {- 1} (c)}$ ${\ displaystyle X_ {c} = f ^ {- 1} (c)}$ - это контактная структура, которая индуцирует ориентацию на X c, совпадающую с обычной ориентацией в качестве границы $f - 1 (- ∞, c). {\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, c).}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} ( - \ infty, c).}$ То есть $f - 1 (- ∞, c) {\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, c)}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, c)}$ представляет собой заполнение Стейна X c.

. Существуют многочисленные дополнительные характеристики таких многообразий, в частности, улавливающие свойство того, что они «многие» голоморфны функции, принимающие значения в комплексных числах. См., Например, теоремы Картана A и B, относящиеся к когомологиям пучков. Первоначальным стимулом было описание свойств области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции.

в наборе GAGA По аналогии, многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям.

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны комплексному анализу, который допускает «множество» голоморфных функций комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптическое тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой «голоморфной теории гомотопий».

Связь с гладкими многообразиями

Каждое компактное гладкое многообразие размерности 2n, которое имеет только ручки индекса ≤ n, имеет структуру Штейна при n>2, и когда n = 2, то же самое. при условии, что 2 ручки прикреплены к определенным рамкам (обрамление меньше, чем обрамление Терстона – Беннекена ). Каждое замкнутое гладкое 4-многообразие является объединением двух 4-многообразий Штейна, склеенных по их общей границе.

Заметки

^PlanetMath: решение проблемы Леви
^Яков Элиашберг, Топологическая характеристика Многообразия Штейна размерности>2, International Journal of Mathematics vol. 1, № 1 (1990) 29-46.
^Роберт Гомпф, Конструкция с ручкой для поверхностей Штейна, Анналы математики 148, (1998) 619-693.
^Сельман Акбулут и Ростислав Матвеев, Выпуклое разложение для четырехмерных многообразий, International Mathematics Research Notices (1998), № 7, 371-381. MR 1623402

Ссылки

(1981), Лекции по римановым поверхностям, Текст для дипломированных специалистов по математике, 81, Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (включая доказательство теорем Бенке-Штайна и Грауэрта-Рёрля)
Хёрмандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ нескольких переменных, North-Holland Mathematical Библиотека, 7, Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR 1045639 (включая доказательство теорема вложения)
Роберт Э. Гомпф (1998), "Конструкция с ручками поверхностей Штейна", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 148, № 2, 148 (2): 619–693, arXiv : math / 9803019, doi : 10.2307 / 121005, ISSN 0003-486X, JSTOR 121005, MR 1668563 (определения и конструкции доменов Штейна и коллекторы в размерности 4)
Grauert, Hans; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Штейна, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388- 7, MR 0580152
Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Аня. (на немецком языке), 123 : 201–222, doi :10.1007/bf02054949, MR 0043219