Голономная функция

редактировать

Тип функций в математическом анализе

В математике, а точнее в анализ, голономная функция - это гладкая функция нескольких переменных, которая является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и удовлетворяет подходящему условию размерности с точки зрения теории D-модулей. Точнее, голономная функция - это элемент голономного модуля гладких функций. Голономные функции также могут быть описаны как дифференцируемые конечные функции, также известные как D-конечные функции . Когда степенной ряд по переменным является разложением Тейлора голономной функции, последовательность его коэффициентов по одному или нескольким индексам также называется голономной. Голономные последовательности также называются P-рекурсивными последовательностями : они рекурсивно определяются многомерными рекурсиями, которым удовлетворяет вся последовательность и ее подходящие специализации. Ситуация упрощается в одномерном случае: любая одномерная последовательность, которая удовлетворяет линейному однородному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами или, что эквивалентно, линейному однородному разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами, является голономной.

Содержание

1 Голономные функции и последовательности в одной переменной
- 1.1 Определения
- 1.2 Свойства замыкания
- 1.3 Примеры голономных функций и последовательностей
- 1.4 Примеры неголономных функций и последовательностей
2 Голономных функций в нескольких переменных
3 Алгоритмы и программное обеспечение
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Голономные функции и последовательности в одной переменной

Определения

Пусть $K {\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ быть полем характеристики 0 (например, $K = Q {\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {K} = \ mathbb {Q}$ или $K = C {\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {K} = \ mathbb {C}$ ).

Функция $f = f (x) {\ displaystyle f = f (x)}$ $f = f (x)$ называется D-конечной (или голономной), если существуют многочлены $0 ≠ ар (х), ар - 1 (х),…, а 0 (х) ∈ К [х] {\ Displaystyle 0 \ neq a_ {r} (х), а_ {г-1} (х), \ ldots, a_ {0} (x) \ in \ mathbb {K} [x]}$ ${\ displaystyle 0 \ neq a_ {r} (x), a_ {r-1} (x), \ ldots, a_ {0} (x) \ in \ mathbb {K} [x]}$ такой, что

ar (x) f (r) (x) + ar - 1 (x) f (r - 1) (x) + ⋯ + a 1 (x) f '(x) + a 0 (x) f (x) = 0 {\ displaystyle a_ {r} (x) f ^ {(r)} (x) + a_ {r-1} (x) f ^ {(r-1)} (x) + \ cdots + a_ {1} (x) f '(x) + a_ {0} (x) f (x) = 0}

a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0

выполняется для всех x. Это также можно записать как $A f = 0 {\ displaystyle Af = 0}$ $A f = 0$ где

A = ∑ k = 0 rak D xk {\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {r} a_ {k} D_ {x} ^ {k}}

A = \ sum_ {k = 0} ^ r a_k D_x ^ k

и $D x {\ displaystyle D_ {x}}$ $D_ {x}$ - это дифференциальный оператор, который отображает $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ в $f ′ (x) {\ displaystyle f '(x)}$ $f'(x)$ . $A {\ displaystyle A}$ $A$ называется аннигилирующим оператором для f (уничтожающие операторы $f {\ displaystyle f}$ $е$ образуют идеал в кольце $K [x] [D x] {\ displaystyle \ mathbb {K} [x] [D_ {x}]}$ $\ mathbb {K} [x] [D_x]$ , называемый аннигилятором $f {\ displaystyle f}$ $е$ ). Величина r называется порядком уничтожающего оператора. В более широком смысле, голономная функция f называется порядка r, если существует аннулирующий оператор такого порядка.

Последовательность $c = c 0, c 1,… {\ displaystyle c = c_ {0}, c_ {1}, \ ldots}$ $c = c_0, c_1, \ ldots$ называется P-рекурсивной ( или голономный), если существуют многочлены $ar (n), ar - 1 (n),…, a 0 (n) ∈ K [n] {\ displaystyle a_ {r} (n), a_ {r-1 } (n), \ ldots, a_ {0} (n) \ in \ mathbb {K} [n]}$ $a_r (n), a_ {r-1 } (n), \ ldots, a_0 (n) \ in \ mathbb {K} [n]$ такие, что

ar (n) cn + r + ar - 1 (n) cn + r - 1 + ⋯ + a 0 (n) cn = 0 {\ displaystyle a_ {r} (n) c_ {n + r} + a_ {r-1} (n) c_ {n + r-1 } + \ cdots + a_ {0} (n) c_ {n} = 0}

{\ displaystyle a_ {r} (n) c_ {n + r} + a_ {r-1} (n) c_ {n + r-1} + \ cdots + a_ {0 } (n) c_ {n} = 0}

выполняется для всех n. Это также можно записать как $A c = 0 {\ displaystyle Ac = 0}$ $A c = 0$ где

A = ∑ k = 0 rak S n {\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {r} a_ {k} S_ {n}}

A = \ sum_ {k = 0} ^ r a_k S_n

и $S n {\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ оператор сдвига, который отображает $c 0, c 1,… {\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, \ ldots}$ $c_0, c_1, \ ldots$ до $c 1, c 2,… {\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, \ ldots}$ $c_1, c_2, \ ldots$ . $A {\ displaystyle A}$ $A$ называется аннигилирующим оператором для c (аннулирующими операторами $c {\ displaystyle c}$ $c$ образуют идеал в кольце $K [n] [S n] {\ displaystyle \ mathbb {K} [n] [S_ {n}]}$ $\ mathbb {K} [ n] [S_n]$ , называемый аннигилятором $c {\ displaystyle c}$ $c$ ). Величина r называется порядком уничтожающего оператора. В более широком смысле, голономная последовательность c называется порядка r, если существует аннулирующий оператор такого порядка.

Голономные функции - это в точности производящие функции голономных последовательностей: если $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ голономный, то коэффициенты $cn {\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ в разложении степенного ряда

f (x) = ∑ n = 0 ∞ cnxn {\ displaystyle f (x) = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n}}

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_n x ^ n

образуют голономную последовательность. И наоборот, для данной голономной последовательности $cn {\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ функция, определяемая приведенной выше суммой, является голономной (это верно в смысле формального степенного ряда, даже если сумма имеет нулевой радиус сходимости).

Свойства замыкания

Голономные функции (или последовательности) удовлетворяют нескольким свойствам замыкания. В частности, голономные функции (или последовательности) образуют кольцо . Однако они не закрываются при делении и поэтому не образуют поля.

Если $f (x) = ∑ n = 0 ∞ fnxn {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n Знак равно 0} ^ {\ infty} f_ {n} x ^ {n}}$ $f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f_n x ^ n$ и $g (x) = ∑ n = 0 ∞ gnxn {\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} x ^ {n}}$ $g (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} g_n x ^ n$ являются голономными функциями, тогда следующие функции также являются голономными:

$h (x) = α f (x) + β g (x) {\ displaystyle h (x) = \ alpha f (x) + \ beta g (x)}$ $h (x) = \ alpha f (x) + \ beta g (x)$ , где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ бета$ - константы
$h (x) = f (x) g (x) {\ displaystyle h (x) = f (x) g (x)}$ $h (x) = f (x) g (x)$ (произведение Коши последовательностей)
$h (x) = ∑ n = 0 ∞ fngnxn {\ displaystyle h (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} g_ {n} x ^ {n}}$ $h (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f_n g_n x ^ n$ (произведение Адамара последовательностей)
$h (x) = ∫ 0 xf ( t) dt {\ displaystyle h (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) dt}$ $h (x) = \ int_0 ^ xf (t) dt$
$h (x) = ∑ n = 0 ∞ (∑ k = 0 nfk) xn {\ Displaystyle час (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} (\ сумма _ {к = 0} ^ {п} е_ {к}) x ^ {n}}$ $h (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (\ sum_ {k = 0} ^ n f_k) x ^ n$
$h (x) = f (a (x)) {\ displaystyle h (x) = f (a (x))}$ $час (х) = е (а (х))$ , где $a (x) {\ displaystyle a (x)}$ $a (x)$ - любая алгебраическая функция. Однако $a (f (x)) {\ displaystyle a (f (x))}$ $a (f (x))$ обычно не голономный.

Важнейшим свойством голономных функций является то, что свойства замыкания эффективны : данные операторы уничтожения для $f {\ displaystyle f}$ $е$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ , оператор уничтожения для $h {\ displaystyle h}$ $h$ , как определено с использованием любой из вышеуказанных операций, может быть вычислен явно.

Примеры голономных функций и последовательностей

Примеры голономных функций включают:

все алгебраические функции
некоторые трансцендентные функции, такие как $грех ⁡ (Икс) {\ Displaystyle \ грех (х)}$ $\ sin (x)$ , $соз ⁡ (х) {\ Displaystyle \ соз (х)}$ $\ cos (x)$ , $экс {\ Displaystyle e ^ {x}}$ $e ^ {x}$ , и $log ⁡ (x) {\ displaystyle \ log (x)}$ $\ log (x)$
обобщенная гипергеометрическая функция $p F q (a 1,…, ap, b 1,…, bq, x) {\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}, b_ {1}, \ ldots, b_ {q}, x)}$ ${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}, b_ {1}, \ ldots, b_ {q}, x)}$ , рассматриваемый как функция от $x {\ displaystyle x}$ $x$ со всеми параметрами $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_{i}$ , $bi {\ displaystyle b_ { i}}$ $b_ {i}$ фиксируется
функция ошибок $erf ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x)}$ $\ operatorname {erf} (x)$
Функции Бесселя $J n (x) {\ displaystyle J_ {n} (x)}$ $J_n (x)$ , $Y n (x) {\ displaystyle Y_ {n} (x)}$ $Y_n (x)$ , $I N (Икс) {\ Displaystyle I_ {п} (х)}$ $I_n (x)$ , $К N (х) {\ Displaystyle K_ {п} (х)}$ $K_n (x)$
функции Эйри $Ai ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x)}$ $\ operatorname {Ai} (x)$ , $Bi ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {Bi} (x)}$ $\ operatorname {Bi } (x)$
все классические ортогональные многочлены, включая многочлены Лежандра $P n (x) {\ displaystyle P_ {n} (x)}$ $P_n (x)$ и полиномы Чебышева $T n (x) {\ displaystyle T_ {n} (x)}$ $T_n(x)$ и $U n (x) {\ displaystyle U_ { n} (x)}$ $U_n (x)$ .

Класс голономных функций является строгим надмножеством класса гипергеометрических функций. Примеры специальных функций, которые являются голономными, но не гипергеометрическими, включают функции Гойна.

Примеры голономных последовательностей включают:

последовательность чисел Фибоначчи $F n {\ displaystyle F_ { n}}$ $F_ {n}$ и, в более общем смысле, все константно-рекурсивные последовательности
последовательность факториалов $n! {\ displaystyle n!}$ $n!$
последовательность биномиальных коэффициентов $(nk) {\ displaystyle {n \ choose k}}$ ${n \ choose k}$ (как функции от n или k)
последовательность гармонических чисел $H n = ∑ k = 1 n 1 k {\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n } {\ frac {1} {k}}}$ $H_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k }$ и в более общем плане $H n, m = ∑ k = 1 n 1 км {\ displaystyle H_ {n, m} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {m}}}}$ $H_ {n, m} = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} { k ^ m}$ для любого целого m
последовательность каталонских чисел
последовательность чисел Моцкина.
последовательность расстройств.

Гипергеометрические функции, функции Бесселя и классические ортогональные многочлены, помимо того, что они являются голономными функциями своей переменной, также являются голономными последовательностями по отношению к их параметры. Например, функции Бесселя $J n {\ displaystyle J_ {n}}$ $J_n$ и $Y n {\ displaystyle Y_ {n}}$ $Y_ {n}$ удовлетворяют второму порядку линейное повторение $x (fn + 1 + fn - 1) = 2 nfn {\ displaystyle x (f_ {n + 1} + f_ {n-1}) = 2nf_ {n}}$ ${\ displaystyle x (f_ {n + 1} + f_ {n-1}) = 2nf_ {n}}$ .

Примеры неголономных функций и последовательности

Примеры неголономных функций:

функция $xex - 1 {\ displaystyle {\ frac {x} {e ^ {x} -1}}}$ $\ frac {x} {e ^ x-1}$
функция tan (x) + sec (x)
отношение двух голономных функций обычно не является голономным.

Примеры неголономных последовательностей включают:

числа Бернулли
числа чередующиеся перестановки
чисел целочисленных разделов
чисел $log ⁡ (n) {\ displaystyle \ log (n)}$ $\ log (n)$
чисел $n α {\ displaystyle n ^ {\ alpha}}$ $n ^ {\ alpha}$ где $α ∉ Z {\ displaystyle \ alpha \ not \ in \ mathbb {Z}}$ $\ alpha \ not \ in \ mathbb {Z}$
простые числа
перечисления неприводимых и связанных перестановок.

Голономная функция ns в нескольких переменных

Алгоритмы и программное обеспечение

Голономные функции - мощный инструмент компьютерной алгебры. Голономная функция или последовательность могут быть представлены конечным количеством данных, а именно аннигилирующим оператором и конечным набором начальных значений, а свойства замыкания позволяют выполнять такие операции, как проверка равенства, суммирование и интегрирование алгоритмическим способом. В последние годы эти методы позволили автоматизировать доказательства большого количества специальных функций и комбинаторных тождеств.

Более того, существуют быстрые алгоритмы для вычисления голономных функций с произвольной точностью в любой точке комплексной плоскости и для численного вычисления любой записи в голономной последовательности.

Программное обеспечение для работы с голономными функциями включает:

Пакет HolonomicFunctions [1] для Mathematica, разработанный Кристофом Кутшаном, который поддерживает вычисление свойств замыкания и доказательство идентичности для одномерных и многомерных голономных функций
Библиотека algolib [2] для Maple, которая включает следующие пакеты:
- gfun, разработанный Бруно Салви, Пол Циммерманн и Эйтн Мюррей, для одномерных свойств замыкания и доказательства [3]
- mgfun, разработанного Фредериком Чизаком, для многомерных свойств замыкания и доказательства [4]
- numgfun, разработанного Марк Меззаробба, для числовой оценки

См. Также

Динамический словарь математических функций, онлайн-программное обеспечение, основанное на голономных функциях для автоматического изучения многих классических и специальных функций (оценка в точке, ряд Тейлора и асимптотическое разложение с любой заданной пользователем точностью, дифференциальное уравнение, повторение для коэффициенты ряда Тейлора, производная, неопределенный интеграл, построение графиков,...)

Примечания

Ссылки

Flajolet, Philippe; Герхольд, Стефан; Салви, Бруно (2005), «О неголономном характере логарифмов, степеней и n-й простой функции», Электронный журнал комбинаторики, 11 (2).

Флажолет, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521898065. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Кауэрс, Мануэль; Пол, Питер (2011). Конкретный тетраэдр: символические суммы, рекуррентные уравнения, производящие функции, асимптотические оценки. Текст и монографии в символьных вычислениях. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Клазар, Мартин (2003). «Неприводимые и связанные перестановки» (PDF) (122). Цитировать журнал требует | journal =() CS1 maint: ref = harv (link ) (препринт серии ITI)

Маллинджер, Кристиан (1996). Алгоритмические манипуляции и преобразования одномерных голономных функций и последовательностей (PDF) (Thesis). Проверено 4 июня 2013 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Стэнли, Ричард П. ( 1999). Enumerative Combinatorics. 2 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56069-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Zeilberger, Doron (1990). "Голограмма номико-системный подход к тождествам специальных функций ». Журнал вычислительной и прикладной математики. 32 (3): 321–368. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (90) 90042-X. ISSN 0377-0427. MR 1090884. CS1 maint: ref = harv (ссылка )