Матричное разностное уравнение

Разница матричное уравнение представляет собой разностное уравнение, в котором значение вектора (или иногда, матрица) переменных в один момент времени связан с его собственным значением в одном или нескольких предыдущих точках во времени, с помощью матриц. Порядок уравнения представляет максимальный промежуток времени между любыми двумя указанными значениями вектора переменным. Например,

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} _ {t-1} + \ mathbf {B} \ mathbf {x} _ {t-2}}$

является примером матричного разностного уравнения второго порядка, в котором x - это вектор переменных размера n × 1, а A и B - матрицы размера n × n. Это уравнение является однородным, потому что в конец уравнения не добавляется член-константа вектора. То же уравнение можно записать как

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t + 2} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} _ {t + 1} + \ mathbf {B} \ mathbf {x} _ {t}}$

или как

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {n} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} _ {n-1} + \ mathbf {B} \ mathbf {x} _ {n-2}}$

Наиболее часто встречаются матричные разностные уравнения первого порядка.

• 1 Неоднородный случай первого порядка и установившееся состояние
• 2 Устойчивость случая первого порядка
• 3 Решение случая первого порядка
• 4 Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка
• 5 Решение и устойчивость случаев высшего порядка
• 6 Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати
• 7 См. Также
• 8 ссылки

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {t} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} _ {t-1} + \ mathbf {b}}$

с аддитивным постоянным вектором b. Устойчивое состояние этой системы - это значение x * вектора x, от которого, если бы оно было достигнуто, не отклонялось бы впоследствии. x * находится путем установки x t = x t −1 = x * в разностном уравнении и решения относительно x * для получения

${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} = [\ mathbf {I} - \ mathbf {A}] ^ {- 1} \ mathbf {b}}$

где я есть N × N единичная матрица, и где предполагается, что [ я - ] является обратимым. Тогда неоднородное уравнение можно переписать в однородном виде в терминах отклонений от стационарного состояния:

${\ displaystyle \ left [\ mathbf {x} _ {t} - \ mathbf {x} ^ {*} \ right] = \ mathbf {A} \ left [\ mathbf {x} _ {t-1} - \ mathbf {x} ^ {*} \ right]}$

Первого порядка разности матриц уравнение [ х т - х *] = [ х т -1 - х *] является стабильным, то есть, х т сходится асимптотически к стационарному состоянию х * -Если и только тогда, когда все собственные значения из матрица перехода A (действительная или комплексная) имеет абсолютное значение меньше 1.

Предположим, что уравнение записано в однородном виде y t = Ay t −1. Затем мы можем выполнять итерацию и многократно заменять начальное условие y 0, которое является начальным значением вектора y и которое должно быть известно, чтобы найти решение:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {y} _ {1} amp; = \ mathbf {A} \ mathbf {y} _ {0} \\\ mathbf {y} _ {2} amp; = \ mathbf { A} \ mathbf {y} _ {1} = \ mathbf {A} ^ {2} \ mathbf {y} _ {0} \\\ mathbf {y} _ {3} amp; = \ mathbf {A} \ mathbf {y} _ {2} = \ mathbf {A} ^ {3} \ mathbf {y} _ {0} \ end {выравнивается}}}$

и так далее, так что по математической индукции решение в терминах t будет

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {t} = \ mathbf {A} ^ {t} \ mathbf {y} _ {0}}$

Кроме того, если A диагонализуем, мы можем переписать A в терминах его собственных значений и собственных векторов, дав решение как

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {t} = \ mathbf {P} \ mathbf {D} ^ {t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {y} _ {0},}$

где Р является п × п матрица, столбцы которой являются собственными векторами из А ( в предположении, что собственные значения различны) и D является п × п диагональная матрица, диагональные элементы которой являются собственные значения A. Это решение мотивирует вышеуказанный результат стабильности: A ^t сжимается до нулевой матрицы с течением времени тогда и только тогда, когда все собственные значения A меньше единицы по модулю.

Исходя из n- мерной системы y t = Ay t −1, мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем y 1. Приведенный выше уравнение решения для у т показывает, что решение для у 1, т в терминах п собственных значений А. Следовательно, уравнение, описывающее эволюцию y 1, само по себе должно иметь решение, включающее те же самые собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции y 1, которое

${\ displaystyle y_ {1, t} = a_ {1} y_ {1, t-1} + a_ {2} y_ {1, t-2} + \ dots + a_ {n} y_ {1, tn}}$

где параметры a i взяты из характеристического уравнения матрицы A:

${\ displaystyle \ lambda ^ {n} -a_ {1} \ lambda ^ {n-1} -a_ {2} \ lambda ^ {n-2} - \ dots -a_ {n} \ lambda ^ {0} = 0.}$

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная n- мерной линейной системы первого порядка эволюционирует согласно одномерному разностному уравнению n- й степени, которое имеет то же свойство устойчивости (стабильное или нестабильное), что и матричное разностное уравнение.

Матричные разностные уравнения более высокого порядка, то есть с запаздыванием более одного периода, могут быть решены и проанализирована их устойчивость путем преобразования их в форму первого порядка с использованием блочной матрицы (матрицы матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t} = \ mathbf {A} \ mathbf {x} _ {t-1} + \ mathbf {B} \ mathbf {x} _ {t-2}}$

с переменным вектором x равным n × 1, а A и B равными n × n. Его можно сложить в виде

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} _ {t} \\\ mathbf {x} _ {t-1} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A } amp; \ mathbf {B} \\\ mathbf {I} amp; \ mathbf {0} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} _ {t-1} \\\ mathbf { х} _ {t-2} \ end {bmatrix}}}$

где I - единичная матрица размера n × n, а 0 - нулевая матрица размера n × n. Затем, обозначая сложенный вектор текущих и однократно запаздывающих переменных 2 n × 1 как z t и блочную матрицу 2 n × 2 n как L, мы, как и раньше, имеем решение

${\ Displaystyle \ mathbf {z} _ {t} = \ mathbf {L} ^ {t} \ mathbf {z} _ {0}}$

Как и раньше, это сложенное уравнение и, следовательно, исходное уравнение второго порядка устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы L меньше единицы по модулю.

В линейно-квадратичном-гауссовом управлении, возникает нелинейное уравнение матрицы для обратной эволюции текущих и будущих-затраты матрицы, обозначаемой ниже как H. Это уравнение называется дискретным динамическим уравнением Риккати, и оно возникает, когда переменный вектор, эволюционирующий в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенным вектором для оптимизации квадратичной функции стоимости. Это уравнение Риккати принимает следующий или аналогичный вид:

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {t-1} = \ mathbf {K} + \ mathbf {A} '\ mathbf {H} _ {t} \ mathbf {A} - \ mathbf {A}' \ mathbf {H} _ {t} \ mathbf {C} \ left [\ mathbf {C} '\ mathbf {H} _ {t} \ mathbf {C} + \ mathbf {R} \ right] ^ {- 1} \ mathbf {C} '\ mathbf {H} _ {t} \ mathbf {A}}$

где H, K и A - n × n, C - n × k, R - k × k, n - количество элементов в векторе, которым нужно управлять, а k - количество элементов в векторе управления. Матрицы параметров A и C взяты из линейного уравнения, а матрицы параметров K и R получены из квадратичной функции стоимости. Подробности смотрите здесь.

В общем, это уравнение не может быть решено аналитически для H t через t ; скорее, последовательность значений H t находится путем повторения уравнения Риккати. Однако было показано, что это уравнение Риккати может быть решено аналитически, если R = 0 и n = k + 1, путем сведения его к скалярному рациональному разностному уравнению ; более того, для любых k и n, если матрица перехода A невырождена, тогда уравнение Риккати может быть решено аналитически в терминах собственных значений матрицы, хотя их, возможно, придется находить численно.

В большинстве случаев эволюция H назад во времени является стабильной, что означает, что H сходится к определенной фиксированной матрице H *, которая может быть иррациональной, даже если все другие матрицы рациональны. См. Также Стохастическое управление § Дискретное время.

Связанное уравнение Риккати:

${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t + 1} = - \ left [\ mathbf {E} + \ mathbf {B} \ mathbf {X} _ {t} \ right] \ left [\ mathbf {C} + \ mathbf {A} \ mathbf {X} _ {t} \ right] ^ {- 1}}$

в котором все матрицы X, A, B, C и E имеют размер n × n. Это уравнение можно решить явно. Предположим, что X t = N t D⁻¹ _{т, Что, безусловно, имеет место при т = 0 с N 0 = X 0 и D 0 = I. Затем, используя это в разностном уравнении, получаем}

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {X} _ {t + 1} amp; = - \ left [\ mathbf {E} + \ mathbf {B} \ mathbf {N} _ {t} \ mathbf {D } _ {t} ^ {- 1} \ right] \ mathbf {D} _ {t} \ mathbf {D} _ {t} ^ {- 1} \ left [\ mathbf {C} + \ mathbf {A} \ mathbf {N} _ {t} \ mathbf {D} _ {t} ^ {- 1} \ right] ^ {- 1} \\ amp; = - \ left [\ mathbf {E} \ mathbf {D} _ {t} + \ mathbf {B} \ mathbf {N} _ {t} \ right] \ left [\ left [\ mathbf {C} + \ mathbf {A} \ mathbf {N} _ {t} \ mathbf { D} _ {t} ^ {- 1} \ right] \ mathbf {D} _ {t} \ right] ^ {- 1} \\ amp; = - \ left [\ mathbf {E} \ mathbf {D} _ {t} + \ mathbf {B} \ mathbf {N} _ {t} \ right] \ left [\ mathbf {C} \ mathbf {D} _ {t} + \ mathbf {A} \ mathbf {N} _ {t} \ right] ^ {- 1} \\ amp; = \ mathbf {N} _ {t + 1} \ mathbf {D} _ {t + 1} ^ {- 1} \ end {align}}}$

поэтому по индукции форма X t = N t D⁻¹ _{твыполняется для всех t. Тогда эволюцию N и D можно записать как}

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {N} _ {t + 1} \\\ mathbf {D} _ {t + 1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} - \ mathbf { B} amp; - \ mathbf {E} \\\ mathbf {A} amp; \ mathbf {C} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {N} _ {t} \\\ mathbf {D} _ {t} \ end {bmatrix}} \ Equiv \ mathbf {J} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {N} _ {t} \\\ mathbf {D} _ {t} \ end {bmatrix}}}$

Таким образом, по индукции

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {N} _ {t} \\\ mathbf {D} _ {t} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {J} ^ {t} {\ begin {bmatrix } \ mathbf {N} _ {0} \\\ mathbf {D} _ {0} \ end {bmatrix}}}$

• Матричное дифференциальное уравнение
• Уравнение разницы
• Линейное разностное уравнение
• Динамическая система
• Матричное уравнение Риккати # Математическое описание задачи и решения