Аннигилятор (теория колец)

Концепция теории модулей

В математике, в частности, модуль теория, аннигилятор из модуля или подмножество модуля, является концепцией, обобщающей кручение и ортогональность. Короче говоря, для коммутативных колец аннигилятор модуля $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$над кольцом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это набор элементов в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, которые всегда действуют как умножение на $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$на $M\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; M\}$. Типичный пример аннигилятора над коммутативным кольцом можно понять, взяв фактор-кольцо $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$и рассматривая его как $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \}$-модуль. Тогда аннигилятор $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$является идеальным $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, поскольку все из $i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; I\}$действовать через карту нуля на $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$. Это показывает, как идеальный $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$можно рассматривать как набор торсионных элементов в базовом кольце $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$для модуль $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$. Также обратите внимание, что любой элемент $r\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; R\}$, не входящий в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, будет иметь не -Нулевое действие над модулем $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$, подразумевая, что можно подумать о множестве $R\; -\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; RI\}$как набор ортогональных элементов к идеалу $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$.

Для некоммутативных колец $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$существует аналогичный понятие аннигилятора для левого и правого модулей, называемого левым аннигилятором и правым аннигилятором .

• 1 Определения
• 2 Свойства
  • 2.1 Для коммутативных колец
    • 2.1.1 Связь с поддержкой
    • 2.1.2 Короткие точные последовательности
    • 2.1.3 Факторные модули и аннигиляторы
      • 2.1.3.1 Аннигилятор частного кольца
• 3 Примеры
  • 3.1 По целым числам
  • 3.2 Над коммутативным кольцом R
  • 3.3 Над k [x, y]
• 4 Цепные условия на аннуляторные идеалы
• 5 Теоретико-категориальное описание коммутативных колец
• 6 Rela к другим свойствам колец
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Пусть R будет кольцом, а M - левым Р- модуль. Выберите непустое подмножество S из M. Аннигилятор из S, обозначенный Ann R (S), представляет собой набор все элементы r в R такие, что для всех s в S, rs = 0. В обозначении набора

$A\; nn\; R\; (S)\; =\; \{r\; \in \; R\; \mid \; \forall \; s\; \in \; S:\; rs\; =\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Ann\}\; \_\; \{R\}\; (S)\; =\; \backslash \; \{r\; \backslash \; in\; R\; \backslash \; mid\; \backslash \; forall\; s\; \backslash \; in\; S:\; \backslash ,\; rs\; =\; 0\; \backslash \}\}$

Это множество всех элементов R, которые "аннигилируют "S (элементы, для которых S - торсионное множество). Подмножества правых модулей также могут использоваться после изменения «sr = 0» в определении.

Аннигилятор одиночного элемента x обычно записывается Ann R (x) вместо Ann R ({x}). Если кольцо R можно понять из контекста, индекс R можно опустить.

Поскольку R является модулем над самим собой, S может рассматриваться как подмножество самого R, а поскольку R является как правым, так и левым R-модулем, обозначение должно быть немного изменено, чтобы указать левый или правая сторона. Обычно $\ell .\; A\; n\; N\; R\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell.\; \backslash \; Mathrm\; \{Ann\}\; \_\; \{R\}\; (S)\; \backslash ,\}$и $r.\; A\; n\; n\; R\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; r.\; \backslash \; Mathrm\; \{Ann\}\; \_\; \{R\}\; (S)\; \backslash ,\}$или другая подобная схема индекса используются для различения левого и правого аннигиляторов, если необходимо.

Если M является R-модулем и Ann R (M) = 0, то M называется точным модулем .

Если S является подмножеством левого модуля R M, то Ann (S) является левым идеалом модуля R.

Если S является подмодулем модуля M, то Ann R (S) является даже двусторонним идеалом: (ac) s = a (cs) = 0, поскольку cs является другим элементом S.

Если S является подмножеством M и N - подмодуль M, порожденный S, тогда в общем случае Ann R (N) является подмножеством Ann R (S), но они не обязательно равны. Если R коммутативно, то равенство выполняется.

M также можно рассматривать как R / Ann R (M) -модуль, используя действие $r\; ¯\; m:\; =\; rm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{r\}\}\; m:\; =\; rm\; \backslash ,\}$. Между прочим, не всегда возможно превратить модуль R в модуль R / I таким образом, но если идеал I является подмножеством аннигилятора M, то это действие хорошо определено. Рассматриваемый как R / Ann R (M) -модуль, M автоматически является точным модулем.

Для коммутативных колец

В этом разделе пусть $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$будет коммутативным кольцом, а $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$a конечный $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-модуль.

Связь с поддержкой

Напомним, что поддержка модуля определяется как

$Supp\; (M)\; =\; \{p\; \in \; Spec\; (R)\; |\; M\; п\; \ne \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M)\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (R)\; |\; M\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \}\}$

Тогда, когда модуль конечно сгенерирован, существует отношение

$V\; (Ann\; R\; (M))\; =\; Supp\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M))\; =\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M)\}$

где $V\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; cdot)\}$- множество простых чисел идеалы, содержащие подмножество.

Короткие точные последовательности

Дана короткая точная последовательность модулей

$0\; \to \; M\; \prime \; \to \; M\; \to \; M\; ″\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; M\; \text{'}\backslash \; к\; M\; \backslash \; to\; M\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; to\; 0\}$

свойство поддержки

$Supp\; (M)\; =\; Supp\; (M\; \text{'})\; \cup \; Supp\; (M\; ″)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M\; \text{'})\; \backslash \; cup\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M\text{'}\; \text{'})\}$

вместе с отношением с аннигилятором подразумевает

$V\; (Ann\; R\; (M))\; =\; V\; (Ann\; R\; (M\; \prime ))\; \cup \; V\; (Ann\; R\; (M\; ″))\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M))\; =\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{\; R\}\; (M\; \text{'}))\; \backslash \; cup\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M\text{'}\; \text{'}))\}$

Следовательно,

$Ann\; R\; (M)\; =\; Ann\; R\; (M\text{'})\; \cap \; Ann\; R\; (M\; ″)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\; \}\; (M\; \text{'})\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M\text{'}\; \text{'})\}$

Может применяться для вычисления аннигилятора прямой суммы модулей, как

$Ann\; R\; (⨁\; я\; знак\; равно\; 1\; N\; M\; я)\; знак\; равно\; \bigcap \; я\; =\; 1\; N\; Ann\; R\; (M\; i)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; M\_\; \{\; i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M\_\; \{i\})\}$

Модули частных и аннигиляторы

Данные идеал $I\; \subseteq \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; substeq\; R\}$и пусть $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$будет конечным модулем, тогда существует отношение

$Supp\; (M\; /\; IM)\; =\; Supp\; (M)\; \cap \; V\; (I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M\; /\; IM)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Supp\}\}\; (M)\; \backslash \; cap\; V\; (I)\; \}$

на опоре. Используя отношение к опоре, это дает отношение к аннигилятору

$V\; (Ann\; R\; (M\; /\; IM))\; =\; V\; (Ann\; R\; (M))\; \cap \; V\; (I)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\; \}\}\; \_\; \{R\}\; (M\; /\; IM))\; =\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (M))\; \backslash \; cap\; V\; (I)\}$

Аннигилятор частного кольца

В частности, если $M\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; R\}$, тогда аннигилятор $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$можно найти явно используя

$V\; (Ann\; R\; (R\; /\; I))\; =\; V\; ((0))\; \cap \; V\; (I)\; =\; V\; (I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\; (\{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{R\}\; (R\; /\; I))\; =\; V\; ((0))\; \backslash \; cap\; V\; (I)\; \backslash \backslash \; =\; V\; (I)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, аннигилятор $R\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; I\}$просто $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$.

над целыми числами

Over $Z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$любой конечно порожденный модуль полностью классифицируется как прямая сумма его свободной части с его торсионной частью из фундаментальной теоремы абелевых групп. Тогда аннулятор конечного модуля нетривиален только в том случае, если он целиком является торсионным. Это потому, что

$Ann\; Z\; (Z\; \oplus \; k)\; =\; \{0\}\; =\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\; k\; \})\; =\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; =\; (0)\}$

, поскольку единственный элемент, убивающий каждый из $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, - это $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$. Например, аннигилятор $Z\; /\; 2\; \oplus \; Z\; /\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 3\}$is

$Ann\; Z\; (Z\; /\; 2\; \oplus \; Z\; /\; 3)\; Знак\; равно\; (6)\; =\; (lcm\; (2,\; 3))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 3)\; =\; (6)\; =\; (\{\backslash \; text\; \{lcm\}\}\; (2,3))\}$

идеал, порожденный $(6)\; \{\backslash \; displaystyle\; (6)\}$. Фактически, аннулятор торсионного модуля

$M\; \cong \; ⨁\; i\; =\; 1\; n\; (Z\; /\; ai)\; \oplus \; ki\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; a\_\; \{i\})\; ^\; \{\backslash \; oplus\; k\_\; \{i\}\}\}$

изоморфен идеалу, порожденному их наименьшим общим кратным, $(lcm\; (a\; 1,\dots ,\; an))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; текст\; \{lcm\}\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}))\}$. Это показывает, что аннигиляторы можно легко классифицировать по целым числам.

Над коммутативным кольцом R

Фактически, аналогичные вычисления могут быть выполнены для любого конечного модуля над коммутативным кольцом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$. Напомним, что определение конечности $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$подразумевает, что существует точная справа последовательность, называемая представлением, заданная как

$R\; \oplus \; l\; \to \; \varphi \; R\; \oplus \; k\; \to \; M\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{\backslash \; oplus\; l\}\; \backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; phi\}\; R\; ^\; \{\backslash \; oplus\; k\}\; \backslash \; to\; M\; \backslash \; to\; 0\}$

, где $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$находится в $Mat\; k,\; l\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Mat\}\}\; \_\; \{k,\; l\}\; (R)\}$. Запись $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$явно в виде матрицы дает это как

$\varphi \; =\; [\varphi \; 1,\; 1\; \cdots \; \varphi \; 1,\; n\; ⋮\; ⋮\; \varphi \; n,\; 1\; \cdots \; \varphi \; n,\; n\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{1,1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; phi\; \_\; \{1,\; n\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; phi\; \_\; \{n,\; 1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; phi\; \_\; \{n,\; n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

, следовательно, $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$имеет разложение прямой суммы

$M\; =\; ⨁\; i\; Знак\; равно\; 1\; К\; р\; (\varphi \; я,\; 1\; (1),\dots ,\; \varphi \; я,\; n\; (1))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{(\backslash \; phi\; \_\; \{i,\; 1\}\; (1),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; phi\; \_\; \{i,\; n\}\; (1))\}\}\}$

Если мы запишем каждый из этих идеалов как

$I\; i\; =\; (\varphi \; i,\; 1\; (1),\dots ,\; \varphi \; я,\; N\; (1))\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\_\; \{я\}\; =\; (\backslash \; phi\; \_\; \{я,\; 1\}\; (1),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; phi\; \_\; \{я,\; n\}\; (1))\; \}$

тогда идеал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, заданный как

$V\; (I)\; =\; \bigcup \; i\; =\; 1\; n\; V\; (I\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (I)\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; V\; (I\_\; \{i\})\}$

представляет аннигилятор.

Над k [x, y]

Над коммутативным кольцом $k\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x,\; y]\}$для field $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, аннигилятор модуля

$M\; =\; k\; [x,\; y]\; (x\; 2\; -\; y)\; \oplus \; k\; [x,\; y]\; (y\; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\; [x,\; y]\}\; \{(x\; ^\; \{2\}\; -y)\}\}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; frac\; \{k\; [x,\; y]\}\; \{(y-3)\}\}\; \}$

задается идеалом

$Ann\; k\; [x,\; y]\; (M)\; =\; ((x\; 2\; -\; y)\; (y\; -\; 3))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Ann\}\}\; \_\; \{k\; [\; x,\; y]\}\; (M)\; =\; ((x\; ^\; \{2\}\; -y)\; (y-3))\}$

решетка идеалов формы $\ell .\; A\; nn\; R\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell.\; \backslash \; Mathrm\; \{Ann\}\; \_\; \{R\}\; (S)\; \backslash ,\}$, где S - подмножество R, составляют полную решетку когда частично заказан включением. Интересно изучить кольца, для которых эта решетка (или ее правый аналог) удовлетворяет условию возрастающей цепи или условию убывающей цепи.

Обозначим решетку левых аннуляторных идеалов кольца R как $LA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{LA\}\}\; \backslash ,\}$и решетка идеалов правого аннигилятора R как $RA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{RA\}\}\; \backslash ,\}$. Известно, что $L\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{LA\}\}\; \backslash ,\}$удовлетворяет требованиям A.C.C. тогда и только тогда, когда $RA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{RA\}\}\; \backslash ,\}$удовлетворяет DCC, и симметрично $RA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{RA\}\}\; \backslash ,\}$удовлетворяет ACC тогда и только тогда, когда $L\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{LA\}\}\; \backslash ,\}$удовлетворяет требованиям D.C.C. Если какая-либо из решеток имеет любое из этих цепных условий, то R не имеет бесконечных ортогональных наборов идемпотентов. (Anderson 1992, p.322) harv error: нет цели: CITEREFAnderson1992, _p.322 (help ) (Lam 1999)

Если R - кольцо для который $LA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{LA\}\}\; \backslash ,\}$удовлетворяет ACC, а R R имеет конечную однородную размерность, тогда R равно называется левым кольцом Голди. (Lam 1999)

Когда R коммутативно, а M является R-модулем, мы можем описать Ann R (M) как ядро ​​ карты действий R → End R (M), определяемое дополнительной картой идентификатора M → M вдоль Hom-тензорного присоединения.

В более общем смысле, учитывая билинейное отображение модулей $F:\; M\; \times \; N\; \to \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; times\; N\; \backslash \; to\; P\}$, аннигилятор подмножества $S\; \subseteq \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; substeq\; M\}$- это набор всех элементов в $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, которые уничтожают $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$:

$Ann\; \; (S):\; =\; \{n\; \in \; N\; \mid \; \forall \; s\; \in \; S:\; F\; (s,\; n)\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ann\}\; (S):\; =\; \backslash \; \{n\; \backslash \; in\; N\; \backslash \; mid\; \backslash \; forall\; s\; \backslash \; in\; S:\; F\; (s,\; n)\; =\; 0\; \backslash \}.\}$

И наоборот, при $T\; \subseteq \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; substeq\; N\}$, можно определить аннигилятор как подмножество $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$.

Аннигилятор дает связь Галуа между подмножествами $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, и связанный с ним оператор закрытия сильнее, чем пролет. В частности:

• аннигиляторы - это подмодули
• $Span\; \; (S)\; \le \; Ann\; \; (Ann\; \; (S))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Span\}\; (S)\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{Ann\}\; (\backslash \; Operatorname\; \{Ann\; \}\; (S))\}$
• $Ann\; \; (Ann\; \; (Ann\; \; (S)))\; =\; Ann\; \; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ann\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Ann\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Ann\}\; (S)))\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Ann\}\; (S)\}$

Важным частным случаем является наличие невырожденной формы в векторном пространстве , особенно внутренний продукт : тогда аннигилятор, связанный с картой $V\; \times \; V\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; to\; K\}$, называется ортогональным дополнением.

Для модуля M над нётеровым коммутативным кольцом R простой идеал кольца R, который является аннулятором ненулевого элемента из M, называется ассоциированным простым числом кольца M.

• Аннигиляторы используются для определения левых колец Рикарта и колец Бэра.
• Набор (слева) делителей нуля DSчисла S можно записать как

$D\; S\; =\; \bigcup \; x\; \in \; S\; \setminus \; \{0\}\; A\; n\; n\; R\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{S\}\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{Ann\}\; \_\; \{R\}\; \backslash ,\; (x)\}.\}$

(Здесь мы допускаем ноль быть делителем нуля.)

В частности, D R - это множество (левых) делителей нуля R, принимающих S = R и R, действующих на себя как левый R-модуль.

• Когда R коммутативен и нетериан, набор $DR\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{R\}\}$точно равен union из связанные простые числа R-модуля R.

• Цоколь
• Поддержка модуля

1. ^Pierce (1982), p. 23.
2. ^Доказательство: если a и b оба аннигилируют S, то для каждого s в S (a + b) s = as + bs = 0, и для любого r в R, (ra) s = r (as) = r0 = 0.
3. ^Пирс (1982), стр. 23, лемма b, п. (I).
4. ^«Лемма 10.39.5 (00L2) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Проверено 13 мая 2020 г.
5. ^«Лемма 10.39.9 (00L3) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Проверено 13 мая 2020 г.
6. ^«Лемма 10.39.9 (00L3) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Проверено 13 мая 2020 г.

• Андерсон, Фрэнк У.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Graduate Texts in Mathematics, 13(2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Израиль Натан Херштейн (1968) Некоммутативные кольца, Математические монографии Каруса # 15, Математическая ассоциация Америки, стр. 3.
• Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольца, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 228–232, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Ричард С. Пирс. Ассоциативные алгебры. Тексты для выпускников по математике, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5