Войти
В математике, это теорема, не существует аналога меры Лебега на бесконечномерном Банахово пространство. Поэтому в бесконечномерных пространствах используются другие виды мер : часто используется конструкция абстрактного винеровского пространства. В качестве альтернативы можно Рассмотрим меру Лебега на конечномерных подпространствах большего пространства и рассмотрим так называемые преобладающие и застенчивые множества.
Компактные множества в банаховых пространствах также могут нести естественные меры: гильбертовый куб, например, несет произведение меры Лебега. Аналогичным образом компактная топологическая группа, заданная продуктом Тихонова t бесконечного числа копий группы кругов является бесконечномерным и несет в себе меру Хаара, которая инвариантна относительно сдвига.
Можно показать, что мера Лебега λ на Евклидово пространство Rявляется локально конечным, строго положительным и переводом - инвариантным, явно:
Геометрически) говоря, эти три свойства делают меру Лебега очень удобной для работы. Когда мы рассматриваем бесконечномерное пространство, такое как L-пространство или пространство непрерывных путей в евклидовом пространстве, было бы неплохо иметь такую же хорошую меру для работы. К сожалению, это невозможно.
Пусть (X, || · ||) - бесконечномерное сепарабельное банахово пространство. Тогда единственная локально конечная и трансляционно-инвариантная борелевская мера μ на X - это тривиальная мера, где μ (A) = 0 для любого измеримого множества A. Эквивалентно, любая трансляционно-инвариантная мера, не равная тождественно нулю назначает бесконечную меру всем открытым подмножествам X.
Пусть X - бесконечномерное сепарабельное банахово пространство, снабженное локально конечной трансляционно-инвариантной мерой μ. Используя локальную конечность, предположим, что при некотором δ>0 открытый шар B (δ) радиуса δ имеет конечную μ-меру. Поскольку X бесконечномерно, существует бесконечная последовательность попарно непересекающихся открытых шаров B n (δ / 4), n ∈ N, радиуса δ / 4, причем все меньшие шары B n (δ / 4) содержатся внутри большего шара B (δ). Благодаря трансляционной инвариантности все меньшие шары имеют одинаковую меру; поскольку сумма этих мер конечна, все меньшие шары должны иметь нулевую μ-меру. Теперь, поскольку X отделимо, его можно покрыть счетным набором шаров радиуса δ / 4; так как каждый такой шар имеет нулевую μ-меру, то же самое и все пространство X, и поэтому μ - тривиальная мера.
