Модель Друде

редактировать

Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно подпрыгивают между более тяжелыми неподвижными ионами кристалла (показаны красным).

Модель Друде электропроводности была предложена в 1900 году Полом Друде для объяснения транспортных свойств электронов в материалах (особенно в металлах). Модель, которая представляет собой приложение кинетической теории, предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле может рассматриваться классически, и очень похожа на пинбол может отскакивать машину с морем тяжелые, относительно неподвижные положительные положительные.

Два наиболее важных результата модели Друде - это электронное уравнение движения,

ddt ⟨p (t)⟩ = q (E + ⟨p (t)⟩ × B m) - ⟨p (T)⟩ τ, {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ langle \ mathbf) {p} (t) \ rangle \ times \ mathbf {B}} {m}} \ right) - {\ frac {\ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle} {\ tau}},}

{\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle \times \mathbf {B} }{m}}\right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},

и линейная зависимость между плотностью Jтока и электрического полем E,

J = (nq 2 τ m) E. {\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left ({\ frac {nq ^ {2} \ tau} {m}} \ right) \ mathbf {E}.}

\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E}.

Здесь t - время, ⟨p ⟩ - средний импульс, приходящийся на один электрон, а q, n, m и τ - соответственно заряд электрона, его плотность, масса и среднее время свободного пробега между ионными столкновениями (т. е. среднее время, которое прошло с момента последнего столкновения). Последнее выражение особенно важно, поскольку оно объясняет в полуколичественных терминах, почему закон Ома, одно из наиболее распространенных используемых во всем электромагнетизме, должен быть продуктом.

Модель была расширена в 1905 году. Автор Хендрик Антун Лоренц (и, следовательно, также известна как модель Друде - Лоренца ), чтобы показать связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (см. число Лоренца ) и представляет собой классическую модель. Позже она была дополнена результатами квантовой теории в 1933 году Арнольдом Зоммерфельдом и Гансом Бете, что привело к модели Друде - Зоммерфельда.

Содержание

1 История
2 Допущения
3 Математическая обработка
- 3.1 Постоянное поле
- 3.2 Анализ во времени
- 3.3 Постоянное электрическое поле
- 3.4 Переменное поле
- 3.5 Теплопроводность металлов
- 3.6 ТермоЭДС
- 3.7 Реакция Друде на реальных материалах
4 Точность модели
5 См. Также
6 Цитаты
7 Ссылки
- 7.1 Общие
8 Внешние ссылки

История

Немецкий физик Пауль Друде освоил свою модель в 1900 году, когда было неясно, существуют ли атомы и какие атомы находятся в микроскопическом масштабе. Первое прямое доказательство использования элементов вычислений числа Авогадро на основе микроскопической модели принадлежит Альберту Эйнштейну, первая современная модель структура атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда - 1909 годом. Друде начала с открытия электронов в 1897 году Дж. Дж. Томсона и в качестве упрощенной модели твердых тел предполагает, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных рассеивающих центров, и море электронов погружает эти рассеивающие центры, чтобы сделать твердое тело нейтральным с точки зрения заряда.

Говоря современным языком, это отражено в модели состоит из валентных электронов, где море электронов только из валентных электронов, а не из полного набора электронов, опять же в твердом теле, и центры рассеяния - это внутренние оболочки электронов, прочно связанный с ядром. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный валентному количеству элементов. Это сходство к некоторым ошибкам вычислений в статье Друде, и создание к созданию разумной теории твердых тел, способной делать хорошие прогнозы в одних неверных результатов в других тел. Всякий, когда люди пытались придать больше материалов, прибывающих рассеяния, механике и значению длины рассеяния.

Длины рассеяния, вычисленные в Модель Друде имеет порядок от 10 до 100 межатомных расстояний, и им также нельзя было дать надлежащих микроскопических объяснений. Говоря современным языком, есть эксперименты, которые электроны могут перемещаться на несколько метров в твердом теле так же, как они перемещаются в свободном пространстве, это показывает, что чисто классическая модель не может работать.

рассеяние Друде не работает. электрон-электронное рассеяние, которое является лишь вторичным явлением в современной теории, ни ядерное рассеяние данных электронов, не может быть поглощено ядрами. Модель немного не раскрывает микроскопические механизмы, в современном терминах это то, что сейчас называют «механизмом первичного рассеяния», где явление может быть разным случаем для каждого случая случая.

Модель дает лучшие предсказания для металлов, особенно в отношении проводимости, иногда ее называют теорией металлов Друде. Это прежде всего самое лучшее, что у вас такое, прежде всего, нет ничего необычного в этом. металлы не имеют сложной структуры зонной структуры, электроны ведут себя как частицы и где в случае металлов эффективное число делокализованных электронов по существу совпадает с валентным.

Та же теория Друде, несмотря на несоответствия, которые сбивали с толку большинством физиков того времени., методом чистого объяснения твердых тел до появления в 1927 г. модели Друде-Зоммерфельда.

Еще несколько намеков на правильные ингредиенты современной теории твердого тела были даны следующие:

твердотельная модель Эйнштейна и модель Дебая, предполагающие, что квантовое поведение обмена энергией в целыхах единицах квантах был существенным компонентом теории, особенно в удельной плавки, где теория Друде не сработала.
В некоторых случаях, а именно эффектом Холла, теория делала правильные предсказания, если вместо отрицательного заряда для электронов использовался положительный. Сейчас это интерпретируется как дыры (то есть квазичастицы, которые ведут себя как носители положительного заряда), но во времена Друде было довольно неясно, почему это так.

Друде использовал статистику Максвелла - Больцмана для газового электронов и для создания моделей, которая была единственной доступной в то время. Заменив статистику правильной статистикой Ферми Дирака, Зоммерфельд значительно улучшил предсказания модели, хотя все еще имел полуклассическую теорию, которая не могла предсказывать все результаты современной квантовой теории твердого тела.

В наши дни модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и обеспечения первого качественного определения экспериментальной установки. Это общий метод в физике твердого тела, где обычно постепенно увеличивают сложность моделей, чтобы давать более и более точные прогнозы. Реже использовать полномасштабную квантовую теорию поля, основанную на первых принципах, добавленную стоимость дополнительных математических методов (учитывая возрастающий выигрыш в числовой точности прогнозов).

Допущения

Друде использовал кинетическую теорию газов применительно к газууов, движущихся на фиксированном фоне из «он »; это контрастирует с обычным способом нейтрального газа без фона. числовая плотность электронного газа принята равная
$n = NAZ ρ m A, {\ displaystyle n = {\ frac {N _ {\ text {A}} Z \ rho _ {\ текст {m} }} {A}},}$ $n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},$

где Z - эффективное делокализованных электронов на ионных, для которого Друде использовал валентное число, A - атомное массовое число,

ρ m {\ displaystyle \ rho _ {\ text {m}}}

\rho _{\text{m}}

- тип вещества «Перв», а N A - это постоянная.

Средний объем, доступный на виде сферы:

VN = 1 n = 4 3 π rs 3. {\ displaystyle {\ frac {V} {N}} = {\ frac {1} {n}} = {\ frac {4} {3 }} \ pi r _ {\ rm {s}} ^ {3}.}

{\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.

Величина

rs {\ displaystyle r _ {\ text {s}}}

r_{\text{s}}

- это параметр, который присутствует в электронной плотности и часто в 2 или 3 раза больше Радиус Бора, для щелочных металлов он колеблется от 3 до 6, некоторые соединения металлов могут доходить до 10.

Плотность порядка 100-кратного типичный классический газ. Несмотря на это, Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, игнорируя электрон-электронное и электрон-ионное взаимодействие, помимо столкновений.

Модель Друде считает, что металл из набора положительно заряженных электронов, из которых были оторваны ряд «свободных электронов». Можно подумать, что это валентные электроны элементы, которые стали делокализованными из-за электрического поля других атомов.
Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов.
Электроны движутся по прямым линиим между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов.
Единственное взаимодействие свободного электрона с окружающей средой рассматривает как столкновение с острым непроницаемым окруженным.
Среднее время между последующими столкновениями такого электрона равно τ с незапоминаемым распределением Пуассона. Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде.
После столкновения распределения скорости и направления электрона определяется только локальная температура электрона и не зависит от скорости электрона до столкновения. Считается, что электрон сразу же находится в равновесии с температурой после столкновения.

Удаление или улучшение из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно определять твердые тела:

Улучшение гипотезы Статистика Максвелла - Больцмана со статистикой Ферми - Дирака приводит к модели Друде - Зоммерфельда.
Улучшение гипотезы статистики Максвелла - Больцмана с помощью Бозе– Статистика Эйнштейна приводит к размышлениям об удельной теплоемкости элементов с целым спином и к конденсату Бозе -нштейна.
Электрон валентной зоны в полупроводнике по-прежнему остается свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т.е. «редкое» столкновение при высоких энергиях, подразумевает изменение полосы, ведет себя иначе); Приближение независимых электронов, по сути, все еще в силе (отсутствие электрон-электронного письма), это гипотеза о локализации рассеяния опровергается (с точки зрения непрофессионала, электрон есть и разбрасывается повсюду).

Математическая трактовка

Постоянный ток

Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле E одновременно и однородно, и постоянно, и что тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульсов d p между столкновениями, которые происходят в среднем каждые τ секунд.

Тогда электрон, изолирован в момент времени t, будет в среднем перемещаться в течение времени τ с его последнего столкновения, и, следовательно, будет накоплен импульс

Δ ⟨p⟩ = q E τ. {\ displaystyle \ Delta \ langle \ mathbf {p} \ rangle = q \ mathbf {E} \ tau.}

\Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau.

Во время своего последнего столкновения этот электрон с такой же вероятностью отскочил вперед, как и назад, поэтому все предыдущие вклады в электрона можно не учитывать, что приводит к выражению

⟨p⟩ = q E τ. {\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = q \ mathbf {E} \ tau.}

\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau.

Подстановка отношений

⟨p⟩ = m ⟨v⟩, {\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = m \ langle \ mathbf {v} \ rangle,}

\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle,

J = nq ⟨v⟩, {\ displaystyle \ mathbf {J} = nq \ langle \ mathbf {v} \ rangle,}

\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle,

приводит клированная формуке упомянутого выше закона Ома:

J = (nq 2 τ m) E. {\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left ({\ frac {nq ^ {2} \ tau} {m}} \ right) \ mathbf {E}.}

\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E}.

Нестационарный анализ

Ответ Друде плотности тока в электрическое поле переменного тока.

Динамику также можно описать путем введения эффективной силы сопротивления. В момент времени t = t 0 + dt импульс электрона будет:

p (t 0 + dt) = (1 - dt τ) [p (t 0) + f (t) dt + О (dt 2)] + dt τ (g (t 0) + f (t) dt + O (dt 2)) {\ displaystyle \ mathbf {p} (t_ {0} + dt) = (1 - {\ frac {dt} {\ tau}}) [\ mathbf {p} (t_ {0}) + \ mathbf {f} (t) dt + O (dt ^ {2})] + {\ frac {dt} {\ тау}} (\ mathbf {g} (t_ {0}) + \ mathbf {f} (t) dt + O (dt ^ {2}))}

\mathbf {p} (t_{0}+dt)=(1-{\frac {dt}{\tau }})[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})]+{\frac {dt}{\tau }}(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2}))

где $f (t) {\ displaystyle \ mathbf {f} (t)}$ $\mathbf {f} (t)$ можно интерпретировать как общую силу (например, Сила Лоренца ) на носителе или, более конкретно, на электрон. $g (t 0) {\ displaystyle \ mathbf {g} (t_ {0})}$ $\mathbf {g} (t_{0})$ - импульс носителя со случайным направлением после столкновения (то есть с импульсом $⟨g (t 0)⟩ Знак равно 0 {\ displaystyle \ langle \ mathbf {g} (t_ {0}) \ rangle = 0}$ $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$ ) и с абсолютной кинетической энергией

⟨| g (t 0) | ⟩ 2 2 м знак равно 3 2 КТ {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ langle | \ mathbf {g} (t_ {0}) | \ rangle ^ {2}} {2m}} = {\ гидроразрыва {3} {2}} KT}

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

В среднем, часть $1 - dt τ {\ displaystyle 1 - {\ frac {dt} { \ tau}}}$ $1-{\frac {dt}{\tau }}$ электронов не испытает при другом столкновении в среднем, выйдет в случайном направлении и внесет вклад в общий импульс только в $dt τ f (t) dt {\ displaystyle {\ frac {dt } {\ tau}} \ mathbf {f} (t) dt}$ ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ второго порядка.

Немного алгебры и отбрасывая члены порядка $dt 2 {\ displaystyle dt ^ {2}}$ $dt^{2}$ , это приводит к общему дифференциальному уравнению

ddtp (t) = f (t) - п (T) τ {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {p} (t) = \ mathbf {f} (t) - {\ frac {\ mathbf {p} (t) } {\ tau}}}

{\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}

Второй член на самом деле является сильной силой или демпфирующий член из-за эффектов Друде.

Постоянное электрическое поле

В момент времени t = t 0 + dt средний импульс электрона будет

⟨p (t 0 + dt)⟩ = (1 - dt τ) (⟨п (t 0)⟩ + q E dt), {\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} (t_ {0} + dt) \ rangle = \ left (1 - {\ frac {dt} { \ tau}} \ right) \ left (\ langle \ mathbf {p} (t_ {0}) \ rangle + q \ mathbf {E} \, dt \ right),}

\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),

, а затем

ddt ⟨П (T)⟩ знак равно QE - ⟨п (T)⟩ τ, {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle = q \ mathbf {E} - {\ frac {\ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle} {\ tau}},}

{\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},

где ⟨p ⟩ обозначает средний импульс, а q - заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение может быть решено для получения общего решения

⟨p (t)⟩ = q τ E (1 - e - t / τ) + ⟨p (0)⟩ e - t / τ {\ Displaystyle \ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle = q \ tau \ mathbf {E} (1-e ^ {- t / \ tau}) + \ langle \ mathbf {p (0)} \ rangle e ^ {- t / \ tau}}

\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\tau }

для p (t). Решение в установившемся состоянии, d ⟨p ⟩ / dt = 0, тогда

⟨p⟩ = q τ E. {\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = q \ tau \ mathbf {E}.}

\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E}.

Как указано выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а это, в свою очередь, может быть связано с плотностью тока,

⟨П знак равно ⟨V ⟩, {\ Displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = m \ langle \ mathbf {v} \ rangle,}

\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle,

J = nq ⟨v⟩, {\ displaystyle \ mathbf {J} = nq \ langle \ mathbf {v} \ rangle,}

\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle,

и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома $J = σ 0 E {\ displaystyle \ mathbf {J} = \ sigma _ {0} \ mathbf {E}}$ $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ с DC -проводимость σ 0:

σ 0 = nq 2 τ m {\ displaystyle \ sigma _ {0} = {\ frac {nq ^ {2} \ tau} {m }}}

\sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}

Переменное поле

Комплексная проводимость для разных частот при условии, что τ = 10 и что σ 0 = 1.

Модель Друде может также предсказывать ток как реакцию на зависящее от времени электрическое поле с угловой ч аст о той ω. Комплексная проводимость равной

σ (ω) знак равно σ 0 1 - я ω τ знак равно σ 0 1 + ω 2 τ 2 + я ω τ σ 0 1 + ω 2 τ 2. {\ displaystyle \ sigma (\ omega) = {\ frac {\ sigma _ {0}} {1-я \ omega \ tau}} = {\ frac {\ sigma _ {0}} {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2} }} + i \ omega \ tau {\ frac {\ sigma _ {0}} {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}.}

\sigma (\omega)={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.

. Здесь принято, что:

E (t) = ℜ (E 0 ei ω t); {\ Displaystyle E (T) = \ Re \ влево (E_ {0} e ^ {i \ omega t} \ right);}

E(t)=\Re \left(E_{0}e^{i\omega t}\right);

J (t) = ℜ (σ (ω) E 0 ei ω t). {\ displaystyle J (t) = \ Re \ left (\ sigma (\ omega) E_ {0} e ^ {i \ omega t} \ right).}

J(t)=\Re \left(\sigma (\omega)E_{0}e^{i\omega t}\right).

В технике i обычно заменяется на −i (или - j) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающейся во времени.

Доказательство с использованием формул

Дано

p (t) = ℜ (p (ω) e - i ω t) {\ displaystyle \ mathbf {p} (t) = \ Re \ left (\ mathbf {p} (\ omega) e ^ {- я \ omega t} \ right)}

\mathbf {p} (t)=\Re \left(\mathbf {p} (\omega)e^{-i\omega t}\right)

E (t) = ℜ (E (ω) e - я ω t) {\ displaystyle \ mathbf {E} (t) = \ Re \ left (\ mathbf {E} (\ omega) e ^ {- i \ omega t} \ right)}

\mathbf {E} (t)=\Re \left(\mathbf {E} (\omega)e^{-i\omega t}\right)

И уравнение движения выше

ddtp (t) = - e E - п ( T) τ {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {p} (t) = - е \ mathbf {E} - {\ frac {\ mathbf {p} (t)} {\ tau} }}

{\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}

заменяя

- я ω п (ω) = - e E (ω) - p (ω) τ {\ displaystyle -i \ omega \ mathbf {p} (\ omega) = -e \ mathbf {E} (\ omega) - {\ frac {\ mathbf {p} (\ omega)} {\ tau}}}

-i\omega \mathbf {p} (\omega)=-e\mathbf {E} (\omega)-{\frac {\mathbf {p} (\omega)}{\tau }}

Учитывая

j = - nepm {\ displaystyle \ mathbf {j} = - ne {\ гидроразрыва {\ mathbf {p}} {m}}}

\mathbf {j} =-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}

j (t) = ℜ (j (ω) e - i ω t) {\ displaystyle \ mathbf {j} (t) = \ Re \ left (\ mathbf {j} (\ omega) e ^ {- i \ omega t} \ right)}

\mathbf {j} (t)=\Re \left(\mathbf {j} (\omega)e^{-i\omega t}\right)

j (ω) = - nep (ω) m = (ne 2 / m) E (ω) 1 / τ - я ω {\ Displaystyle \ mathbf {J} (\ ome g а) = - ne {\ frac {\ mathbf {p} (\ omega)} {m}} = {\ f rac {(ne ^ {2} / m) \ mathbf {E} (\ omega)} { 1 / \ tau -i \ omega}}}

\mathbf {j} (\omega)=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega)}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega)}{1/\tau -i\omega }}

определяя комплексную проводимость из:

j (ω) = σ (ω) Е (ω) {\ Displaystyle \ mathbf {J} (\ omega) = \ sigma (\ omega) \ mathbf {E} (\ omega)}

\mathbf {j} (\omega)=\sigma (\omega)\mathbf {E} (\omega)

Мы имеем:

σ (ω) = σ 0 1 - i ω τ; σ 0 знак равно ne 2 τ м {\ Displaystyle \ sigma (\ omega) = {\ frac {\ sigma _ {0}} {1-я \ omega \ tau}}; \ sigma _ {0} = {\ frac {ne ^ {2} \ tau} {m}}}

\sigma (\omega)={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}

Мнимая часть означает, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам требуется примерно время τ для ускорения в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; его можно применять как к электронам, так и к дыркам; т.е. положительные носители заряда в полупроводниках. Кривые для σ (ω) показаны на графике.

Если к твердому телу приложить синусоидально изменяющееся электрическое поле с выбором $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая движется перемещаться на расстояние x отдельно от положительно заряженного фона. В результате образца возникает избыточный заряд.

диэлектрическая постоянная образец выражается как

ε = D ε 0 E = 1 + P ε 0 E {\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {D} {\ varepsilon _ { 0} E}} = 1 + {\ frac {P} {\ varepsilon _ {0} E}}}

\varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}

, где $D {\ displaystyle D}$ $D$ - это электрическое смещение и $P {\ displaystyle P}$ $P$ - электрическая плотность поляризации.

Плотность поляризации записывается как

P (t) = ℜ (P 0 ei ω t) {\ displaystyle P (t) = \ Re \ left (P_ {0} e ^ {i \ omega t} \ right)}

P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\omega t}\right)

, плотность поляризации с n электронной плотностью равна

P = - nex {\ displaystyle P = -nex}

P=-nex

После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем может быть выражена как

P = - ne 2 m ω 2 E {\ displaystyle P = - {\ frac {ne ^ {2} } {m \ omega ^ {2}}} E}

P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E

Частотно-зависимая диэлектрическая проницаемость твердого тела

ε (ω) = 1 - ne 2 ε 0 m ω 2 {\ displaystyle \ varepsilon (\ omega) = 1 - {\ frac {ne ^ {2}} {\ varepsilo n _ {0} m \ omega ^ {2}}}}

\varepsilon (\omega)=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}

Доказательство с использованием формулы Максвелла

Gi В приближении $σ (ω) {\ displaystyle \ sigma (\ omega)}$ $\sigma (\omega)$ , выше

, мы предполагали отсутствие электромагнитного поля: оно всегда меньше в v / c при заданном дополнительном члене Лоренца $- epmc × B {\ displaystyle - {\ frac {e \ mathbf {p}} {mc }} \ times \ mathbf {B}}$ $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ в уравнении движения
мы предположили пространственно однородное поле: это верно, если поле не осциллирует значительно на нескольких длинах свободного пробега электронов. Обычно это не так: длина свободного пробега порядка Армстронга, что соответствует длине волн, типичных для рентгеновских лучей.

Учитывая уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в плазменных колебаниях )

∇ ⋅ E = 0; ∇ ⋅ B = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 0; \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\nabla \cdot \mathbf {E} =0;\nabla \cdot \mathbf {B} =0

∇ × E = - 1 c ∂ B ∂ T; ∇ × B = 4 π cj + 1 c ∂ E ∂ T {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E } = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}; \ nabla \ times \ mathbf {B} = {\ frac {4 \ pi} {c}} \ mathbf {j} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}}}

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

, тогда

∇ × ∇ × E = - ∇ 2 E = я ω c ∇ × B = я ω c (4 π σ с Е - я ω с Е) {\ Displaystyle \ набла \ раз \ набла \ раз \ mathbf {E} = - \ набла ^ {2} \ mathbf {E} = {\ гидроразрыва {я \ омега} {с}} \ nabla \ times \ mathbf {B} = {\ frac {i \ omega} {c}} \ left ({\ frac {4 \ pi \ sigma} {c}} \ mathbf {E} - {\ frac {i \ omega} {c}} \ mathbf {E} \ right)}

\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)

или

∇ 2 E = ω 2 c 2 (1 + 4 π i σ ω) E {\ displayst yle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {4 \ pi i \ sigma} {\ omega}} \ right) \ mathbf {E}}

\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E}

, которое представляет уравнением электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью $ϵ (ω) {\ displaystyle \ epsilon (\ omega)}$ $\epsilon (\omega)$ в форме Гельмольца

- ∇ 2 E = ω 2 c 2 ϵ ( ω) E {\ displaystyle - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ epsilon (\ omega) \ mathbf {E}}

-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega)\mathbf {E}

, где показатель преломления равен $n (ω) = ϵ (ω) {\ displaystyle n (\ omega) = {\ sqrt {\ epsilon (\ omega)}}}$ $n(\omega)={\sqrt {\epsilon (\omega)}}$ , а фазовая скорость равна $vp = cn (ω) {\ displaystyle v_ {p} = {\ frac {c} {n (\ omega)}}}$ $v_{p}={\frac {c}{n(\omega)}}$ , следовательно, комплексная диэлектрическая проницаемость равна

ϵ (ω) знак равно (1 + 4 π я σ ω) {\ displaystyle \ epsilon (\ omega) = \ left (1+ {\ frac {4 \ pi i \ sigma} {\ omega}} \ right) }

\epsilon (\omega)=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)

который в случае $ω τ>>1 {\ displaystyle \ omega \ tau>>1}$ $\omega \tau>>1$ можно приблизительно представить как:

ϵ (ω) = (1 - ω p 2 ω 2); ω п 2 знак равно 4 π ne 2 м {\ displaystyle \ epsilon (\ omega) = \ left (1 - {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ верно); \ omega _ {p} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ne ^ {2}} {m}}}

\epsilon (\omega)=\left(1-{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}

На резонансной частоте $ω p {\ displaystyle \ omega _ {\ rm { p}}}$ $\omega _{\rm {p}}$ , называемая плазменной диэлектрической функции, диэлектрическая функция меняет знак с отрицательного на положительный, и действительная часть диэлектрической функции падает до нуля.

ω п = ne 2 ε 0 м {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {p}} = {\ sqrt {\ frac {ne ^ {2}} {\ varepsilon _ {0} m}}}}

\omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}

Плазменная частота представляет собой плазменные колебания резонанс или плазмон. Плазменную частоту можно использовать как прямую меру квадратного корня из плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения разумно согласуются с теоретическим предсказанием большого числа материалов. Ниже плазменной частоты диэлектрическая функция отрицательна, и поле не может проникать в образец. Свет с угловой точки ниже плазменной частоты будет полностью отражен. Выше плазменной частоты световые волны могут проникнуть в образец, типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения.

Теплопроводность металлов

Один из самых впечатляющих успехов модели Друде связано с предсказанием закона Видемана-Франца это было связано с набором обстоятельств и ошибок в статье Друде. А именно, Друде предсказал значение числа Лоренца:

k σ T = 3 2 (k B e) 2 = 2,22 × 10-8 Вт att - O hm / K 2 {\ displaystyle {\ frac {k} { \ sigma T}} = {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {k_ {B}} {e}} \ right) ^ {2} = 2,22 \ times 10 ^ {- 8 } Ватт- Ом / К ^ {2}}

{\frac {k}{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{B}}{e}}\right)^{2}=2.22\times 10^{-8}Watt-Ohm/K^{2}

, где реальные значения в основном находятся в диапазоне от 2 до 3 для комнатной температуры от 0 до 100 градусов Цельсия.

Доказательство вместе с ошибками Друде

Во-первых, твердые тела проводят тепло, движение носителя и движение ядер или первое согласно модели Друде. В проводниках есть свободные носители заряда, а именно электроны, а в изоляторах их практически нет, ионы присутствуют в обоих. При хорошей проводимости электричества и тепла от металлов, а не от полупроводников, проводимость должна обеспечиваться носителями заряда.

Мы определяем плотность теплового тока как поток тепловой энергии в единицу времени через единицу, перпендикулярной потоку

jq = - k ∇ E {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {q} = -k \ nabla \ mathbf {E}}

\mathbf {j} _{q}=-k\nabla \mathbf {E}

где k - теплопроводность. Рассматривая одномерную модель, энергия электронов зависит от температуры в месте столкновения $ϵ (T [x ′]) {\ displaystyle \ epsilon (T [x '])}$ $\epsilon (T[x'])$ Если мы представим градиент температуры, при температура падает в положительном направлении x, средняя скорость электронов равна нулю, но электроны поступают с более высокой энергией размер будет иметь последнее столкновение в среднем в $x - v τ {\ displaystyle xv \ tau}$ $x-v\tau$ и будет иметь энергию $ε (T [x - v τ]) {\ displaystyle \ varepsilon (T [xv \ tau])}$ $\varepsilon (T[x-v\tau ])$ те, которые приходят из более низкого энергетического размера, будут иметь энергию $ε (T [x + v τ]) {\ displaystyle \ varepsilon (T [x + v \ tau])}$ $\varepsilon (T[x+v\tau ])$ .

Полный поток (половина слева и половина справа t) задается формулой

jq = 1 2 nv [ε (T [x - v τ]) - ε (T [x + v τ])] {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {q} = {\ frac {1} {2}} nv [\ varepsilon (T [xv \ tau]) - \ varepsilon (T [x + v \ tau])]}

\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv[\varepsilon (T[x-v\tau ])-\varepsilon (T[x+v\tau ])]

и, следовательно, в пределе длины свободног о пробега $l = v τ {\ displaystyle l = v \ tau}$ $l=v\tau$ то есть небольшая величина $[ε (T [x - v τ]) - ε (T [x + v τ])] / 2 v τ {\ displaystyle [\ varepsilon (T [xv \ tau]) - \ varepsilon (T [x + v \ tau])] / 2v \ tau}$ $[\varepsilon (T[x-v\tau ])-\varepsilon (T[x+v\tau ])]/2v\tau$ сводится к производной по Икс.

И поэтому

jq = nv 2 τ d ε d T (- d T dx) {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {q} = nv ^ {2} \ tau {\ frac { d \ varepsilon} {dT}} (- {\ frac {dT} {dx}})}

\mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}(-{\frac {dT}{dx}})

Расширение до 3 степеней свободы $⟨vx 2⟩ = 1 3 ⟨v 2⟩ {\ displaystyle \ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {3}} \ langle v ^ {2} \ rangle}$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ и задано $nd ε d T = NV d ε d T = 1 В d E d T = cv {\ displaystyle n {\ frac {d \ varepsilon} {dT}} = {\ frac {N} {V}} {\ frac {d \ varepsilon} {dT}} = {\ гидроразрыва {1} {V}} {\ frac {dE} {dT}} = c_ {v}}$ $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$

jq = 1 3 v 2 τ cv (- ∇ T) {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {q} = {\ frac {1} {3}} v ^ {2} \ tau c_ {v} (- \ nabla T)}

\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}(-\nabla T)

или с теплопроводностью

k = 1 3 v 2 τ cv {\ displaystyle k = {\ frac {1} {3}} v ^ {2} \ tau c_ {v}}

k={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}

Здесь мы не будем учитывать скорость v также от температуры и, следовательно, на позиции это основное не повлияет. Мы также не будем точно определять, какую скорость переносит конкретная группа электронов. ныряя по проводимости $σ = ne 2 τ m {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {ne ^ {2} \ tau} {m}}}$ $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ и, следовательно, избавляясь от $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$

к σ = 1/3 cvmv 2 ne 2 {\ displaystyle {\ frac {k} {\ sigma}} = {\ frac {1 / 3c_ {v} mv ^ {2} } {ne ^ {2}}}}

{\frac {k}{\sigma }}={\frac {1/3c_{v}mv^{2}}{ne^{2}}}

Теперь Друде представил здесь две ошибки, а именно: он использовал формулу классической статистической механики для $cv = 3 2 nkb {\ displaystyle c_ {v} = {\ frac { 3} {2}} nk_ {b}}$ $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{b}$ является завышенным в 100 раз, а средняя энергия все еще из классической механики $1 2 мв 2 = 3 2 кбайт T {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {3} {2}} k_ {b} T}$ ${\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {3}{2}}k_{b}T$ , что является заниженным значением в 100 раз, а именно, носители заряда сильно перемещаются быстрее, чем атомы, и чем то, что Друде мог себе представить.

Всего осталось:

k σ T = 3 2 (k B e) 2 = 1,11 × 10 - 8 Вт атт - O hm / K 2 {\ displaystyle {\ frac {k} { \ sigma T}} = {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {k_ {B}} {e}} \ right) ^ {2} = 1.11 \ times 10 ^ {- 8} Ватт -Ohm / K ^ {2}}

{\frac {k}{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{B}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}Watt-Ohm/K^{2}

Это половина результата Друде выше, учитывая, что Друде также недооценил проводимость в два раза из-за недооценки $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ в 2 раза.

Это произошло из-за того, что Друде оценил время между последним и следующим столкновением (это на самом деле составляет

2 τ {\ displaystyle 2 \ tau}

2\tau

) как среднее время между двумя столкновениями (вместо этого

τ {\ displaystyle \ tau}

\tau

) для распределения Пуассона.

Термоэнергетика

Общий температурный градиент при включении в тонкой полоске вызов ток электронов к стороне с более низкой температурой, учитывая, что в экспериментах в режиме разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее этому. е электрический ток. Это поле называется термоэлектрическим полем:

E = Q ∇ T {\ displaystyle \ mathbf {E} = Q \ nabla T}

\mathbf {E} =Q\nabla T

, а Q называется термоЭДС. Оценки Друде имеют низкий коэффициент 100, учитывая прямую зависимость от удельнойемкости.

Q = - cv 3 ne = - k B 2 e = 0,43 × 10 - 4 V olt / K {\ displaystyle Q = - {\ frac {c_ {v}} {3ne}} = - {\ гидроразрыв {k_ {B}} {2e}} = 0,43 \ times 10 ^ {- 4} Вольт / К}

Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{B}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}Volt/K

где типичные термоЭДС при температуре в 100 раз меньше порядка микровольт.

Доказательство вместе с ошибками Друде

Из простой одномерной модели

v Q = 1 2 [v (x - v τ) - v (x + v τ)] = - v τ dvdx = - τ ddx ( v 2 2) {\ Displaystyle v_ {Q} = {\ frac {1} {2}} [v (xv \ tau) -v (x + v \ tau)] = - v \ tau {\ frac {dv} {dx}} = - \ tau {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {2}} \ right)}

v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau)-v(x+v\tau)]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)

Расширение до 3 степеней свободы $⟨Vx 2⟩ знак равно 1 3 ⟨v 2⟩ {\ displaystyle \ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {3}} \ langle v ^ {2} \ rangle}$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$

v Q = - τ 6 dv 2 d T (∇ T) {\ displaystyle \ mathbf {v_ {Q}} = - {\ frac {\ tau} {6}} {\ frac {dv ^ {2}} { dT}} (\ nabla T)}

\mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)

Средняя скорость электрического поля (с учетом приведенного выше уравнения движения в состоянии равновесия)

v E = - e E τ m {\ displaystyle \ mathbf {v_ {E }} = - {\ frac {e \ mathbf {E} \ tau} {m}}}

\mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}

Чтобы получить общий текущий ноль $v E + v Q = 0 {\ displaystyle \ mathbf {v_ {E }} + \ mathbf {v_ {Q}} = 0}$ $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ мы имеем

Q = - 1 3 edd T (mv 2 2) = - cv 3 ne {\ displaystyle Q = - { \ frac {1} {3e}} {\ frac {d} {dT}} \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = - {\ frac {c_ {v}} {3ne}}}

Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}

И, как обычно в случае Друде $cv = 3 2 nk B {\ displaystyle c_ {v} = {\ frac {3} {2}} nk_ {B}}$ $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{B}$

Q = - К В 2 е = 0,43 × 10 - 4 Вольт / K {\ Displaystyle Q = - {\ frac {k_ {B}} {2e}} = 0,43 \ times 10 ^ {- 4} Вольт / К}

Q=-{\frac {k_{B}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}Volt/K

где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт.

Отклик Друде в реальных материалах

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, т.е. экспоненциальная релаксация с постоянной времени τ или частотная зависимость для σ (ω), указанная выше, называется откликом Друде. В обычном, простом, реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение не обнаруживается экспериментально, поскольку характеристическая частота τ находится в инфракрасном диапазоне частот, где другие особенности, не учитываемые в модели Друде. (например, ленточная структура ) играют важную роль. Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая полностью соответствует простому предсказанию Друде для σ (ω). Это материалы, в которых скорость релаксации τ находится на гораздо более низких частотах. Это относится к некоторым монокристаллам легированных полупроводников, высокоподвижных двумерных электронных газах и металлам с тяжелыми фермионами.

Точность модели

Исторически формула Друде была впервые выведена ограниченным образом, а именно, предполагая, что носители заряда образуют классический идеальный газ. Арнольд Зоммерфельд рассмотрел квантовую теорию и распространил ее на модель свободных электронов, где носители следуют распределению Ферми-Дирака. Прогнозируемая проводимость такая же, как в модели Друде, поскольку она не зависит от формы электронного распределения скорости.

Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости постоянного и переменного тока в металлах, эффекта Холла и магнитосопротивления в металлах при температуре около комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана – Франца 1853 года. Однако она сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре.

Модель также может быть применена к положительным (дырочным) носителям заряда.

В своей первоначальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца закона Видемана-Франца как вдвое большее, чем должно было быть в классическом смысле, таким образом, казалось, что оно согласуется с экспериментальными данными. значение удельной теплоемкости примерно в 100 раз меньше, чем классический прогноз, но этот фактор сводится на нет со средней скоростью электронов, которая примерно в 100 раз больше, чем расчет Друде.

См. также

Цитаты

^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 6–7
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр 2-3
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 стр. Примечание 4 и рис. 1.1
^Ashcroft Mermin 1976, стр. 3 стр. Примечание 7 и рис. 1.2
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 примечание 6
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 8 таблица 1.2
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр 5 таблица 1.1
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 15 таблица 1.4
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр 2
^Эшкрофт и Мермин 1976, pp. 4
^ Ashcroft Mermin 1976, pp. 2–6
^ Ashcroft Mermin 1976, p. 11
^Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 16
^ Эшкрофт и Мермин 1976, pp. 17
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 18 table 1.5
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 18 table 1.6
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 25 prob 1
^ Ashcroft Mermin 1976, pp. 25
^Ashcroft Mermin 1976, pp. 24
^Ashcroft Mermin 1976, p. 23

References

General

Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.CS1 maint: ref=h arv (link )

External links

Heaney, Michael B (2003). "Electrical Conductivity and Resistivity". In Webster, John G. (ed.). Electrical Measurement, Signal Processing, and Displays. CRC Press. ISBN 9780203009406.