Двоичная функция

редактировать

В математике двоичный файл функция (также называемая двумерной функцией или функцией двух переменных ) - это функция, которая принимает два входа.

Точно указано, что функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ является двоичной, если существуют sets $X, Y, Z {\ displaystyle X, Y, Z}$ $X, Y, Z$ такие, что

f: X × Y → Z {\ displaystyle \, f \ двоеточие X \ times Y \ rightarrow Z}

\, f \ двоеточие X \ times Y \ rightarrow Z

где $X × Y { \ displaystyle X \ times Y}$ $X \ times Y$ - декартово произведение из $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y. {\ displaystyle Y.}$ $Y.$

Содержание

1 Альтернативные определения
2 Примеры
3 Функции двух вещественных переменных
4 Ограничения на обычные функции
5 Обобщения
6 Обобщения на троичные и другие функции
7 Теория категорий
8 Ссылки

Альтернативные определения

Теоретически множественная двоичная функция может быть представлена как подмножество из декартовой product $X × Y × Z {\ displaystyle X \ times Y \ times Z}$ ${\ displaystyle X \ times Y \ times Z}$ , где $(x, y, z) {\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ принадлежит подмножеству тогда и только тогда, когда $f (x, y) = z {\ displaystyle f (x, y) = z}$ ${\ displaystyle f (x, y) = z}$ . И наоборот, подмножество $R {\ displaystyle R}$ $R$ определяет двоичную функцию тогда и только тогда, когда для любого $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ и $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ in Y$ , существует a unique $z ∈ Z {\ displaystyle z \ in Z}$ ${\ displaystyle z \ in Z}$ такой, что $(x, y, z) {\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ принадлежит $R {\ displaystyle R}$ $R$ . $f (x, y) {\ displaystyle f (x, y)}$ $е (x, y)$ затем определяется как $z {\ displaystyle z}$ $z$ .

В качестве альтернативы двоичная функция может быть интерпретирована как просто function от $X × Y {\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ times Y$ до $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ . Однако даже если подумать об этом, обычно пишут $f (x, y) {\ displaystyle f (x, y)}$ $е (x, y)$ вместо $f ((x, y)) {\ Displaystyle f ((х, y))}$ ${\ displaystyle f ((x, y))}$ . (То есть одна и та же пара круглых скобок используется для обозначения как применения функции, так и формирования упорядоченной пары.)

Примеры

Деление целых чисел можно рассматривать как функцию. Если $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ - это набор целых чисел, $N + {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+ }}$ - это набор натуральных чисел (кроме нуля), а $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ - набор рациональные числа, тогда деление является двоичной функцией $f: Z × N + → Q {\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {+ } \ rightarrow \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {Q}}$ .

Другой пример - это внутренние продукты или, в более общем смысле, функции вида $(x, y) ↦ x TM y {\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {T} My}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {T} My}$ , где $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ - векторы с действительным знаком соответствующего размера, а $M {\ displaystyle M }$ $M$ - матрица. Если $M {\ displaystyle M}$ $M$ является положительно определенной матрицей, это дает внутренний продукт.

Функции двух действительных переменных

Функции, домен которых является подмножеством $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ , часто также называют функциями двух переменных, даже если их домен не образует прямоугольник и, следовательно, декартово произведение двух наборов.

Ограничения на обычные функции

В свою очередь, можно также получить обычные функции одной переменной из двоичной функции. Для любого элемента $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ существует функция $fx {\ displaystyle f ^ {x}}$ ${\ displaystyle f ^ {x}}$ или $е (х, ⋅) {\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ $f (x, \ cdot)$ , от $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ до $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , заданный как $fx (y) = f (x, y) {\ displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$ ${\ displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$ . Аналогично, для любого элемента $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ in Y$ существует функция $fy {\ displaystyle f_ {y}}$ $f_y$ , или $f (⋅, y) {\ displaystyle f (\ cdot, y)}$ $f (\ cdot, y)$ , от $X {\ displaystyle X}$ $X$ до $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , заданный как $fy (x) = f (x, y) {\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ ${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ . В информатике это отождествление между функцией от $X × Y {\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ times Y$ до $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ и функцией из От $X {\ displaystyle X}$ $X$ до $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ , где $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ - это набор всех функций от $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ до $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , называется currying.

Обобщения

Различные концепции, относящиеся к функциям, также могут быть обобщены на двоичные функции. Например, приведенный выше пример деления - сюръективный (или на), потому что каждое рациональное число может быть выражено как частное целого и натурального числа. В этом примере инъективен для каждого ввода отдельно, потому что функции f и f y всегда инъективны. Однако он не является инъективным в обеих переменных одновременно, потому что (например) f (2,4) = f (1,2).

Также можно рассматривать частичные двоичные функции, которые могут быть определены только для определенных значений входов. Например, приведенный выше пример деления также можно интерпретировать как частичную двоичную функцию от Z и N до Q, где N - набор всех натуральных чисел, включая ноль. Но эта функция не определена, когда второй вход равен нулю.

A двоичная операция - это двоичная функция, в которой наборы X, Y и Z равны; бинарные операции часто используются для определения алгебраических структур.

В линейной алгебре билинейное преобразование представляет собой двоичную функцию, в которой все множества X, Y и Z векторные пространства и производные функции f и f y - все это линейные преобразования. Билинейное преобразование, как и любую двоичную функцию, можно интерпретировать как функцию от X × Y до Z, но эта функция в целом не будет линейной. Однако билинейное преобразование также можно интерпретировать как одиночное линейное преобразование тензорного произведения $X ⊗ Y {\ displaystyle X \ otimes Y}$ $X \ время Y$ в Z.

Обобщения на троичные и другие функции

Концепция двоичной функции обобщается на троичную (или 3-арную) функцию, четверную (или 4-арную) функцию или, в более общем смысле, на n-арную функцию для любых натуральное число п. 0-арная функция для Z просто задается элементом Z. Можно также определить A-арную функцию, где A - любое множество ; есть один вход для каждого элемента A.

Теория категорий

В теории категорий n-арные функции обобщаются до n-арных морфизмов в мультикатегории. Интерпретация n-арного морфизма как обычных морфизмов, область определения которых является своего рода продуктом областей исходного n-арного морфизма, будет работать в моноидальной категории. Построение производных морфизмов одной переменной будет работать в замкнутой моноидальной категории. Категория множеств - замкнутая моноидальная категория, но также и категория векторных пространств, что дает понятие билинейного преобразования выше.

Список литературы