Максимальный идеал

редактировать

В математике, точнее в теории колец, максимальный идеал - это идеал, который является максимальным (относительно включения множества ) среди всех собственных идеалов. Другими словами, I - максимальный идеал кольца R, если между I и R нет других идеалов.

Максимальные идеалы имеют важное значение, так как факторгруппы колец максимальными идеалами являются простыми кольцами, а в частном случае унитальных коммутативных колец они также поля.

В некоммутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в ч.у.м. собственных правых идеалов, и аналогично максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент ч.у.м. собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал не обязательно двусторонний, фактор R / не обязательно является кольцо, но это простой модуль над R. Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R называется локальным кольцом, а максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца и фактически является радикалом Джекобсона J ( R).

Кольцо может иметь уникальный максимальный двусторонний идеал и при этом не иметь уникальных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце квадратных матриц 2 на 2 над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом., но есть много максимальных правых идеалов.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Примеры
3 свойства
4 Обобщение
5 ссылки

Определение

Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Учитывая кольцо R и собственный идеал I в R (то есть я ≠ R), I является максимальным идеалом R, если любой из следующих эквивалентных условий:

Там не существует никакой другой собственный идеал J из R, так что I ⊊ J.
Для любого идеала J с I ⊆ J, либо J = I или J = R.
Фактор-кольцо R / I - простое кольцо.

Есть аналогичный список для односторонних идеалов, для которых будут приведены только правые версии. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом кольца R:

Там не существует никакого другого надлежащего правоидеальный B в R, так что ⊊ B.
Для любого правого идеала B с A ⊆ B, либо B = A или B = R.
Фактормодуль R / A является простым правым R -модулем.

Максимальные правые / левые / двусторонние идеалы являются двойным понятием, что и минимальных идеалов.

Примеры

Если F - поле, то единственный максимальный идеал - это {0}.
В кольце Z целых чисел максимальные идеалы - это главные идеалы, порожденные простым числом.
В более общем смысле, все ненулевые простые идеалы максимальны в области главных идеалов.
Идеал - это максимальный идеал в кольце. Как правило, максимальные идеалы имеют вид где - простое число, а - многочлен от неприводимого по модулю. ${\ Displaystyle (2, х)}$ ${\ Displaystyle (2, х)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle (п, е (х))}$ ${\ Displaystyle (п, е (х))}$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ ${\ displaystyle p}$ $п$
Каждый первичный идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, т. Е. Кольцом, состоящим только из идемпотентных элементов. Фактически, каждый простой идеал максимален в коммутативном кольце всякий раз, когда существует такое целое число, что для любого. ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle ngt; 1}$ ${\ displaystyle ngt; 1}$ ${\ Displaystyle х ^ {п} = х}$ ${\ Displaystyle х ^ {п} = х}$ ${\ displaystyle x \ in R}$ ${\ displaystyle x \ in R}$
Максимальные идеалы кольца многочленов являются главными идеалами, порожденными для некоторых. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х]}$ ${\ displaystyle xc}$ ${\ displaystyle xc}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$ $с \ in {\ mathbb {C}}$
В более общем смысле, максимальные идеалы кольца многочленов K [ x 1,..., x n ] над алгебраически замкнутым полем K - это идеалы вида ( x 1 - a 1,..., x n - a n). Этот результат известен как слабый Nullstellensatz.

Характеристики

Важный идеал кольца, называемый радикалом Джекобсона, можно определить с помощью максимальных правых (или максимальных левых) идеалов.
Если R - коммутативное кольцо с единицей с идеалом m, то k = R / m - поле тогда и только тогда, когда m - максимальный идеал. В этом случае R / m называется полем вычетов. Этот факт может потерпеть неудачу в неунитарных кольцах. Например, это максимальный идеал в, но не поле. ${\ Displaystyle 4 \ mathbb {Z}}$ $4 {\ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$ $2 {\ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ $2 {\ mathbb {Z}} / 4 {\ mathbb {Z}}$
Если L - максимальный левый идеал, то R / L - простой левый R -модуль. В кольцах с единицей, наоборот, возникает любой простой левый R -модуль. Между прочим это показывает, что коллекция представителей простого левого R -модулями на самом деле множество, так как он может быть поставлен в соответствие с частью множества максимальных левых идеалов R.
Теорема Крулля (1929): Каждое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал. Результат также верен, если "идеальный" заменить на "правый идеал" или "левый идеал". В более общем смысле верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Предположим, что I - идеал, не являющийся R (соответственно, A - правый идеал, не являющийся R). Тогда R / I - кольцо с единицей (соответственно, R / A - конечно порожденный модуль), и поэтому приведенные выше теоремы можно применить к фактору, чтобы заключить, что существует максимальный идеал (соответственно максимальный правый идеал)кольца R содержащий I (соответственно A).
Теорема Крулля может быть неверной для колец без единицы. Радикальное кольцо, то есть кольцо, в котором Jacobson радикал представляет собой полное кольцо, не имеет простых модулей и, следовательно, не имеет максимальное права или левые идеалов. Смотрите обычные идеалы, чтобы узнать о возможных способах обойти эту проблему.
В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является первичным идеалом. Обратное не всегда верно: например, в любой неполевой области целостности нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы максимальны, известны как нульмерные кольца, где в качестве размерности используется размерность Крулля.
Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть простым в коммутативном смысле. Например, пусть будет кольцо всех матриц над. Это кольцо имеет максимальный идеал для любого простого числа, но это не первичный идеал, поскольку (в данном случае) и не входят в, но. Однако максимальные идеалы некоммутативных колец являются главными в обобщенном смысле ниже. ${\ Displaystyle М_ {п \ раз п} (\ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle М_ {п \ раз п} (\ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle М_ {п \ раз п} (п \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle М_ {п \ раз п} (п \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle n = 2}$ $п = 2$ ${\ displaystyle A = {\ text {diag}} (1, p)}$ ${\ displaystyle A = {\ text {diag}} (1, p)}$ ${\ displaystyle B = {\ text {diag}} (p, 1)}$ ${\ displaystyle B = {\ text {diag}} (p, 1)}$ ${\ Displaystyle М_ {п \ раз п} (п \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle М_ {п \ раз п} (п \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle AB = pI_ {2} \ in M_ {n \ times n} (p \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle AB = pI_ {2} \ in M_ {n \ times n} (p \ mathbb {Z})}$

Обобщение

Для R - модуля A, A максимальный подмодуль М из А является подмодулем М ≠, удовлетворяющий тем свойством, что для любого другого подмодуль N, M ⊆ N ⊆ означает N = M или N = A. Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A / M является простым модулем. Максимальные правые идеалы кольца R в точности максимальные подмодули модуля R R.

В отличие от колец с единицей ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечалось выше, конечно порожденные ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а также проективные модули имеют максимальные подмодули.

Как и в случае с кольцами, можно определить радикал модуля с помощью максимальных подмодулей. Кроме того, максимальные идеалы могут быть обобщены путем определения максимального суб-бимодулем M из более бимодуля B, чтобы быть надлежащим суб-бимодуль M, которая содержится ни в каком другом надлежащего суб-бимодуля М. Максимальные идеалы R тогда именно максимальные суб-бимодули бимодуле R R R.

Рекомендации

Андерсон, Фрэнк У.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487
Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439