Матричное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение представляет собой математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных, которая связывает значения самой функции и ее производных различных порядков. Матричное дифференциальное уравнение содержит более чем одну функцию сложены в векторной форме с матрицей, касающейся функций их производных.

Например, матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {x} (t)}$

где - вектор функций базовой переменной, - вектор первых производных этих функций и - матрица коэффициентов. ${\ Displaystyle \ mathbf {х} (т)}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ точка {х}} (т)}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} (т)}$${\ Displaystyle п \ раз п}$

В случае, когда постоянна и имеет n линейно независимых собственных векторов, это дифференциальное уравнение имеет следующее общее решение: ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} \ mathbf {u} _ {1} + c_ {2} e ^ {\ lambda _ {2} t} \ mathbf {u} _ {2} + \ cdots + c_ {n} e ^ {\ lambda _ {n} t} \ mathbf {u} _ {n} ~,}$

где λ 1, λ 2,..., λ п являются собственные из A ; U 1, U 2,..., у п есть соответствующие собственные векторы из А ; а c 1, c 2,…, c n - константы.

В более общем смысле, если коммутирует со своим интегралом, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид ${\ Displaystyle \ mathbf {A} (т)}$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {t} \ mathbf {A} (s) ds}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = e ^ {\ int _ {a} ^ {t} \ mathbf {A} (s) ds} \ mathbf {c} ~,}$

где - постоянный вектор. ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$

Используя теорему Кэли – Гамильтона и матрицы типа Вандермонда, это формальное матричное экспоненциальное решение может быть приведено к простой форме. Ниже это решение показано в терминах алгоритма Путцера.

• 1 Устойчивость и установившееся состояние матричной системы
  • 1.1 Устойчивость случая двух переменных состояния
• 2 Решение в матричной форме
  • 2.1 Алгоритм Путцера для вычисления e ^{A t}
• 3 Деконструированный пример матричного обыкновенного дифференциального уравнения
• 4 Решение деконструированных матричных обыкновенных дифференциальных уравнений
• 5 Решенный пример матричного ОДУ
  • 5.1 Первый шаг
  • 5.2 Второй шаг
  • 5.3 Третий шаг
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Матричное уравнение

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {Ax} (t) + \ mathbf {b}}$

с n × 1 параметрическим постоянным вектором b является стабильным тогда и только тогда, когда все собственные значения постоянной матрицы A имеют отрицательную действительную часть.

Установившееся состояние x *, к которому оно сходится, если оно стабильно, определяется установкой

${\ Displaystyle \ mathbf {\ точка {х}} ^ {*} (т) = \ mathbf {0} ~,}$

таким образом давая

${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} = - \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {b} ~,}$

предполагая, что A обратима.

Таким образом, исходное уравнение может быть записано в однородной форме через отклонения от стационарного состояния:

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {A} [\ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} ^ {*}] ~.}$

Эквивалентный способ выразить это так: x * является частным решением неоднородного уравнения, в то время как все решения имеют вид

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {h} + \ mathbf {x} ^ {*} ~,}$

с решением однородного уравнения ( b = 0). ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {h}}$

Устойчивость случая двух переменных состояния

В п = 2 случая (с двумя переменными состояния), условия устойчивости, что два собственных значений матрицы перехода A каждый имеет отрицательную действительную часть эквивалентны условиям, что след от А быть отрицательным, и ее определитель будет положительным.

Формальное решение имеет матричный экспоненциальный вид ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {A} [\ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} ^ {*}]}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {x} ^ {*} + e ^ {\ mathbf {A} t} [\ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} ^ {* }] ~,}$

оценивается с использованием любого из множества методов.

Алгоритм Пуцера для вычисления e ^{A t}

Учитывая матрицу с собственными значениями, ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ dots, \ lambda _ {n}}$

${\ Displaystyle е ^ {\ mathbf {A} t} = \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} r_ {j + 1} {\ left (t \ right)} \ mathbf {P} _ { j}}$

куда

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {0} = \ mathbf {I}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {j} = \ prod _ {k = 1} ^ {j} \ left (\ mathbf {A} - \ lambda _ {k} \ mathbf {I} \ right) = \ mathbf {P} _ {j-1} \ left (\ mathbf {A} - \ lambda _ {j} \ mathbf {I} \ right), \ qquad j = 1,2, \ dots, n-1}$

${\ displaystyle {\ dot {r}} _ {1} = \ lambda _ {1} r_ {1}}$

${\ displaystyle r_ {1} {\ left (0 \ right)} = 1}$

${\ displaystyle {\ dot {r}} _ {j} = \ lambda _ {j} r_ {j} + r_ {j-1}, \ qquad j = 2,3, \ dots, n}$

${\ displaystyle r_ {j} {\ left (0 \ right)} = 0, \ qquad j = 2,3, \ dots, n}$

Уравнения для представляют собой простые неоднородные ОДУ первого порядка. ${\ Displaystyle r_ {я} (т)}$

Обратите внимание, что алгоритм не требует, чтобы матрица A была диагонализуемой, и обходит сложность обычно используемых канонических форм Жордана.

Однородное матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с двумя функциями x ( t ) и y ( t ), когда оно взято из матричной формы, имеет следующий вид:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = a_ {1} x + b_ {1} y, \ quad {\ frac {dy} {dt}} = a_ {2} x + b_ {2} y }$

где,,, и могут быть любые произвольные скаляры. ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$${\ displaystyle b_ {1}}$${\ displaystyle b_ {2}}$

Матричные ОДУ более высокого порядка могут иметь гораздо более сложную форму.

Процесс решения приведенных выше уравнений и нахождения требуемых функций данного порядка и формы состоит из 3 основных шагов. Краткое описание каждого из этих шагов приведено ниже:

• Нахождение собственных значений
• Нахождение собственных векторов
• Поиск нужных функций

Последний, третий шаг в решении подобных обыкновенных дифференциальных уравнений обычно выполняется путем вставки значений, вычисленных на двух предыдущих шагах, в специализированное уравнение общей формы, упомянутое далее в этой статье.

Смотрите также: Матрица экспоненциальная § Линейные дифференциальные уравнения

Чтобы решить матричное ОДУ в соответствии с тремя шагами, подробно описанными выше, с использованием простых матриц в процессе, давайте найдем, скажем, функцию x и функцию y в терминах единственной независимой переменной t в следующем однородном линейном дифференциальном уравнении первого порядка,

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = 3x-4y, \ quad {\ frac {dy} {dt}} = 4x-7y ~.}$

Чтобы решить эту конкретную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в какой-то момент процесса решения нам понадобится набор из двух начальных значений (соответствующих двум переменным состояния в начальной точке). В этом случае возьмем x (0) = y (0) = 1.

Первый шаг

Первый шаг, уже упоминалось выше, является нахождение собственных значений из А в

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3 amp; -4 \\ 4 amp; -7 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \ \ y \ end {bmatrix}} ~.}$

Производное обозначение х ' и т.д. видно в одном из векторов выше, известные как обозначение Лагранжа, (введенного впервые Джозеф Луи Лагранжа. Это эквивалентно производной обозначения ого / дт, используемые в предыдущем уравнении, известном как обозначение Лейбница, почитая имя Готфрида Лейбница. )

После того, как коэффициенты двух переменных были записаны в матричной форме A, показанной выше, можно оценить собственные значения. С этой целью один находит определитель из матрицы, которая формируется, когда единичная матрица,, умноженные на некоторой константе Х, вычитаются из приведенных выше матриц коэффициентов с получением характеристического полинома от него, ${\ displaystyle I_ {n}}$

${\ displaystyle \ det \ left ({\ begin {bmatrix} 3 amp; -4 \\ 4 amp; -7 \ end {bmatrix}} - \ lambda {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} \ right) ~,}$

и найти его нули.

Применение дальнейшего упрощения и основных правил сложения матриц дает

${\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 3- \ lambda amp; -4 \\ 4 amp; -7- \ lambda \ end {bmatrix}} ~.}$

Применяя правила поиска определителя одной матрицы 2 × 2, получаем следующее элементарное квадратное уравнение,

${\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 3- \ lambda amp; -4 \\ 4 amp; -7- \ lambda \ end {bmatrix}} = 0}$

${\ displaystyle -21-3 \ lambda +7 \ lambda + \ lambda ^ {2} + 16 = 0 \, \!}$

который может быть сокращен дополнительно, чтобы получить более простую версию вышеуказанного,

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} +4 \ lambda -5 = 0 ~.}$

Теперь нахождение двух корней и данного квадратного уравнения с помощью метода факторизации дает ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} +5 \ lambda - \ lambda -5 = 0}$

${\ Displaystyle \ лямбда (\ лямбда +5) -1 (\ лямбда +5) = 0}$

${\ Displaystyle (\ лямбда -1) (\ лямбда +5) = 0}$

${\ displaystyle \ lambda = 1, -5 ~.}$

Значения и, рассчитанные выше требуемые собственные значения из A. В некоторых случаях, например, в других матричных ОДУ, собственные значения могут быть сложными, и в этом случае следующий этап процесса решения, а также окончательная форма и решение могут резко измениться. ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 1}$${\ displaystyle \ lambda _ {2} = - 5}$

Второй шаг

Как упоминалось выше, этот этап включает в себя нахождение собственных векторов из А из информации, предоставленной первоначально.

Для каждого вычисленного собственного значения у нас есть индивидуальный собственный вектор. Для первого собственного значения, а именно: ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 3 amp; -4 \\ 4 amp; -7 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix}} = 1 {\ begin {bmatrix} \ альфа \\\ бета \ end {bmatrix}}.}$

Упрощение приведенного выше выражения путем применения основных правил умножения матриц дает

${\ Displaystyle 3 \ альфа -4 \ бета = \ альфа}$

${\ Displaystyle \ альфа = 2 \ бета ~.}$

Все эти вычисления были проделаны только для получения последнего выражения, которое в нашем случае α = 2 β. Теперь, взяв какое-то произвольное значение, предположительно небольшое незначительное значение, с которым гораздо проще работать, для α или β (в большинстве случаев это не имеет большого значения), мы подставляем его в α = 2 β. В результате получается простой вектор, который является необходимым собственным вектором для этого конкретного собственного значения. В нашем случае мы выбираем α = 2, что, в свою очередь, определяет, что β = 1, и, используя стандартные векторные обозначения, наш вектор выглядит как

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v}} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 2 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$

Выполнив ту же операцию, используя второе вычисленное нами собственное значение, то есть мы получим наш второй собственный вектор. Процесс разработки этого вектора не показан, но конечный результат ${\ displaystyle \ lambda = -5}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v}} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix}}.}$

Третий шаг

Этот последний шаг фактически находит необходимые функции, которые «спрятаны» за производными, данными нам изначально. Есть две функции, потому что наши дифференциальные уравнения имеют дело с двумя переменными.

Уравнение, которое включает в себя всю информацию, которую мы ранее нашли, имеет следующую форму:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = Ae ^ {\ lambda _ {1} t} \ mathbf {\ hat {v}} _ {1} + Be ^ {\ lambda _ {2} t} \ mathbf {\ hat {v}} _ {2}.}$

Подстановка значений собственных значений и собственных векторов дает

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = Ae ^ {t} {\ begin {bmatrix} 2 \\ 1 \ end {bmatrix}} + Be ^ {- 5t} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix}}.}$

Применяя дальнейшее упрощение,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 amp; 1 \\ 1 amp; 2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} Ae ^ {t} \\ Be ^ {- 5t} \ end {bmatrix}}.}$

Далее, упрощая и записывая уравнения для функций x и y отдельно,

${\ displaystyle x = 2Ae ^ {t} + Be ^ {- 5t}}$

${\ displaystyle y = Ae ^ {t} + 2Be ^ {- 5t}.}$

Вышеупомянутые уравнения, по сути, являются искомыми общими функциями, но они имеют общий вид (с неопределенными значениями A и B ), в то время как мы действительно хотим найти их точные формы и решения. Итак, теперь мы рассматриваем заданные начальные условия задачи (задача, включающая заданные начальные условия, является так называемой задачей начальной стоимости ). Предположим, нам дано, которое играет роль отправной точки для нашего обыкновенного дифференциального уравнения; Применение этих условий определяет константы, A и B. Как видно из условий, при t = 0 левые части приведенных выше уравнений равны 1. Таким образом, мы можем построить следующую систему линейных уравнений, ${\ Displaystyle х (0) = у (0) = 1}$${\ Displaystyle х (0) = у (0) = 1}$

${\ displaystyle 1 = 2A + B}$

${\ displaystyle 1 = A + 2B ~.}$

Решая эти уравнения, мы обнаруживаем, что обе константы A и B равны 1/3. Поэтому подстановка этих значений в общий вид этих двух функций указывает их точные формы,

${\ displaystyle x = {\ frac {2} {3}} e ^ {t} + {\ frac {1} {3}} e ^ {- 5t}}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {3}} e ^ {t} + {\ frac {2} {3}} e ^ {- 5t} ~,}$

две искомые функции.

• Неоднородные уравнения
• Матричное разностное уравнение
• Закон охлаждения Ньютона
• Последовательность Фибоначчи
• Разностные уравнения
• Волновое уравнение
• Автономная система (математика)