Тензор Вейля

редактировать

В дифференциальной геометрии используется тензор кривизны Вейля, названный в честь Германа Вейль, является мерой кривизны пространства-времени или, в более общем смысле, псевдориманова многообразия. Как и тензор кривизны Римана, тензор Вейля выражает приливную силу, которую тело ощущает при движении по геодезической. Тензор Вейля отличается от тензора кривизны Римана тем, что он не передает информацию о том, как изменяется объем тела, а только о том, как форма тела искажается приливной силой. Компонент кривизны Риччи или след тензора Римана содержит точную информацию о том, как объемы изменяются в присутствии приливных сил, поэтому тензор Вейля бесследный компонент тензора Римана. Это тензор , который имеет те же симметрии, что и тензор Римана, с дополнительным условием, что он не имеет следов: сжатие метрики на любой паре индексов дает ноль.

В общей теории относительности кривизна Вейля - единственная часть кривизны, которая существует в свободном пространстве - решение уравнения Эйнштейна вакуума - и она определяет распространение гравитационных волн через области космоса, лишенные материи. В более общем смысле кривизна Вейля является единственной составляющей кривизны для Риччи-плоских многообразий и всегда определяет характеристики уравнений поля многообразия Эйнштейна.

В измерениях 2 и 3 тензор кривизны Вейля тождественно равен нулю. В размерностях ≥ 4 кривизна Вейля, как правило, отлична от нуля. Если тензор Вейля обращается в нуль в размерности ≥ 4, то метрика локально конформно плоская : существует локальная система координат, в которой метрический тензор пропорционален постоянному тензору. Этот факт был ключевым компонентом теории гравитации Нордстрема, которая была предшественником общей теории относительности.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Конформное изменение масштаба
- 2.2 Симметрии
- 2.3 Тождество Бьянки
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Тензор Вейля может быть получен из тензора полной кривизны путем вычитания различных следов. Это проще всего сделать, записав тензор Римана как тензор валентности (0,4) (сжимая метрику). Тензор Вейля валентности (0,4) равен (Petersen 2006, p. 92)

C = R - 1 n - 2 (R ic - sng) ∧ ◯ g - s 2 n ( п - 1) г ∧ ◯ г {\ Displaystyle C = R - {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {n}} g \ right) \ клин \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g - {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ клин \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g}

{\ displaystyle C = R - {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g - {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g}

где n - размерность многообразия, g - метрика, R - тензор Римана, Ric - тензор Риччи, s - скалярная кривизна, и $h ∧ ◯ k {\ displaystyle h \ wedge \! \! \! \! \! \! \ Bigcirc k}$ $h \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k$ обозначает произведение Кулькарни – Номидзу двух симметричных (0,2) тензоры:

(h ∧ ◯ k) (v 1, v 2, v 3, v 4) = h (v 1, v 3) k (v 2, v 4) + h (v 2, v 4) К (v 1, v 3) - час (v 1, v 4) k (v 2, v 3) - час (v 2, v 3) k (v 1, v 4) {\ displaystyle {\ begin {align} (h \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k) \ left (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, v_ {4} \ right) = \ quad h \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) + h \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) \\ - {} h \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) k \ left (v_ {2}, v_ {3} \ right) -h \ left (v_ {2}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (h \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k) \ left (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, v_ {4} \ right) = \ quad h \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) + h \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) \\ - {} h \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) k \ left (v_ {2}, v_ {3} \ right) -h \ left (v_ {2}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) \ end {align}}}

В нотации компонентов тензора это можно записать как

C ik ℓ m = R ik ℓ m + 1 n - 2 (R imgk ℓ - R i ℓ gkm + R k ℓ gim - R kmgi ℓ) + 1 (n - 1) (n - 2) R (gi ℓ gkm - gimgk ℓ). {\ displaystyle {\ begin {align} C_ {ik \ ell m} = R_ {ik \ ell m} + {} {\ frac {1} {n-2}} \ left (R_ {im} g_ {k \ ell} -R_ {i \ ell} g_ {km} + R_ {k \ ell} g_ {im} -R_ {km} g_ {i \ ell} \ right) \\ {} + {} {\ frac {1} {(n-1) (n-2)}} R \ left (g_ {i \ ell} g_ {km} -g_ {im} g_ {k \ ell} \ right). \ \ End {выровнено }}}

{\ displaystyle { \ begin {align} C_ {ik \ ell m} = R_ {ik \ ell m} + {} {\ frac {1} {n-2}} \ left (R_ {im} g_ {k \ ell} - R_ {i \ ell} g_ {km} + R_ {k \ ell} g_ {im} -R_ {km} g_ {i \ ell } \ right) \\ {} + {} {\ frac {1} {(n-1) (n-2)}} R \ left (g_ {i \ ell} g_ {km} -g_ {im} g_ {к \ ell} \ right). \ \ end {align}}}

Затем получается обычный (1,3) валентный тензор Вейля, сворачивая указанное выше с обратной метрикой.

Разложение (1) выражает тензор Римана как ортогональную прямую сумму в том смысле, что

| R | 2 = | C | 2 + | 1 n - 2 (R i c - s n g) ∧ ◯ g | 2 + | s 2 n (n - 1) g ∧ ◯ g | 2. {\ displaystyle | R | ^ {2} = | C | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} { n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2}.}

{\ displaystyle | R | ^ {2} = | C | ^ { 2} + \ left | {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \ ! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2}.}

Это разложение, известное как разложение Риччи, выражает тензор кривизны Римана на его неприводимые компоненты под действием ортогональной группы (Singer Thorpe 1968) harv error: no target: CITEREFSingerThorpe1968 (help ). В размерности 4 тензор Вейля далее разлагается на инвариантные множители для действия специальной ортогональной группы, самодуальной и антисамодуальной частей C и C.

Тензор Вейля может также может быть выражено с помощью тензора Схоутена, который является скорректированным по трассе кратным тензора Риччи,

P = 1 n - 2 (R ic - s 2 (n - 1) g). {\ displaystyle P = {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {2 (n-1)}} g \ right).}

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} { 2 (n-1)}} g \ right).}

Тогда

C = R - P ∧ ◯ g. {\ displaystyle C = RP \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g.}

C = RP \ клин \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g.

В индексах

C abcd = R abcd - 2 n - 2 (ga [c R d ] b - gb [c R d] a) + 2 (n - 1) (n - 2) R ga [cgd] b {\ displaystyle C_ {abcd} = R_ {abcd} - {\ frac {2} {n -2}} \ left (g_ {a [c} R_ {d] b} -g_ {b [c} R_ {d] a} \ right) + {\ frac {2} {(n-1) (n -2)}} R ~ g_ {a [c} g_ {d] b}}

{\ displaystyle C_ {abcd } = R_ {abcd} - {\ frac {2} {n-2}} \ left (g_ {a [c} R_ {d] b} -g_ {b [c} R_ {d] a} \ right) + {\ frac {2} {(n-1) (n-2)}} R ~ g_ {a [c} g_ {d] b}}

где $R abcd {\ displaystyle R_ {abcd}}$ $R_ {abcd}$ - тензор Римана, $R ab {\ displaystyle R_ {ab}}$ $R_ {ab}$ - тензор Риччи, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - скаляр Риччи (скалярная кривизна) и скобки вокруг индексов относится к антисимметричной части. Эквивалентно

C abcd = R abcd - 4 S [a [c δ b] d] {\ displaystyle {C_ {ab}} ^ {cd} = {R_ {ab}} ^ {cd} -4S _ {[ a} ^ {[c} \ delta _ {b]} ^ {d]}}

{C_ {ab}} ^ {cd} = {R_ {ab}} ^ {cd} -4S _ {[a} ^ {[c} \ delta _ {b]} ^ { d]}

где S обозначает тензор Схоутена.

Свойства

Конформное изменение масштаба

Тензор Вейля обладает особым свойством, состоящим в том, что он инвариантен при конформных заменах на метрику. То есть, если $g μ ν ↦ g μ ν ′ = fg μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ mapsto g '_ {\ mu \ nu} = fg _ {\ mu \ nu}}$ $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ для некоторой положительной скалярной функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ тогда (1,3) валентный тензор Вейля удовлетворяет $C ′ bcda = C bcda {\ displaystyle {C '} _ {\ \ bcd} ^ {a} = C _ {\ \ bcd} ^ {a}}$ ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ . По этой причине тензор Вейля также называют конформным тензором . Отсюда следует, что необходимым условием для того, чтобы риманово многообразие было конформно плоским, является обращение в нуль тензора Вейля. В размерностях ≥ 4 это условие также достаточно. В размерности 3 обращение в нуль тензора Коттона является необходимым и достаточным условием для того, чтобы риманово многообразие было конформно плоским. Любое двумерное (гладкое) риманово многообразие является конформно плоским, что является следствием существования изотермических координат.

Действительно, существование конформно плоской шкалы сводится к решению переопределенного уравнения в частных производных

D df - df ⊗ df + (| df | 2 + Δ fn - 2) g = Ric. {\ displaystyle Ddf-df \ otimes df + \ left (| df | ^ {2} + {\ frac {\ Delta f} {n-2}} \ right) g = \ operatorname {Ric}.}

{\ displaystyle Ddf-df \ otimes df + \ left (| df | ^ {2} + {\ frac {\ Delta f} {n-2} } \ right) g = \ operatorname {Ric}.}

В размерность ≥ 4, обращение в нуль тензора Вейля является единственным условием интегрируемости этого уравнения; в размерности 3 это тензор Хлопка.

Симметрии

Тензор Вейля имеет те же симметрии, что и тензор Римана. Сюда входят:

C (u, v) = - C (v, u) ⟨C (u, v) w, z⟩ = - ⟨C (u, v) z, w⟩ C (u, v) вес + С (v, вес) U + С (w, u) v = 0. {\ Displaystyle {\ begin {align} C (u, v) = - C (v, u) \\\ langle C ( u, v) w, z \ rangle = - \ langle C (u, v) z, w \ rangle \\ C (u, v) w + C (v, w) u + C (w, u) v = 0. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} C (u, v) = - C (v, u) \\\ langle C (u, v) w, z \ rangle = - \ langle C (u, v) z, w \ rangle \\ C (u, v) w + C (v, w) u + C (w, u) v = 0. \ end {align}}}

Кроме того, конечно, тензор Вейля не имеет следов:

tr ⁡ C (u, ⋅) v = 0 {\ displaystyle \ operatorname {tr} C ( u, \ cdot) v = 0}

{\ displaystyle \ operatorname {tr } C (u, \ cdot) v = 0}

для всех u, v. В индексах эти четыре условия следующие:

C abcd = - C bacd = - C abdc C abcd + C acdb + C adbc = 0 C abac = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} C_ {abcd} = - C_ {bacd} = - C_ {abdc} \\ C_ {abcd} + C_ {acdb} + C_ {adbc} = 0 \\ { C ^ {a}} _ {bac} = 0. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} C_ {abcd} = - C_ {bacd} = - C_ {abdc} \\ C_ {abcd} + C_ { acdb} + C_ {adbc} = 0 \\ {C ^ {a}} _ {bac} = 0. \ end {align}}}

Тождество Бьянки

Прослеживание обычного второго тождества Бианки тензора Римана в конечном итоге показывает, что

∇ a C abcd = 2 (n - 3) ∇ [c S d] b {\ displaystyle \ nabla _ {a} {C ^ {a}} _ {bcd} = 2 (n-3) \ nabla _ {[ c} S_ {d] b}}

{\ displaystyle \ nabla _ {a} {C ^ {a}} _ {bcd} = 2 (n-3) \ nabla _ {[c} S_ {d] b}}

где S - тензор Схоутена. Тензор валентности (0,3) в правой части - это тензор Коттона, за исключением начального множителя.

См. Также

Кривизна римановых многообразий
Символы Кристоффеля обеспечивают координатное выражение для тензора Вейля.
Тензор Ланцоша
Теорема Пилинга
Классификация Петрова
Тензор Плебанского
гипотеза кривизны Вейля
скаляр Вейля

Ссылки

Хокинг, Стивен В. ; Эллис, Джордж FR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия, Graduate Texts in Mathematics, 171 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387292462, MR 2243772.
Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, ISBN 0- 387-94732-9.
Певица, ИМ ; Торп, Дж. (1969), "Кривизна 4-мерных пространств Эйнштейна", Глобальный анализ (статьи в честь К. Кодаира), Univ. Tokyo Press, стр. 355–365
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Общая теория относительности Эйнштейна, Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2 CS1 maint: ref = harv ( ссылка )