Уравнение Риккати

В математике, А уравнение Риккати в самом узком смысле является любым первым порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, что является квадратичным относительно неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${\ displaystyle y '(x) = q_ {0} (x) + q_ {1} (x) \, y (x) + q_ {2} (x) \, y ^ {2} (x)}$

где и. Если уравнение сводится к уравнению Бернулли, а если уравнение становится линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. ${\ Displaystyle q_ {0} (х) \ neq 0}$${\ Displaystyle q_ {2} (х) \ neq 0}$${\ displaystyle q_ {0} (х) = 0}$ ${\ Displaystyle q_ {2} (х) = 0}$

Уравнение названо в честь Якопо Риккати (1676–1754).

В более общем смысле термин уравнение Риккати используется для обозначения матричных уравнений с аналогичным квадратичным членом, которые встречаются как в линейно-квадратично-гауссовском управлении с непрерывным, так и с дискретным временем. Их стационарная (нединамическая) версия называется алгебраическим уравнением Риккати.

• 1 Преобразование в линейное уравнение второго порядка
• 2 Приложение к уравнению Шварца
• 3 Получение решений по квадратуре
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Дальнейшее чтение
• 7 Внешние ссылки

Нелинейное уравнение Риккати всегда может быть преобразовано в второй порядок линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДА): Если

${\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2} \!}$

то везде, где отлична от нуля и дифференцируема, удовлетворяет уравнению Риккати вида ${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle v = yq_ {2}}$

${\ Displaystyle v '= v ^ {2} + R (x) v + S (x), \!}$

где и, потому что ${\ displaystyle S = q_ {2} q_ {0}}$${\ displaystyle R = q_ {1} + {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}}}$

${\ displaystyle v '= (yq_ {2})' = y'q_ {2} + yq_ {2} '= (q_ {0} + q_ {1} y + q_ {2} y ^ {2}) q_ {2} + v {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}} = q_ {0} q_ {2} + \ left (q_ {1} + {\ frac {q_ {2}'} {q_ {2}}} \ right) v + v ^ {2}. \!}$

Подставляя, получаем, что удовлетворяет линейному ОДУ 2-го порядка ${\ displaystyle v = -u '/ u}$${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle и '' - р (х) и '+ S (х) и = 0 \!}$

поскольку

${\ displaystyle v '= - (u' / u) '= - (u' '/ u) + (u' / u) ^ {2} = - (u '' / u) + v ^ {2} \ !}$

так что

${\ displaystyle u '' / u = v ^ {2} -v '= - S-Rv = -S + Ru' / u \!}$

и, следовательно

${\ displaystyle u '' - Ru '+ Su = 0. \!}$

Решение этого уравнения приведет к решению исходного уравнения Риккати. ${\ displaystyle y = -u '/ (q_ {2} u)}$

Важным приложением уравнения Риккати является дифференциальное уравнение Шварца 3-го порядка

${\ Displaystyle S (вес): = (вес '' / ш ')' - (ш '' / ш ') ^ {2} / 2 = f}$

которое встречается в теории конформных отображений и однолистных функций. В этом случае ОДУ находятся в комплексной области, а дифференцирование проводится по комплексной переменной. (Производная Шварца обладает тем замечательным свойством, что она инвариантна относительно преобразований Мёбиуса, т. Е. Когда не равна нулю.) Функция удовлетворяет уравнению Риккати. ${\ Displaystyle S (ш)}$${\ Displaystyle S ((aw + b) / (cw + d)) = S (w)}$${\ displaystyle ad-bc}$${\ Displaystyle у = ш '' / ш '}$

${\ displaystyle y '= y ^ {2} / 2 + f.}$

По сказанному выше где - решение линейного ОДУ ${\ displaystyle y = -2u '/ u}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle u '' + (1/2) fu = 0.}$

Поскольку интегрирование дает некоторую константу. С другой стороны, любое другое независимое решение линейного ОДУ имеет постоянный ненулевой Вронскиан, который можно принять после масштабирования. Таким образом ${\ displaystyle w '' / w '= - 2u' / u}$${\ Displaystyle ш '= С / и ^ {2}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U'u-Uu '}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle w '= (U'u-Uu') / u ^ {2} = (U / u) '}$

так что уравнение Шварца имеет решение ${\ displaystyle w = U / u.}$

Соответствие между уравнениями Риккати и линейными ОДУ второго порядка имеет и другие последствия. Например, если известно одно решение ОДУ 2-го порядка, то известно, что другое решение может быть получено квадратурой, т. Е. Простым интегрированием. То же верно и для уравнения Риккати. Фактически, если можно найти одно частное решение, общее решение получается как ${\ displaystyle y_ {1}}$

${\ displaystyle y = y_ {1} + u}$

Подстановка

${\ displaystyle y_ {1} + u}$

в уравнении Риккати дает

${\ displaystyle y_ {1} '+ u' = q_ {0} + q_ {1} \ cdot (y_ {1} + u) + q_ {2} \ cdot (y_ {1} + u) ^ {2},}$

и с тех пор

${\ displaystyle y_ {1} '= q_ {0} + q_ {1} \, y_ {1} + q_ {2} \, y_ {1} ^ {2},}$

следует, что

${\ displaystyle u '= q_ {1} \, u + 2 \, q_ {2} \, y_ {1} \, u + q_ {2} \, u ^ {2}}$

или

${\ displaystyle u '- (q_ {1} +2 \, q_ {2} \, y_ {1}) \, u = q_ {2} \, u ^ {2},}$

которое является уравнением Бернулли. Подстановка, необходимая для решения этого уравнения Бернулли, следующая:

${\ displaystyle z = {\ frac {1} {u}}}$

Подстановка

${\ displaystyle y = y_ {1} + {\ frac {1} {z}}}$

непосредственно в уравнение Риккати дает линейное уравнение

${\ Displaystyle z '+ (q_ {1} +2 \, q_ {2} \, y_ {1}) \, z = -q_ {2}}$

Тогда набор решений уравнения Риккати дается выражением

${\ displaystyle y = y_ {1} + {\ frac {1} {z}}}$

где z - общее решение упомянутого выше линейного уравнения.

• Линейно-квадратичный регулятор
• Алгебраическое уравнение Риккати
• Линейно-квадратично-гауссовское управление

• Хилле, Эйнар (1997) [1976], Обычные дифференциальные уравнения в комплексной области, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN   0-486-69620-0
• Нехари, Зеев (1975) [1952], Конформное отображение, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN   0-486-61137-X
• Полянин, Андрей Д.; Зайцев, Валентин Ф. (2003), Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman amp; Hall / CRC, ISBN   1-58488-297-2
• Зеликин, Михаил И. (2000), Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, Берлин: Springer-Verlag
• Рид, Уильям Т. (1972), Дифференциальные уравнения Риккати, Лондон: Academic Press

• "Уравнение Риккати", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнение Риккати в EqWorld: мир математических уравнений.
• Дифференциальное уравнение Риккати в Mathworld
• Функция MATLAB для решения алгебраического уравнения Риккати с непрерывным временем.
• SciPy имеет функции для решения непрерывного алгебраического уравнения Риккати и дискретного алгебраического уравнения Риккати.