Блуждающее множество

редактировать

В тех разделах математики, которые называются динамическими системами и эргодической теорией, понятие «блуждающего множества» формализует определенное представление о движении и перемешивании в таких системах. Когда динамическая система имеет блуждающий набор ненулевой меры, тогда система является диссипативной системой. Это полная противоположность консервативной системы, для которой применимы идеи теоремы Пуанкаре о возвращении. Интуитивно связь между блуждающими множествами и диссипацией легко понять: если часть фазового пространства «блуждает» во время нормальной временной эволюции системы и никогда не посещается снова, то система диссипативна.. На языке блуждающих множеств можно дать точное математическое определение концепции диссипативной системы. Понятие блуждающих множеств в фазовом пространстве было введено Биркгофом в 1927 году.

Содержание

1 Блуждающие точки
2 Неблуждающие точки
3 Блуждающие множества и диссипативные системы
4 См. Также
5 Ссылки

Точки блуждания

Обычное определение блуждающих множеств в дискретном времени начинается с карты $f: X → X {\ displaystyle f: X \ to X}$ $f: X \ to X$ топологического пространства X. Точка $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ называется точкой блуждания, если существует окрестность U точки x и положительное целое число N такое, что для всех $n>N {\ displaystyle n>N}$ $n>N$ , итеративная карта не пересекается:

fn (U) ∩ U = ∅. {\ displaystyle f ^ {n} (U) \ cap U = \ varnothing.}

{\ displaystyle f ^ {n} ( U) \ cap U = \ varnothing.}

Более удобное определение требует только, чтобы пересечение имело нулевую меру. Чтобы быть точным, определение требует, чтобы X был измерить пространство, то есть часть тройки $(X, Σ, μ) {\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ $(X, \ Sigma, \ mu)$ из наборов Бореля $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ и мера $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ такая, что

μ (fn (U) ∩ U) = 0, {\ displaystyle \ mu \ left (f ^ {n} (U) \ cap U \ right) = 0,}

{\ displaystyle \ mu \ left (f ^ {n} (U) \ cap U \ right) = 0,}

для всех $n>N {\ displaystyle n>N}$ $n>N$ . Точно так же система с непрерывным временем будет иметь карту $φ t: X → X {\ displaystyle \ varphi _ {t}: X \ to X}$ $\ varphi _ {t}: X \ to X$ , определяющую эволюцию во времени или поток системы, где оператор временной эволюции $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ является однопараметрическим непрерывным абелевой группой действием на X:

φ t + s = φ t ∘ φ s. {\ displaystyle \ varphi _ {t + s} = \ varphi _ {t} \ circ \ varphi _ {s}.}

{\ displaystyle \ varphi _ {t + s} = \ varphi _ {t} \ circ \ varphi _ {s}.}

В этом случае точка блуждания $x ∈ X {\ displaystyle x \ в X}$ $x \ in X$ будет иметь такую окрестность U точки x и время T, что для всех времен $t>T {\ displaystyle t>T}$ $t>T$ , временная карта имеет нулевую меру:

μ (φ T (U) ∩ U) знак равно 0. {\ displaystyle \ mu \ left (\ varphi _ {t} (U) \ cap U \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ varphi _ {t} (U) \ cap U \ right) = 0.}

Эти более простые определения могут быть полностью обобщены к групповому действию топологической группы . Пусть $Ω = (X, Σ, μ) {\ displaystyle \ Omega = (X, \ Sigma, \ mu)}$ $\ Omega = (X, \ Sigma, \ mu)$ - пространство меры, то есть множество с мерой, определенной на его борелевских подмножествах. Пусть $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ быть группой, действующей на этом множестве. Для данной точки $x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}$ $x \ in \ Omega$ множество

{γ ⋅ x: γ ∈ Γ} {\ displaystyle \ {\ gamma \ cdot x: \ gamma \ in \ Gamma \}}

\ {\ gamma \ cdot x: \ gamma \ in \ Gamma \ }

называется траекторией или орбитой точки x.

Элемент $x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}$ $x \ in \ Omega$ называется точкой блуждания, если существует окрестность U точки x и окрестность V идентичности в $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ такая, что

μ (γ ⋅ U ∩ U) = 0 {\ displaystyle \ mu \ left (\ gamma \ cdot U \ cap U \ right) = 0}

\ mu \ left (\ gamma \ cdot U \ cap U \ right) = 0

для всех $γ ∈ Γ - V {\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma -V}$ $\ gamma \ in \ Gamma -V$ .

неблуждающих точек

A неблуждающих точек все наоборот. В дискретном случае $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ является неблуждающим, если для каждого открытого множества U, содержащего x, и каждого N>0 существует некоторое n>N такое, что

μ (fn (U) ∩ U)>0. {\ displaystyle \ mu \ left (f ^ {n} (U) \ cap U \ right)>0.}

\mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.

Подобные определения используются для непрерывных и дискретных и непрерывных групповых действий.

Блуждающие множества и диссипативные системы

Блуждающее множество - это совокупность блуждающих точек. Точнее, подмножество W из $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ является блуждающим установить под действием дискретной группы $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ , если W измеримо и если для любого $γ ∈ Γ - {e} {\ displaystyle \ гамма \ in \ Gamma - \ {e \}}$ $\ gamma \ in \ Gamma - \ {e \}$ пересечение

γ W ∩ W {\ displaystyle \ gamma W \ cap W}

{\ displaystyle \ gamma W \ cap W}

- это набор нулевой меры.

Концепция блуждающего множества в некотором смысле двойственна идеям, выраженным в теореме Пуанкаре о возвращении. Если существует блуждающее множество положительной меры, то действие $Γ {\ displaystyle \ Ga mma}$ $\ Gamma$ называется диссипативной, а динамическая система $(Ω, Γ) {\ displaystyle (\ Omega, \ Gamma)}$ $(\ Omega, \ Gamma)$ называется диссипативной системой . Если такого набора блужданий нет, действие называется консервативным, и система является консервативной системой. Например, любая система, для которой выполняется теорема Пуанкаре о возвращении, не может по определению иметь блуждающее множество положительной меры; и, таким образом, является примером консервативной системы.

Определим траекторию блуждающего множества W как

W ∗ ​​= ⋃ γ ∈ Γ γ W. {\ displaystyle W ^ {*} = \ bigcup _ {\ gamma \ in \ Gamma} \; \; \ gamma W.}

{\ displaystyle W ^ {*} = \ bigcup _ {\ gamma \ in \ Gamma} \; \; \ gamma W.}

Действие $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ называется полностью диссипативным, если существует блуждающее множество W положительной меры, такое, что орбита $W ∗ {\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ равна почти везде равно $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , то есть если

Ω - W ∗ {\ displaystyle \ Omega -W ^ {*}}

{\ displaystyle \ Omega -W ^ {*}}

- это набор нулевой меры.

Разложение Хопфа утверждает, что каждое пространство измерений с несингулярным преобразованием может быть разложено на инвариантное консервативное множество и инвариантное блуждающее задавать.

См. Также

Теорема об отсутствии блуждающей области

Ссылки

Николлс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37674-2.
Александр И. Даниленко и Сезар Э. Сильва (8 апреля 2009 г.). Эргодическая теория: неособые преобразования ; См. Arxiv arXiv: 0803.2424.
Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы, Исследования Де Грюйтера по математике, 6, де Грюйтер, ISBN 3- 11-008478-3