Войти
В математике, последовательность экспоненциальных пучков - это фундаментальная короткая точная последовательность из пучков, используемая в сложной геометрии.
. Пусть M будет комплексным многообразием., и обозначим O M пучок голоморфных функций на M. Пусть O M * - подпучок, состоящий из ненулевых голоморфных функций. Это оба пучка абелевых групп. экспоненциальная функция дает гомоморфизм пучка
потому что для голоморфной функции f, exp (f) является ненулевой голоморфной функцией, и exp (f + g) = exp (f) exp (g). Его ядро представляет собой пучок 2πi Z из локально постоянных функций на M, принимающих значения 2πin, где n целое число. последовательность экспоненциальных пучков, следовательно,
Экспоненциальное отображение здесь не всегда является сюръективным отображением разделов; это можно увидеть, например, когда M представляет собой проколотый диск в комплексной плоскости. Экспоненциальное отображение сюръективно на стеблях : для ростка g голоморфной функции в точке P такая, что g (P) ≠ 0, можно взять логарифм элемента g в окрестности P. длинная точная последовательность из когомологий пучка показывает, что у нас есть точная последовательность
для любое открытое множество U множества M. Здесь H означает просто сечения над U, а когомологии пучков H (2πi Z|U) - это особые когомологии множества U.
Можно думать о H (2πi Z|U), связывающий целое число с каждым циклом в U. Для каждого участка O M * гомоморфизм соединения с H (2πi Z|U) дает номер витка для каждого цикла. Таким образом, этот гомоморфизм является обобщенным числом обмотки и измеряет несостоятельность U сжимаемости. Другими словами, существует потенциальное топологическое препятствие к глобальному логарифму ненулевой голоморфной функции, что всегда возможно локально.
Еще одним следствием последовательности является точность
Здесь H (O M *) можно идентифицировать с Пикардом группа из голоморфных линейных расслоений на M. Связующий гомоморфизм отправляет линейное расслоение в его первый класс Черна.
