Линейно-квадратичное-гауссовское управление

В теории управления линейно-квадратичное-гауссовское ( LQG ) проблема управления - одна из самых фундаментальных задач оптимального управления. Это касается линейных систем, управляемых аддитивным белым гауссовским шумом. Проблема состоит в том, чтобы определить закон обратной связи по выходу, который является оптимальным в смысле минимизации ожидаемого значения квадратичного критерия стоимость. Предполагается, что выходные измерения искажены гауссовским шумом, и исходное состояние также считается гауссовским случайным вектором.

При этих предположениях оптимальная схема управления в рамках класса линейных законов управления может быть получена с помощью аргумента завершения квадратов. Этот закон управления, который известен как контроллер LQG, является уникальным и представляет собой просто комбинацию фильтра Калмана (линейно-квадратичная оценка состояния (LQE)) вместе с линейно-квадратичный регулятор (LQR). Принцип разделения утверждает, что средство оценки состояния и обратная связь по состоянию могут быть разработаны независимо. Управление LQG применяется как к линейным системам, не зависящим от времени, так и к линейным системам, не зависящим от времени, и представляет собой линейный закон управления динамической обратной связью, который легко вычисляется и реализуется: сам контроллер LQG это динамическая система, подобная системе, которой она управляет. Обе системы имеют одинаковое измерение состояния.

Более глубокое утверждение принципа разделения состоит в том, что контроллер LQG по-прежнему оптимален в более широком классе, возможно, нелинейных контроллеров. То есть использование нелинейной схемы управления не улучшит ожидаемое значение функционала стоимости. Эта версия принципа разделения является частным случаем принципа разделения стохастического управления, который гласит, что даже если источником шума процесса и выходного шума, возможно, являются негауссовские мартингалы, пока динамика системы линейна, оптимальное управление разделяется на устройство оценки оптимального состояния (которое больше не может быть фильтром Калмана) и регулятор LQR.

В классической настройке LQG реализация контроллера LQG может быть проблематичной когда размерность состояния системы велика. проблема LQG уменьшенного порядка (проблема LQG фиксированного порядка) преодолевает это, фиксируя априори количество состояний контроллера LQG. Эту проблему решить сложнее, потому что она больше не отделима. Кроме того, решение больше не является уникальным. Несмотря на эти факты, доступны численные алгоритмы для решения связанных уравнений оптимальной проекции, которые составляют необходимые и достаточные условия для локально оптимального контроллера LQG пониженного порядка.

Оптимальность LQG автоматически не обеспечивает хорошую устойчивость свойства. Устойчивость замкнутой системы должна проверяться отдельно после проектирования контроллера LQG. Для повышения устойчивости некоторые параметры системы можно считать стохастическими, а не детерминированными. Связанная с этим более сложная проблема управления приводит к аналогичному оптимальному контроллеру, у которого отличаются только параметры контроллера.

Можно вычислить ожидаемое значение функции стоимости для оптимального выигрыша, а также любой другой набор стабильного прироста.

Наконец, контроллер LQG также используется для управления возмущенными нелинейными системами.

Содержание

• 1 Математическое описание проблемы и решения
  • 1.1 Непрерывное время
  • 1.2 Дискретное время
• 2 См. Также
• 3 Ссылки
• 4 Дополнительная литература

Математическое описание проблемы и решения

Непрерывное время

Рассмотрим непрерывное -время линейная динамическая система

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; (t)\; x\; (t)\; +\; B\; (t)\; u\; (t)\; +\; v\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{)\; x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; B\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t),\}$

$y\; (t)\; Знак\; равно\; С\; (т)\; Икс\; (т)\; +\; вес\; (т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{у\}\; (т)\; =\; С\; (т)\; \backslash \; mathbf\; \{х\}\; (т)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{ш\}\; (т),\; \}$

где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; m\; athbf\; \{x\}\}\}$представляет вектор переменных состояния системы, $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\}$вектор управляющих входов и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}$вектор измеренных выходных сигналов, доступных для обратной связи. И аддитивный белый гауссовский системный шум $v\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t)\}$, и аддитивный белый гауссовский шум измерений $w\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; w\}\; (t)\}$влияет на систему. В этой системе цель состоит в том, чтобы найти историю контрольного ввода $u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; (t)\}$, которая каждый раз $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; t\}$может линейно зависеть только от прошлых измерений , так что следующая функция стоимости минимизируется:

$J\; =\; E\; [x\; T\; (T)\; F\; x\; (T)\; +\; \int \; 0\; T\; x\; T\; (t)\; Q\; (t)\; x\; (t)\; +\; u\; T\; (t)\; R\; (t)\; u\; (t)\; dt]),\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\}\; (T)\; F\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (T)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\}\; (t)\; Q\; (t)\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (t)\; +\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\; \}\}\; (t)\; R\; (t)\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right],\}$

$F\; \ge \; 0,\; Q\; (t)\; \ge \; 0,\; R\; (t)>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash \; quad\; Q\; (t)\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash \; quad\; R\; (t)>0,\}$

где $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\}$обозначает ожидаемое значение. Fi конечное время (горизонт) $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; T\}$может быть либо конечным, либо бесконечным. Если горизонт стремится к бесконечности, первый член $x\; T\; (T)\; F\; x\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (T)\; F\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \}\; (T)\}$функции стоимости становится незначительной и не имеет отношения к проблеме. Также для сохранения конечных затрат функция стоимости должна быть принята равной $J\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; J\; /\; T\}$.

Контроллер LQG, который решает проблему управления LQG, определяется следующие уравнения:

$x\; ^\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; (t)\; x\; ^\; (t)\; +\; B\; (t)\; u\; (t)\; +\; L\; (t)\; (y\; (t)\; -\; C\; (t)\; x\; ^\; (t))),\; Икс\; ^\; (0)\; знак\; равно\; Е\; [Икс\; (0)],\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}\; (т)\; =\; А\; (т)\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; x\}\}\}\; (t)\; +\; B\; (t)\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; (t)\; +\; L\; (t)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; (t)\; -C\; (t)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (0)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (0)\; \backslash \; right\; ],\}$

$u\; (t)\; =\; -\; K\; (t)\; x\; ^\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; (t)\; =\; -\; K\; (t)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t).\}$

Матрица $L\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; L\; (t)\}$называется усилением Калмана связанного фильтра Калмана, представленного первым уравнением. Каждый раз $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; t\}$этот фильтр генерирует оценки $x\; ^\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\}$состояния $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (t)\}$с использованием прошлых измерений и входных данных. Коэффициент Калмана $L\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; L\; (t)\}$вычисляется из матриц $A\; (t),\; C\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; A\; (t),\; C\; (t)\}$, две матрицы интенсивности $V\; (t),\; W\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; V\; (t),\; W\; (t)\}$, связанный с белыми гауссовскими шумами $v\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t)\}$и $w\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; (t)\}$и, наконец, $E\; [x\; (0)\; x\; T\; (0)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (0)\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (0)\; \backslash \; right]\}$. Эти пять матриц определяют коэффициент усиления Калмана через следующее связанное матричное дифференциальное уравнение Риккати:

$P\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; (t)\; P\; (t)\; +\; P\; (t)\; AT\; (t)\; -\; P\; (t)\; CT\; (t)\; W\; -\; 1\; (T)\; C\; (T)\; P\; (T)\; +\; V\; (T),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{P\}\}\; (t)\; =\; A\; (t)\; P\; (t)\; +\; P\; (t)\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (t)\; -P\; (t)\; C\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (t)\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; W\; ^\; \{-\; 1\}\; (t)\; C\; (t)\; P\; (t)\; +\; V\; (t),\}$

$P\; (0)\; =\; E\; [x\; (0)\; x\; T\; (0)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (0)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (0)\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (0)\; \backslash \; right].\}$

Для решения $P\; (t),\; 0\; \le \; t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t),\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$коэффициент усиления Калмана равен

$L\; (t)\; =\; P\; (t)\; CT\; (t)\; W\; -\; 1\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; L\; (t)\; =\; P\; (t)\; C\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (t)\; W\; ^\; \{-\; 1\}\; (t).\}$

Матрица $K\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; K\; (t)\}$называется матрицей коэффициента усиления обратной связи . Эта матрица определяется матрицами $A\; (t),\; B\; (t),\; Q\; (t),\; R\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; A\; (t),\; B\; (t),\; Q\; (\; t),\; R\; (t)\}$и $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; F\}$с помощью следующего связанного матричного дифференциального уравнения Риккати:

$-\; S\; \dot{}\; (t)\; =\; AT\; (t)\; S\; (t)\; +\; S\; (t)\; A\; (t)\; -\; S\; (t)\; B\; (t)\; R\; -\; 1\; (t)\; BT\; (t)\; S\; (t)\; +\; Q\; (t),\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \{\backslash \; точка\; \{S\}\}\; (т)\; =\; А\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (т)\; S\; (т)\; +\; S\; (т)\; А\; (т)\; -S\; (т)\; В\; (т)\; R\; ^\; \{-\; 1\}\; (t)\; B\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (t)\; S\; (t)\; +\; Q\; (t),\}$

$S\; (T)\; =\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; S\; (T)\; =\; F.\}$

Учитывая решение $S\; (t),\; 0\; \le \; t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; S\; (t),\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$коэффициент усиления обратной связи равен

$K\; (t)\; =\; R\; -\; 1\; (t)\; BT\; (t)\; S\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; K\; (t)\; =\; R\; ^\; \{-\; 1\}\; (t)\; B\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (t)\; S\; (t).\}$

Обратите внимание на схожесть двух матричные дифференциальные уравнения Риккати, первое из которых выполняется вперед во времени, а второе - в обратном направлении. Это подобие называется двойственностью . Первое матричное дифференциальное уравнение Риккати решает линейно-квадратичную задачу оценивания (LQE). Второе матричное дифференциальное уравнение Риккати решает задачу линейно-квадратичного регулятора (LQR). Эти задачи двойственны, и вместе они решают линейно-квадратично-гауссову задачу управления (LQG). Таким образом, проблема LQG разделяется на проблемы LQE и LQR, которые можно решить независимо. Поэтому проблема LQG называется сепарабельной .

Когда $A\; (t),\; B\; (t),\; C\; (t),\; Q\; (t),\; R\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; \}\; A\; (t),\; B\; (t),\; C\; (t),\; Q\; (t),\; R\; (t)\}$и матрицы интенсивности шума $V\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; \}\; V\; (t)\}$, $W\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; W\; (t)\}$не зависят от $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; t\}$и когда $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; T\}$стремится к бесконечности, контроллер LQG становится неизменной во времени динамической системой. В этом случае второе матричное дифференциальное уравнение Риккати может быть заменено соответствующим алгебраическим уравнением Риккати.

Дискретное время

Поскольку задача управления дискретным временем LQG аналогична один в непрерывном времени, нижеприведенное описание сосредоточено на математических уравнениях.

Уравнения линейной системы с дискретным временем:

$xi\; +\; 1\; =\; A\; ixi\; +\; B\; iui\; +\; vi,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; =\; A\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; B\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\},\}$

$yi\; =\; C\; ixi\; +\; wi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_\; \{i\}\; =\; C\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \_\; \{i\}.\}$

Здесь $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; i\}$представляет индекс дискретного времени, а $vi,\; wi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \_\; \{i\}\}$представляют процессы гауссовского белого шума с дискретным временем с ковариационными матрицами $V\; i,\; W\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; V\_\; \{i\},\; W\_\; \{i\}\}$соответственно.

Квадратичная функция стоимости, которую необходимо минимизировать, имеет вид

$J\; =\; E\; [x\; NTF\; x\; N\; +\; \sum \; i\; =\; 0\; N\; -\; 1\; (xi\; TQ\; ixi\; +\; ui\; TR\; iui)],\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \_\; \{N\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; F\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \_\; \{N\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{N\; -1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; Q\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\; \}\}\; R\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{i\})\; \backslash \; right],\}$

$F\; \ge \; 0,\; Q\; i\; \ge \; 0,\; R\; i>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; geq\; 0,\; Q\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0,\; R\_\; \{i\}>0.\; \backslash ,\}$

Контроллер LQG с дискретным временем:

$x\; ^\; i\; +\; 1\; =\; A\; ix\; ^\; i\; +\; В\; iui\; +\; L\; я\; +\; 1\; (yi\; +\; 1\; -\; C\; i\; +\; 1\; \{A\; ix\; ^\; i\; +\; B\; iui\}),\; x\; ^\; 0\; =\; E\; [x\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; =\; A\_\; \{i\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; B\_\; \{i\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; L\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; -C\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{A\_\; \{i\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; B\_\; \{i\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; [\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \_\; \{0\}]\}$,

$ui\; =\; -\; K\; ix\; ^\; i.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{i\}\; =\; -\; K\_\; \{i\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \_\; \{i\}.\; \backslash ,\}$

Коэффициент усиления Калмана равен

$L\; i\; =\; P\; i\; C\; i\; T\; (C\; i\; P\; i\; C\; i\; T\; +\; W\; i)\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; L\_\; \{i\}\; =\; P\_\; \{i\}\; C\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (C\_\; \{i\}\; P\_\; \{i\}\; C\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; +\; W\_\; \{i\})\; ^\; \{-\; 1\},\}$

где $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; P\_\; \{i\}\}$определяется th Следующее матричное разностное уравнение Риккати, которое работает вперед во времени:

$P\; i\; +\; 1\; =\; A\; i\; (P\; i\; -\; P\; i\; C\; i\; T\; (C\; i\; P\; i\; C\; i\; T\; +\; W\; i)\; -\; 1\; C\; i\; P\; i)\; A\; i\; T\; +\; V\; i,\; P\; 0\; =\; E\; [(x\; 0\; -\; x\; ^\; 0)\; (x\; 0\; -\; x\; ^\; 0)\; T].\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\; +\; 1\}\; =\; A\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (P\_\; \{i\}\; -P\_\; \{i\}\; C\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; left\; (C\_\; \{i\}\; P\_\; \{i\}\; C\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; +\; W\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; C\_\; \{i\}\; P\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; A\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; +\; V\_\; \{\; i\},\; \backslash \; qquad\; P\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}].\}$

Матрица усиления обратной связи равно

$К\; я\; =\; (В\; я\; TS\; я\; +\; 1\; В\; я\; +\; р\; я)\; -\; 1\; В\; я\; TS\; я\; +\; 1\; A\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; K\_\; \{i\}\; =\; (B\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; S\_\; \{i\; +\; 1\}\; B\_\; \{i\}\; +\; R\_\; \{i\})\; ^\; \{-\; 1\}\; B\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; S\_\; \{i\; +\; 1\}\; A\_\; \{i\}\; \}$

где $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; S\_\; \{i\}\}$определяется с помощью следующего матричного разностного уравнения Риккати, которое выполняется в обратном направлении во времени:

$S\; i\; =\; А\; я\; Т\; (S\; я\; +\; 1\; -\; S\; я\; +\; 1\; Б\; я\; (Б\; я\; TS\; я\; +\; 1\; Б\; я\; +\; R\; я)\; -\; 1\; Б\; я\; ТС\; я\; +\; 1)\; А\; я\; +\; Q\; я,\; SN\; =\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\; =\; A\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; left\; (S\_\; \{i\; +\; 1\}\; -S\_\; \{i\; +\; 1\}\; B\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (B\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; S\_\; \{i\; +\; 1\}\; B\_\; \{i\}\; +\; R\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; B\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; S\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; A\_\; \{i\}\; +\; Q\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; S\_\; \{N\}\; =\; F.\}$

Если все матрицы в формулировке задачи не зависят от времени и если горизонт $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; \}\; N\}$стремится к бесконечности, дискретный контроллер LQG становится неизменным во времени. В этом случае матричные разностные уравнения Риккати могут быть заменены связанными с ними алгебраическими уравнениями Риккати с дискретным временем. Они определяют инвариантный во времени линейно-квадратичный оценивающий элемент и постоянный во времени линейно-квадратичный регулятор в дискретном времени. Чтобы сохранить конечные затраты вместо $J\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; J\}$, нужно учитывать $J\; /\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\}\; J\; /\; N\; \}$в этом случае.

См. Также

• Стохастический контроль
• Контрпример Витсенхаузена

Ссылки

Дополнительная литература

• Stengel, Robert F. (1994). Оптимальный контроль и оценка. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-68200-5.