Unit сфера

редактировать

Некоторые 1-сферы.

‖ x ‖ 2 {\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \ | _ {2}}

\ | \ boldsymbol {x} \ | _2

- норма для евклидова пространства, обсуждаемая в первом разделе ниже.

In математика, единица сфера - это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где может быть принято обобщенное понятие расстояния. используемый; замкнутый блок шар - это набор точек на расстоянии, меньшем или равном 1 от фиксированной центральной точки. Обычно определенная точка выделяется как начало исследуемого пространства, и подразумевается, что единичная сфера или единичный шар центрированы в этой точке. Поэтому говорят об «единичном шаре» или «единичной сфере».

Например, одномерная сфера - это поверхность того, что обычно называют «кругом», тогда как внутренняя часть и поверхность такого круга вместе являются двухмерным шаром. Точно так же двумерная сфера - это поверхность евклидова твердого тела, известная в просторечии как «сфера», в то время как внутренняя часть и поверхность вместе представляют собой трехмерный шар.

Единичная сфера - это просто сфера с радиусом единицы. Важность единичной сферы заключается в том, что любую сферу можно преобразовать в единичную с помощью комбинации смещения и масштабирования. Таким образом, свойства сфер в целом могут быть сведены к изучению единичной сферы.

Содержание

1 Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве
- 1.1 Общие формулы площади и объема
  - 1.1.1 Рекурсия
  - 1.1.2 Дробные размеры
  - 1.1.3 Другие радиусы
2 Единичные шары в нормированных векторных пространствах
3 Обобщения
- 3.1 Метрические пространства
- 3.2 Квадратичные формы
4 См. Также
5 Примечания и ссылки
6 Внешние ссылки

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве из n измерений (n − 1) -мерная единичная сфера - это совокупность всех точек $(x 1,…, xn) { \ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_1, \ ldots, x_n)$ , которые удовлетворяют уравнению

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2 = 1. {\ displaystyle x_ { 1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}

x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.

n-мерный открытый единичный шар - это множество всех точек, удовлетворяющих неравенство

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2 < 1, {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}

x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} <1,

, а n-мерный замкнутый единичный шар - это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2 ≤ 1. {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ leq 1.}

x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cd ots + x_n ^ 2 \ le 1.

Общие формулы площади и объема

Классическое уравнение единичной сферы - это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений x -, y- или z- оси:

f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}

f (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1

Объем единичного шара в n-мерном евклидовом пространстве и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа. Объем единичного шара в n измерениях, который мы обозначаем V n, может быть выражен с помощью гамма-функции. Это

V n = π n / 2 Γ (1 + n / 2) = {π n / 2 / (n / 2)! я е п ≥ 0 я с е в е п, π ⌊ п / 2 ⌋ 2 ⌈ п / 2 ⌉ / п! ! если n ≥ 0 isodd, {\ displaystyle V_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)}} = {\ begin {cases} {\ pi ^ { n / 2}} / {(n / 2)!} \ mathrm {если ~} n \ geq 0 \ mathrm {~ ~ четное,} \\ ~ \\ {\ pi ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} 2 ^ {\ lceil n / 2 \ rceil}} / {n !!} \ mathrm {если ~} n \ geq 0 \ mathrm {~ ~ нечетное,} \ end {case}}}

V_n = \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)} = \ begin {cases} {\ pi ^ {n / 2}} / {(n / 2)! } \ mathrm {if ~} n \ ge 0 \ mathrm {~ ~ четное,} \\ ~ \\ {\ pi ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} 2 ^ {\ lceil n / 2 \ rceil} } / {n !!} \ mathrm {if ~} n \ ge 0 \ mathrm {~ ~ odd,} \ end {cases}

где н !! является двойным факториалом.

Гиперобъем (n - 1) -мерной единичной сферы (то есть «площадь» границы n-мерного единичного шара), который мы обозначим A n, может быть выражено как

A n = n V n = n π n / 2 Γ (1 + n / 2) = 2 π n / 2 Γ (n / 2), {\ displaystyle A_ {n } = nV_ {n} = {\ frac {n \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)}} = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} \,,}

A_n = n V_n = \ frac {n \ pi ^ {n / 2 }} {\ Gamma (1 + n / 2)} = \ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)} \,,

где последнее равенство выполняется только для n>0.

Площади поверхности и объемы для некоторых значений $n {\ displaystyle n}$ $n$ следующие:

$n {\ displaystyle n}$ $n$	$A n { \ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ (площадь поверхности)		$V n {\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ (объем)
0	$0 (1/0!) π 0 {\ displaystyle 0 (1/0!) \ Pi ^ {0}}$ $0 (1/0!) \ Pi ^ 0$	0	$(1/0!) Π 0 {\ displaystyle (1/0!) \ Pi ^ {0}}$ $(1/0 !) \ pi ^ 0$	1
1	$1 ( 2 1/1!!) Π 0 {\ displaystyle 1 (2 ^ {1} / 1 !!) \ pi ^ {0}}$ $1 (2 ^ 1/1 !!) \ pi ^ 0$	2	$(2 1/1!!) Π 0 {\ displaystyle (2 ^ {1} / 1 !!) \ pi ^ {0}}$ $(2 ^ 1/1 !!) \ pi ^ 0$	2
2	$2 (1/1!) Π 1 = 2 π {\ displaystyle 2 (1/1!) \ Pi ^ {1} = 2 \ pi }$ $2 (1/1!) \ pi ^ 1 = 2 \ pi$	6,283	$(1/1!) Π 1 = π {\ displaystyle (1/1!) \ Pi ^ {1} = \ pi}$ $(1/1!) \ pi ^ 1 = \ pi$	3,141
3	$3 (2 2/3 !!) π 1 = 4 π {\ displaystyle 3 (2 ^ {2} / 3 !!) \ pi ^ {1} = 4 \ pi}$ $3 (2 ^ 2/3 !!) \ pi ^ 1 = 4 \ pi$	12,57	$(2 2/3!!) π 1 = (4/3) π {\ displaystyle (2 ^ {2} / 3 !!) \ pi ^ {1} = (4/3) \ pi}$ $(2 ^ 2/3 !!) \ pi ^ 1 = (4/3) \ pi$	4,189
4	$4 (1/2!) π 2 = 2 π 2 {\ displaystyle 4 (1/2!) \ pi ^ {2} = 2 \ pi ^ {2}}$ $4 (1/2!) \ Pi ^ 2 = 2 \ pi ^ 2$	19,74	$(1/2!) π 2 = (1 / 2) π 2 {\ displaystyle (1/2!) \ Pi ^ {2} = (1/2) \ pi ^ {2}}$ $(1/2!) \ pi ^ 2 = (1/2) \ pi ^ 2$	4,935
5	$5 (2 3/5 ! !) π 2 = (8/3) π 2 {\ displaystyle 5 (2 ^ {3} / 5 !!) \ pi ^ {2} = (8/3) \ pi ^ {2}}$ $5 (2 ^ 3/5 !!) \ pi ^ 2 = (8/3) \ pi ^ 2$	26,32	$(2 3/5!!) Π 2 = (8/15) π 2 {\ displaystyle (2 ^ {3} / 5 !!) \ pi ^ {2} = (8/15) \ pi ^ { 2}}$ $(2 ^ 3/5 !!) \ pi ^ 2 = (8/15) \ pi ^ 2$	5,264
6	$6 (1/3!) Π 3 = π 3 {\ displaystyle 6 (1/3!) \ Pi ^ {3} = \ pi ^ {3}}$ $6 (1/3!) \ pi ^ 3 = \ pi ^ 3$	31,01	$(1/3!) Π 3 = (1/6) π 3 {\ displaystyle (1/3!) \ Pi ^ {3} = (1/6) \ pi ^ {3}}$ $(1/3!) \ Pi ^ 3 = (1 / 6) \ pi ^ 3$	5,168
7	$7 (2 4/7!!) Π 3 = (16/15) π 3 {\ displaystyle 7 (2 ^ {4} / 7 !!) \ pi ^ {3} = (16/15) \ pi ^ {3}}$ $7 (2 ^ 4/7 !!) \ pi ^ 3 = (16/15) \ pi ^ 3$	33,07	$(2 4/7!!) π 3 = (16/105) π 3 {\ displaystyle (2 ^ {4} / 7 !!) \ pi ^ { 3} = (16/105) \ pi ^ {3}}$ $(2 ^ 4/7 !!) \ pi ^ 3 = (16/105) \ pi ^ 3$	4,725
8	$8 (1/4!) Π 4 = (1/3) π 4 {\ displaystyle 8 (1/4!) \ пи ^ {4} = (1/3) \ pi ^ {4}}$ $8 (1/4!) \ pi ^ 4 = (1/3) \ pi ^ 4$	32,47	$(1/4!) π 4 = (1/24) π 4 {\ displaystyle (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/24) \ pi ^ {4}}$ $(1/4!) \ pi ^ 4 = (1 / 24) \ pi ^ 4$	4,059
9	$9 (2 5/9!!) π 4 = (32/105) π 4 {\ displaystyle 9 ( 2 ^ {5} / 9 !!) \ pi ^ {4} = (32/105) \ pi ^ {4}}$ $9 (2 ^ 5/9 !!) \ пи ^ 4 = (32/105) \ pi ^ 4$	29,69	$(2 5/9!!) Π 4 = (32 / 945) π 4 {\ displaystyle (2 ^ {5} / 9 !!) \ pi ^ {4} = (32/945) \ pi ^ {4}}$ $(2 ^ 5/9 !!) \ pi ^ 4 = (32/945) \ pi ^ 4$	3,299
10	$10 (1/5!) π 5 = (1/12) π 5 {\ displaystyle 10 (1/5!) \ pi ^ {5} = (1/12) \ pi ^ {5}}$ $10 (1/5!) \ Pi ^ 5 = (1/12) \ pi ^ 5$	25,50	$(1 / 5!) Π 5 = (1/120) π 5 {\ displaystyle (1/5!) \ Pi ^ {5} = (1/120) \ pi ^ {5}}$ $(1/5!) \ pi ^ 5 = (1/120) \ pi ^ 5$	2,550

где десятичные развернутые значения для n ≥ 2 округляются до отображаемой точности.

Рекурсия

Значения A n удовлетворяют рекурсии:

A 0 = 0 {\ displaystyle A_ {0} = 0}

A_0 Знак равно 0

A 1 = 2 {\ displaystyle A_ {1} = 2}

A_1 = 2

A 2 = 2 π {\ displaystyle A_ {2} = 2 \ pi}

A_2 = 2 \ pi

A n = 2 π n - 2 A n - 2 {\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {2 \ pi} {n-2}} A_ {n-2}}

A_n = \ frac {2 \ pi} {n-2} A_ {n-2}

для

n>2 {\ displaystyle n>2}

n>2

V n значения удовлетворяют рекурсии:

V 0 = 1 {\ displaystyle V_ {0} = 1}

V_0 = 1

V 1 = 2 {\ displaystyle V_ {1} = 2}

V_1 = 2

V n Знак равно 2 π N V N - 2 {\ displaystyle V_ {n} = {\ frac {2 \ pi} {n}} V_ {n-2}}

V_ {n } = {\ frac {2 \ pi} {n}} V_ {n-2}

для

n>1 {\ displaystyle n>1}

n>1

Дробные размеры

Формулы для A n и V n могут быть вычислены для любого действительного числа n ≥ 0, и e - обстоятельства, при которых уместно искать площадь сферы или объем шара, когда n не является неотрицательным целым числом.

Показывает гиперобъем (x – 1) -мерной сферы (т.е. «площадь» поверхности x-мерного единичного шара) как непрерывную функцию от x.

Показывает объем шар в размерах x как непрерывная функция от x.

Другие радиусы

Площадь поверхности (n – 1) -мерной сферы с радиусом r равна A n r и объем n-мерного шара радиуса r равен V n r. Например, для поверхности трехмерного шара радиуса r площадь равна A = 4π r. Объем V = 4π r / 3 для трехмерного шара радиуса r.

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Точнее, открытый единичный шар в нормированном векторном пространстве $V {\ displaystyle V }$ $V$ с нормой $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ , это

{x ∈ V: ‖ x ‖ < 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}

{\ displaystyle \ {x \ in V: \ | x \ | <1 \}}

Это внутренность замкнутого единичного шара из (V, || · ||):

{x ∈ V: ‖ x ‖ ≤ 1 } {\ displaystyle \ {x \ in V: \ | x \ | \ leq 1 \}}

{\ displaystyle \ {x \ in V : \ | х \ | \ leq 1 \}}

Последний представляет собой несвязное объединение первого и их общей границы, единичной сферы из ( V, || · ||):

{x ∈ V: ‖ x ‖ = 1} {\ displaystyle \ {x \ in V: \ | x \ | = 1 \}}

{\ displaystyle \ {x \ in V: \ | x \ | = 1 \}}

«Форма» единицы шара полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как [−1,1] в случае максимальной нормы в R. Каждый получает естественно круглый шар как единичный шар, относящийся к обычному гильбертову норма пространства, основанная в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница - это то, что обычно понимается под единичной сферой.

Пусть $x = (x 1,... x n) ∈ R n. {\ displaystyle x = (x_ {1},... x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1},... x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}. }$ Определите обычный $ℓ p {\ displaystyle \ ell _ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {p}}$ -норма для p ≥ 1 как:

‖ x ‖ p = (∑ k = 1 n | xk | p) 1 / p {\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p}) ^ {1 / p}}

{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p}) ^ {1 / p}}

Тогда $‖ x ‖ 2 {\ displaystyle \ | x \ | _ {2}}$ $\ | x \ | _ {2}$ - это обычная норма гильбертова пространства. $‖ Икс ‖ 1 {\ displaystyle \ | x \ | _ {1}}$ ${\ displaystyle \ | x \ | _ {1}}$ называется нормой Хэмминга, или $ℓ 1 {\ displaystyle \ ell _ {1}}$ $\ ell _ {1}$ -норм. Условие p ≥ 1 необходимо в определении нормы $ℓ p {\ displaystyle \ ell _ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {p}}$ , поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым как следствие неравенства треугольника. Пусть $‖ x ‖ ∞ {\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}}$ обозначает максимальную норму или $ℓ ∞ {\ displaystyle \ ell _ {\ infty}}$ $\ ell_ \ infty$ -норма x.

Обратите внимание, что для окружностей $C p {\ displaystyle C_ {p}}$ $C_ {p}$ двумерных единичных шаров (n = 2) мы имеем:

C 1 = 4 2 {\ displaystyle C_ {1} = 4 {\ sqrt {2}}}

C_ {1} = 4 \ sqrt {2}

- минимальное значение.

C 2 = 2 π. {\ displaystyle C_ {2} = 2 \ pi \,.}

C_ {2} = 2 \ pi \,.

C ∞ = 8 {\ displaystyle C _ {\ infty} = 8}

{\ displaystyle C _ {\ infty} = 8}

- максимальное значение.

Обобщения

Метрические пространства

Все три из вышеперечисленных определений могут быть напрямую обобщены на метрическое пространство по отношению к выбранному началу координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и закрытыми множествами), а единичная сфера может даже быть пусто в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы

Если V - линейное пространство с вещественной квадратичной формой F: V → R, то {p ∈ V: F (p) = 1} может называться единичной сферой или единичной квазисферой буквы V. Например, квадратичная форма $x 2 - y 2 {\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ $x ^ 2 - y ^ 2$ , когда он установлен равным единице, создает единичную гиперболу, которая играет роль «единичной окружности» в плоскости разделенных комплексных чисел. Точно так же квадратичная форма x дает пару линий для единичной сферы в плоскости двойных чисел.

См. Также

Примечания и ссылки

Mahlon M. Day (1958) Нормированные линейные пространства, стр. 24, Springer-Verlag.
Deza, E.; Деза, М. (2006), Словарь расстояний, Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Рецензия на Информационный бюллетень Европейского математического общества 64 (июнь 2007 г.), стр. 57. Эта книга организована в виде списка расстояний многих типов, каждое с кратким описанием.

Внешние ссылки

Найдите единичная сфера в Викисловаре, бесплатном словарь.

Вайсштейн, Эрик В. «Единичная сфера». MathWorld.