Радиус Бора

редактировать

Радиус Бора
Приблизительные значения (до трех значащих цифр)
Символ	a0или r Bohr
Назван в честь	Нильса Бора
единиц СИ	5,29 × 10 m
имперских единиц /US	2,08 × 10 в
натуральных единицах	3,27 × 10 `ℓ`P

радиус Бора (a0) - это физическая константа, равная наиболее вероятной расстояние между ядром и электроном в атоме водорода в его основном состоянии (нерелятивистском и с бесконечно тяжелым протоном). Он назван в честь Нильса Бора из-за его роли в модели Бора атома. Его значение составляет 5,29177210903 (80) × 10 м.

Содержание

1 Определение и значение
2 Использование
3 Связанные единицы
4 «Уменьшенный» радиус Бора
5 Радиусы в аналогичных системах
6 См. Также
7 Примечания
8 Цитаты
9 Внешние ссылки

Определение и значение

Радиус Бора:

a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 mee 2 = ℏ mec α {\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {m _ {\ text {e}} e ^ {2}} } = {\ frac {\ hbar} {m _ {\ text {e}} c \ alpha}}}

{ \ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {m _ {\ text {e}} e ^ {2}}} = {\ frac {\ hbar } {м _ {\ текст {е}} с \ альфа}}}

где:

a 0 {\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

- это Радиус Бора,

ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \}

\ varepsilon_0 \

- диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

ℏ {\ displaystyle \ hbar \}

\ hbar \

- приведенная постоянная Планка;,

me {\ displaystyle m _ {\ text {e}} \}

{\ displaystyle m_ {\ text {e}} \}

- масса покоя электрона,

e {\ displaystyle e \}

e \

- элементарный заряд;,

c {\ displaystyle c \}

c \

- скорость света в вакууме, а

α {\ displaystyle \ alpha \}

\ alpha \

- это постоянная тонкой структуры.

. CODATA значение радиуса Бора (в единицах СИ ) составляет 5,29177210903 (80) × 10 м.

модель Бора определяет радиус для n-е возбужденное состояние водородоподобного атома . Радиус Бора соответствует n = 1.

Использование

В модели Бора для атомной структуры, предложенной Нильсом Бором в 1913 году электроны вращаются вокруг центрального ядра под действием электростатического притяжения. Исходный вывод утверждал, что электроны имеют орбитальный угловой момент, кратный приведенной постоянной Планка, что успешно соответствует наблюдению дискретных уровней энергии в спектрах излучения, а также предсказывает фиксированный радиус для каждого из этих уровней. В простейшем атоме, водорода, один электрон вращается вокруг ядра, и его наименьшая возможная орбита с наименьшей энергией имеет радиус орбиты, почти равный радиусу Бора. (Это не совсем радиус Бора из-за эффекта уменьшенной массы. Они различаются примерно на 0,05%.)

Модель атома Бора была заменена электронным облаком вероятности, подчиняющимся Уравнение Шредингера, которое дополнительно усложняется эффектами спина и квантового вакуума для создания тонкой структуры и сверхтонкой структуры. Тем не менее формула радиуса Бора остается центральной в расчетах атомной физики, отчасти из-за ее простой связи с другими фундаментальными константами. (Вот почему он определяется с использованием истинной массы электрона, а не приведенной массы, как упоминалось выше.) Например, это единица длины в атомных единицах.

. Важное различие состоит в том, что радиус Бора дает радиус с максимальной радиальной плотностью вероятности, а не его ожидаемое радиальное расстояние. Ожидаемое радиальное расстояние в 1,5 раза больше радиуса Бора из-за длинного хвоста радиальной волновой функции. Еще одно важное отличие состоит в том, что в трехмерном пространстве максимальная плотность вероятности возникает в месте расположения ядра, а не на радиусе Бора, тогда как радиальная плотность вероятности достигает максимума на радиусе Бора, то есть при построении распределения вероятностей в его радиальной зависимости.

Связанные единицы

Боровский радиус электрона - одна из трех связанных единиц длины, две другие - это комптоновская длина волны электрона $λ е {\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {e}}}$ и классический радиус электрона $re {\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle r _ {\ mathrm {e }}}$ . Радиус Бора строится из массы электрона $me {\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ $m_{\mathrm{e}}$ , постоянной Планка $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ и заряд электрона $e {\ displaystyle e}$ $e$ . Длина волны Комптона складывается из $me {\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ , $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ и скорости света $c {\ displaystyle c}$ $c$ . Классический радиус электрона состоит из $меня {\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ , $c {\ displaystyle c}$ $c$ и $e {\ displaystyle e}$ $e$ . Любая из этих трех длин может быть записана через любую другую, используя постоянную тонкой структуры $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ :

r e = α λ e 2 π = α 2 a 0. {\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}} = \ alpha {\ frac {\ lambda _ {\ mathrm {e}}} {2 \ pi}} = \ alpha ^ {2} a_ {0}.}

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}} = \ alpha {\ frac {\ lambda _ {\ mathr m {e}}} {2 \ pi}} = \ alpha ^ {2} a_ {0}.}

Радиус Бора примерно в 19 000 раз больше, чем классический радиус электрона (т. Е. Общий масштаб атомов составляет ангстрем, а масштаб частиц составляет фемтометр ). Комптоновская длина волны электрона примерно в 20 раз меньше, чем радиус Бора, а классический радиус электрона примерно в 1000 раз меньше комптоновской длины волны электрона.

«Уменьшенный» радиус Бора

Радиус Бора, включая эффект уменьшенной массы в атоме водорода, может быть задан следующими уравнениями:

a 0 ∗ = λ p + λ e 2 π α = me μ a 0 = ℏ μ c α = 4 π ε 0 2 μ | q e | | q p |, {\ displaystyle \ a_ {0} ^ {*} \ = {\ frac {\ lambda _ {\ mathrm {p}} + \ lambda _ {\ text {e}}} {2 \ pi \ alpha}} = {\ frac {m _ {\ text {e}}} {\ mu}} a_ {0} = {\ frac {\ hbar} {\ mu c \ alpha}} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ { 0} \ hbar ^ {2}} {\ mu | q _ {\ text {e}} || q _ {\ text {p}} |}},}

{\ displaystyle \ a_ {0} ^ {*} \ = {\ frac {\ lambda _ {\ mathrm {p}} + \ lambda _ {\ text {e}}} {2 \ pi \ alpha}} = {\ frac {m _ {\ text {e}}} {\ mu}} a_ {0} = {\ frac {\ hbar} {\ mu c \ alpha}} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {\ mu | q _ {\ text {e}} || q _ {\ text {p}} |}},}

где:.

λ p {\ displaystyle \ lambda _ {\ text {p}} \}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {p}} \}

- комптоновская длина волны протона,

λ e {\ displaystyle \ lambda _ {\ text {e}} \ }

{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {e}} \}

- комптоновская длина волны электрона,

ℏ {\ displaystyle \ hbar \}

\ hbar \

- уменьшенная постоянная Планка,

α {\ displaystyle \ alpha \ }

\ alpha \

- постоянная тонкой структуры;,

c {\ displaystyle c \}

c \

- скорость света,

μ {\ displaystyle \ mu \}

{\ displaystyle \ mu \}

- приведенная масса системы электрон / протон,

ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \}

\ varepsilon_0 \

- диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

| q e | {\ displaystyle | q _ {\ text {e}} | \}

{\ displaystyle | q _ {\ text {e}} | \}

- величина заряда электрона,

| q p | {\ displaystyle | q _ {\ text {p}} | \}

{\ displaystyle | q _ {\ text {p} } | \}

- величина заряда протона.

В первом уравнении эффект уменьшенной массы достигается за счет использования увеличенного значения Комптона. длина волны, которая представляет собой просто сумму комптоновских длин волн электрона и протона. Использование приведенной массы по своей сути является классическим обобщением проблемы двух тел, когда мы находимся за пределами приближения, согласно которому масса движущегося по орбите тела намного меньше массы тела, вращающегося по орбите.

Примечательно, что приведенная масса системы электрон / протон будет (очень немного) меньше массы электрона, поэтому «приведенный радиус Бора» на самом деле больше, чем типичное значение ( $a 0 ∗ ≈ 1.00054 a 0 {\ displaystyle a_ {0} ^ {*} \ приблизительно 1.00054 \, a_ {0}}$ ${\ displaystyle a_ {0} ^ {*} \ приблизительно 1.00054 \, a_ {0} }$ или $a 0 ∗ ≈ 5.2946541 × 10 - 11 {\ displaystyle a_ {0} ^ {*} \ приблизительно 5.2946541 \ times 10 ^ {- 11}}$ ${\ displaystyle a_ {0} ^ {*} \ приблизительно 5.2946541 \ times 10 ^ {- 11}}$ метров).

Радиусы в аналогичных системах

Этот результат можно обобщить на другие системы, такие как позитроний (электрон, вращающийся вокруг позитрона ) и мюоний (электрон, вращающийся вокруг антимюона ), используя приведенную массу (или эквивалентную сумму комптоновских длин волн) системы и учитывая возможное изменение заряда. Как правило, соотношения модели Бора (радиус, энергия и т. Д.) Можно легко изменить для этих экзотических систем (вплоть до низшего порядка), просто заменив массу электрона приведенной массой для системы (а также, при необходимости, изменив заряд).. Например, радиус позитрония приблизительно равен $2 a 0 {\ displaystyle 2 \, a_ {0}}$ ${\ displaystyle 2 \, a_ {0}}$ , поскольку приведенная масса позитрониевой системы составляет половину массы электрона ( $μ е -, е + = мне / 2 {\ displaystyle \ mu _ {{\ text {e}} ^ {-}, {\ text {e}} ^ {+}} = m _ {\ text {e}} / 2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {{ \ text {e}} ^ {-}, {\ text {e}} ^ {+}} = m _ {\ text {e}} / 2}$ ), тогда как приведенная масса для системы электрон / протон приблизительно равна массе электрона ( $μ e -, p ≈ me {\ displaystyle \ mu _ {{\ text {e} } ^ {-}, {\ text {p}}} \ приблизительно m _ {\ text {e}}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {{\ text {e}} ^ {-}, {\ text {p}}} \ приблизительно m _ {\ text {e}}}$ ), как описано выше.

Еще одно важное наблюдение заключается в том, что любой водородоподобный атом будет иметь радиус Бора, который в основном изменяется как $r Z = a 0 / Z {\ displaystyle r_ {Z} = a_ {0} / Z}$ ${\ displaystyle r_ {Z} = a_ {0} / Z}$ , где $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ количество протонов в ядре. В последнем уравнении видно, что это результат $| q p | → | q (Z ∗ p) | = Z | q p | {\ displaystyle | q _ {\ text {p}} | \ rightarrow | q _ {(Z * {\ text {p}})} | = Z | q _ {\ text {p}} |}$ ${\ displaystyle | q _ {\ text {p}} | \ rightarrow | q _ {(Z * {\ text {p}})} | = Z | q _ {\ текст {p}} |}$ . Между тем, приведенная масса ( $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ) только лучше аппроксимируется $me {\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$ $m_{\text{e}}$ в пределе увеличения ядерной массы. Эти результаты суммированы в уравнении

r Z, μ = m e μ a 0 Z. {\ displaystyle r_ {Z, \ mu} \ = {\ frac {m_ {e}} {\ mu}} {\ frac {a_ {0}} {Z}}.}

{\ displaystyle r_ {Z, \ mu} \ = {\ frac {m_ {e}} {\ mu}} {\ frac {a_ {0}} {Z}}.}

Таблица приблизительных соотношений приведено ниже:

Радиус Бора	$a 0 {\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$
"Уменьшенный" радиус Бора	$1.00054 a 0 {\ displaystyle 1.00054 \, a_ {0}}$ ${\ displaystyle 1.00054 \, a_ {0}}$
Позитроний радиус	$2 a 0 {\ displaystyle 2a_ {0}}$ ${\ displaystyle 2a_ {0}}$
мюониевый радиус	$1.0048 a 0 {\ displaystyle 1.0048 \, a_ {0}}$ ${\ displaystyle 1.0048 \, a_ {0}}$
He радиус	$a 0/2 {\ displaystyle a_ {0} / 2}$ $a_0 / 2$
Li radius	$a 0/3 {\ displaystyle a_ {0} / 3}$ ${\ displaystyle a_ {0} / 3}$

См. также

Примечания

Цитаты

Внешние ссылки

Шкалы длины в физике: радиус Бора