Войти
Структурализм - это теория в философии математики, которая утверждает, что математические теории описывают структуры математических объектов. Математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах. Следовательно, структурализм утверждает, что математические объекты не обладают какими-либо внутренними свойствами, а определяются своими внешними отношениями в системе. Например, структурализм утверждает, что число 1 исчерпывающе определяется тем, что оно является преемником 0 в структуре теории натуральных чисел. Обобщая этот пример, любое натуральное число определяется его соответствующим местом в этой структуре числовой строки. Другие примеры математических объектов могут включать в себя линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре.
Структурализм - это эпистемологически реалистичный взгляд на то, что он утверждает, что математические утверждения имеют объективную ценность истинности. Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой сущностью является математический объект, а не к тому, какое существование имеют математические объекты или структуры (иными словами, не к их онтологии ). Вид существования математических объектов, очевидно, будет зависеть от структур, в которые они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают разные онтологические утверждения в этом отношении.
Структурализм в философии математики особенно ассоциируется с Полом Бенасеррафом, Джеффри Хеллманом, Майклом Резником, Стюартом Шапиро и Джеймсом Франклином.
Историческая мотивация развития структурализма проистекает из фундаментальной проблемы онтологии. Со времен средневековья философы спорят о том, содержит ли онтология математики абстрактные объекты. В философии математики абстрактный объект традиционно определяется как сущность, которая: (1) существует независимо от разума; (2) существует независимо от эмпирического мира; и (3) обладает вечными неизменными свойствами. Традиционный математический платонизм утверждает, что некоторый набор математических элементов - натуральные числа, действительные числа, функции, отношения, системы - являются такими абстрактными объектами. Напротив, математический номинализм отрицает существование любых таких абстрактных объектов в онтологии математики.
В конце 19 - начале 20 века популярность приобрел ряд антиплатонических программ. К ним относятся интуиционизм, формализм и предикативизм. Однако к середине 20 века эти антиплатонистские теории имели ряд собственных проблем. Впоследствии это привело к возрождению интереса к платонизму. Именно в этом историческом контексте развивались мотивы структурализма. В 1965 году Пол Бенасерраф опубликовал статью, меняющую парадигму, под названием «Какими не могут быть числа». На основании двух основных аргументов Бенацерраф пришел к выводу, что теоретико-множественный платонизм не может быть успешным как философская теория математики.
Во-первых, Бенасерраф утверждал, что платоновские подходы не проходят онтологической проверки. Он разработал аргумент против онтологии теоретико-множественного платонизма, который теперь исторически называют проблемой идентификации Бенацеррафа. Бенасерраф отметил, что существуют элементарно эквивалентные теоретико-множественные способы соотнесения натуральных чисел с чистыми множествами. Однако, если кто-то спросит «истинные» утверждения тождества для связи натуральных чисел с чистыми множествами, тогда различные теоретико-множественные методы приведут к противоречивым утверждениям тождества, когда эти элементарно эквивалентные множества связаны друг с другом. Это порождает теоретико-множественную ложь. Следовательно, Бенацерраф пришел к выводу, что эта теоретико-множественная ложь демонстрирует невозможность существования какого-либо платоновского метода сведения чисел к множествам, раскрывающего какие-либо абстрактные объекты.
Во-вторых, Бенацерраф утверждал, что платоновские подходы не проходят эпистемологической проверки. Бенасерраф утверждал, что не существует эмпирического или рационального метода доступа к абстрактным объектам. Если математические объекты не являются пространственными или временными, то Бенасерраф делает вывод, что такие объекты недоступны через причинную теорию познания. Таким образом, перед платоником возникает фундаментальная эпистемологическая проблема: предложить правдоподобное объяснение того, как математик с ограниченным, эмпирическим умом способен точно получить доступ к независимым от разума, независимым от мира, вечным истинам. Именно исходя из этих соображений, онтологического аргумента и эпистемологического аргумента, антиплатоническая критика Бенацеррафа мотивировала развитие структурализма в философии математики.
Стюарт Шапиро делит структурализм на три основные школы мысли. Эти школы называются ante rem, in re и post rem.
Анте бэр структурализм ( «до вещей»), или абстрактного структурализма или абстракционизма (особенно связанный с Майклом Резником, Стюарт Шапиро, Эдвард Н. Залта и Иштеином Линнево ) имеет аналогичную онтологию платонизм (см также модальный нео-логицизм ). Считается, что структуры имеют реальное, но абстрактное и нематериальное существование. Как таковая, она сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой, как отмечает Бенасерраф, объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови.
В ре структурализм ( «в вещи»), или модальный структурализме ( в частности, связанный с Джеффри Hellman ), является эквивалентом аристотелевского реализма (реализма в значении истины, но антиреализм об абстрактных объектах в онтологии). Считается, что структуры существуют постольку, поскольку их иллюстрирует некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может быть недостаточно «большим», чтобы приспособиться к некоторым в остальном легитимным структурам. Аристотелевский реализм Джеймса Франклина также является реструктуризмом, утверждая, что структурные свойства, такие как симметрия, воплощены в физическом мире и воспринимаются. В ответ на проблему необоснованных структур, которые слишком велики, чтобы вписаться в физический мир, Франклин отвечает, что другие науки также могут иметь дело с необоснованными универсалиями; например, наука о цвете может иметь дело с оттенком синего, который не встречается ни на одном реальном объекте.
После рем структурализм ( «после того, как вещи»), или выделительного структурализма ( в частности, связанная с Полом Бенасеррафом ), является анти-реалист о структурах таким образом, что параллели номинализма. Подобно номинализму, подход post rem отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно для структуры, это будет верно для всех систем, иллюстрирующих эту структуру. Тем не менее, говорить о структурах, «общих» между системами, - это просто инструмент: они фактически не имеют независимого существования.
