Консервативная система

редактировать

В математике консервативная система - это динамическая система, который отличается от диссипативной системы. Грубо говоря, такие системы не имеют трения или другого механизма для рассеивания динамики, и, таким образом, их фазовое пространство не сокращается со временем. Точнее говоря, это те динамические системы, которые имеют нулевое блуждающее множество : при временной эволюции ни одна часть фазового пространства никогда не «блуждает», чтобы никогда не возвращаться или повторно посещаться. С другой стороны, консервативные системы - это те, к которым применима теорема Пуанкаре о возвращении. Важным частным случаем консервативных систем являются сохраняющие меру динамические системы.

Содержание

1 Неформальное введение
2 Формальное определение
3 Свойства
- 3.1 Разложение Хопфа
- 3.2 Эргодическое разложение
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Неформальное введение

Неформально динамические системы описывают временную эволюцию фазового пространства некоторой механической системы. Обычно такая эволюция задается некоторыми дифференциальными уравнениями или довольно часто дискретными шагами по времени. Однако в данном случае вместо того, чтобы сосредоточиться на временной эволюции дискретных точек, мы обращаем внимание на временную эволюцию совокупностей точек. Одним из таких примеров могут быть кольца Сатурна : вместо того, чтобы отслеживать эволюцию во времени отдельных песчинок в кольцах, вместо этого интересуется эволюция во времени плотности колец: как плотность уменьшается, распространяется или становится концентрированным. В коротких временных масштабах (сотни тысяч лет) кольца Сатурна стабильны и, таким образом, являются разумным примером консервативной системы, а точнее, динамической системы, сохраняющей меру. Он сохраняет меру, поскольку количество частиц в кольцах не изменяется, и, согласно ньютоновской орбитальной механике, фазовое пространство несжимаемо: его можно растягивать или сжимать, но не сжимать (это содержание Теорема Лиувилля ).

Формально понятие плотности улавливается понятием меры. Чтобы правильно определить меру, нужна сигма-алгебра. Сигма-алгебры являются частным случаем топологии и, таким образом, позволяют определять такие понятия, как непрерывные и дифференцируемые функции. Это основные составляющие динамической системы: фазовое пространство, топология (сигма-алгебра) на этом пространстве, мера и обратимая функция, обеспечивающая эволюцию во времени. Консервативные системы - это те системы, которые не сжимают свое фазовое пространство со временем.

Формальное определение

Формально динамическая система консервативна тогда и только тогда, когда она неособая и не имеет блуждающих множеств.

A динамическая система (X, Σ, μ, τ) - это борелевское пространство (X, Σ), снабженное сигма-конечной мерой μ и преобразованием τ. Здесь X - это множество, а Σ - это сигма-алгебра на X, так что пара (X, Σ) является измеримым пространством. μ - это конечная мера на сигма-алгебре, так что тройка (X, Σ, μ) является вероятностным пространством. Неформально пространство X следует понимать как фазовое пространство динамической системы.

Преобразование (отображение) τ: X → X называется Σ-измеримым тогда и только тогда, когда для каждого σ ∈ Σ выполняется $τ - 1 σ ∈ Σ {\ Displaystyle \ тау ^ {- 1} \ сигма \ в \ Sigma}$ $\ tau ^ {- 1} \ sigma \ in \ Sigma$ . Неформально преобразование следует рассматривать как единый «временной шаг» в эволюции динамической системы. Один интересуется обратимыми преобразованиями, чтобы можно было сказать, что текущее состояние динамической системы является результатом ее прошлой эволюции, т.е. что текущее состояние системы «откуда-то пришло».

Измеримое преобразование τ: X → X называется невырожденным, когда $μ (τ - 1 σ) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1 } \ sigma) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1} \ sigma) = 0}$ тогда и только тогда, когда $μ (σ) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ . В этом случае система (X, Σ, μ, τ) называется неособой динамической системой . Неформально, неособые динамические системы, подходящие для моделирования неравновесных систем. То есть, если определенная конфигурация системы невозможна (т. Е. Что $μ (σ) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ ), то она остается невозможной (всегда была невозможно: $μ (τ - 1 σ) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1} \ sigma) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1} \ sigma) = 0}$ ), но в противном случае система может развиваться произвольно. Говорят, что неособые системы сохраняют пренебрежимо малые множества, но не обязаны сохранять другие множества. Значение слова единственное число здесь такое же, как и в определении единственной меры в том, что никакая часть $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ не является единственной по отношению к $μ ∘ τ - 1 {\ displaystyle \ mu \ circ \ tau ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ mu \ circ \ tau ^ {- 1}}$ .

Неособая динамическая система, для которой также $μ (τ - 1 σ) = μ ( σ) {\ displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1} \ sigma) = \ mu (\ sigma)}$ ${\ displaystyle \ mu (\ tau ^ {- 1} \ sigma) = \ mu (\ sigma)}$ называется инвариантом или, чаще, a сохраняющая меру динамическая система.

Неособая динамическая система консервативна, если для каждого набора $σ ∈ Σ {\ displaystyle \ sigma \ in \ Sigma}$ $\ sigma \ in \ Sigma$ положительной меры, то есть с $μ (σ)>0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma)>0}$ $\mu (\sigma)>0$ , у одного есть целое число $n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ такой, что $μ (σ ∩ τ - n σ)>0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma \ cap \ tau ^ {- n} \ sigma)>0 }$ $\mu (\sigma \cap \tau ^{-n}\sigma)>0$ . Неформально это можно интерпретировать как утверждение, что текущее состояние системы пересматривается или сколь угодно близко к предыдущему состоянию; см. Повторение Пуанкаре.

Несингулярное преобразование τ: X → X несжимаемо, если, когда бы ни было $τ - 1 σ ⊂ σ {\ displaystyle \ tau ^ {- 1} \ sigma \ subset \ sigma}$ ${\ displaystyle \ tau ^ {- 1} \ sigma \ subset \ sigma}$ , тогда $μ (σ ∖ τ - 1 σ) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma \ smallsetminus \ tau ^ {- 1} \ sigma) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ sigma \ smallsetminus \ tau ^ {- 1} \ sigma) = 0}$ .

Свойства

Для неособого преобразования τ: X → X следующие утверждения эквивалентны:

τ консервативно.
τ несжимаемо.
Каждое блуждающее множество для τ равно нулю.
Для всех множеств σ положительной меры $μ (σ ∖ ⋃ n = 1 ∞ τ - n σ) = 0 {\ displaystyle \ mu \ left (\ sigma \ smallsetminus \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ tau ^ {- n} \ sigma \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ left (\ sigma \ smallsetminus \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty } \ tau ^ {- n} \ sigma \ right) = 0}$ .

Из приведенного выше следует, что все сохраняющие меру динамические системы консервативны. По сути, это современная формулировка теоремы Пуанкаре о возвращении. Набросок доказательства эквивалентности этих четырех приведен в разложении Хопфа # Теорема о повторяемости.

разложение Хопфа

разложение Хопфа утверждает, что каждое пространство с мерой с не -особое преобразование можно разложить на инвариантное консервативное множество и блуждающее (диссипативное) множество. Обычным неформальным примером разложения Хопфа является смешивание двух жидкостей (в некоторых учебниках упоминается ром и кокс): начальное состояние, когда две жидкости еще не смешаны, никогда не может повториться снова после смешивания; это часть диссипативного множества. Аналогично любому из частично смешанных состояний. Результат после смешивания (cuba libre в каноническом примере) является стабильным и образует консервативный набор; дальнейшее перемешивание не меняет его. В этом примере консервативный набор также эргодичен: если добавить еще одну каплю жидкости (скажем, лимонного сока), она не останется в одном месте, а будет смешиваться повсюду. Одно предостережение относительно этого примера: хотя системы смешивания эргодичны, эргодические системы не не в обычных системах смешивания! Смешение подразумевает взаимодействие, которого может не быть. Каноническим примером эргодической системы, которая не смешивается, является процесс Бернулли : это множество всех возможных бесконечных последовательностей подбрасываний монеты (эквивалентно, множество ${0, 1} N {\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {N}}}$ из бесконечных строк нулей и единиц); каждый отдельный подбрасывание монеты не зависит от других.

Эргодическая декомпозиция

В общем, каждая консервативная система может быть разбита на компоненты, каждый из которых индивидуально эргодичен. Неформальным примером этого может быть ванна с перегородкой посередине, в которой жидкость заполняет каждое отделение. Жидкость с одной стороны может смешиваться сама с собой, как и другая, но из-за перегородки обе стороны не могут взаимодействовать. Ясно, что это можно рассматривать как две независимые системы; утечкой между двумя сторонами нулевой меры можно пренебречь. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что все консервативные системы можно разбить на такие независимые части, и что это расщепление уникально (с точностью до разностей нулевой меры). Таким образом, по традиции изучение консервативных систем превращается в изучение их эргодических компонентов.

Формально каждая эргодическая система консервативна. Напомним, что инвариантное множество σ ∈ Σ - это такое, для которого τ (σ) = σ. Для эргодической системы единственными инвариантными множествами являются множества с нулевой мерой или с полной мерой (null или conull ); что они консервативны, то отсюда тривиально следует.

Когда τ является эргодическим, следующие утверждения эквивалентны:

τ консервативен и эргодичен
Для всех измеримых множеств σ, $μ (X ∖ ⋃ n = 1 ∞ τ - n σ) знак равно 0 {\ displaystyle \ mu \ left (X \ smallsetminus \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ tau ^ {- n} \ sigma \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ left (X \ smallsetminus \ bigcup _ {n = 1} ^ { \ infty} \ tau ^ {- n} \ sigma \ right) = 0}$ ; то есть σ «выметает» все X.
Для всех множеств σ положительной меры и для почти каждого $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ существует положительное целое число n такое, что $τ nx ∈ σ {\ displaystyle \ tau ^ {n} x \ in \ sigma}$ ${\ displaystyle \ tau ^ {n} x \ in \ sigma}$ .
Для всех наборов $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ и $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ положительной меры, существует положительное целое число n такое, что $μ (τ - n ρ ∩ σ)>0 {\ displaystyle \ mu \ left (\ tau ^ {- n} \ rho \ cap \ sigma \ right)>0}$ $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$
Если $τ - 1 σ ⊂ σ {\ displaystyle \ tau ^ {-1} \ sigma \ subset \ sigma}$ ${\ displaystyle \ tau ^ {- 1} \ sigma \ subset \ sigma}$ , тогда либо $μ (σ) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ sigma) = 0}$ , либо дополнение имеет нулевую меру: $μ (σ c) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ sigma ^ {c}) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ sigma ^ {c}) = 0}$ .

См. также

состояние KMS, описание термодинамического равновесия в квантовая механика стебли; двойственные модулярным теориям для алгебр фон Неймана.

Примечания

^ Даниленко, Александр И., Сильва, Сезар Э. (2009), раздел 2.2
^Даниленко, Александр И., Сильва, Сезар Э. (2009), стр. 1.
^Кренгель 1985, стр. 16–17
^Сариг, раздел 1.14

Ссылки

Николлс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37674-2.
Даниленко, Александр I.; Сильва, Сезар Э. (2009). «Эргодическая теория: неособые преобразования». Энциклопедия сложности и системологии. Springer. arXiv : 0803.2424. doi : 10.1007 / 978-0-387-30440-3_183.
Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы, Исследования Де Грюйтера по математике, 6, de Грюйтер, ISBN 3-11-008478-3
Smooth Ergodic Theory, Эйм Уилкинсон, Чикагский университет. (См. Arxiv 0804.0167 для предварительной печати.)
Лекционные заметки по эргодической теории. Омри Сариг, 8 марта 2020 г., Институт Вейцмана