Helix

редактировать
Тип гладкой пространственной кривой Правая спираль (cos t, sin t, t) от t = 0 до 4π со стрелками, показывающими направление увеличения t

A спирали (), множественных спиралей или спиралей (), имеет форму штопора или винтовой лестницы. Это тип гладкой пространственной кривой с касательными под постоянным углом к фиксированной оси. Спирали важны в биологии, поскольку молекула ДНК формируется как две переплетенные спирали, и многие белки имеют спиральные субструктуры, известные как альфа-спирали. Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ, «скрученный, изогнутый». «Заполненная» спираль - например, «спиральная» (спиральная) наклонная поверхность - называется геликоидом.

Содержание
  • 1 Типы
  • 2 Математическое описание
    • 2.1 Длина дуги, кривизна и кручение
  • 3 Примеры
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки
Типы

Спирали могут быть правосторонними или левосторонними. Если при взгляде вдоль оси спирали вращательное движение по часовой стрелке отодвигает спираль от наблюдателя, то это называется правой спиралью; если в сторону наблюдателя, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) - это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левосторонняя, если ее не смотреть в зеркало, и наоборот..

Два типа спирали показаны в сравнении . Это показывает две хиральности спиралей. Один левша, а другой правша. В каждой строке сравниваются две спирали с разных точек зрения. Хиральность - это свойство объекта, а не перспективы (угол обзора)

Большинство аппаратных средств резьбы имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z-форма ДНК является левосторонней.

Шаг шаг спирали - это высота одного полного витка спирали, измеренная параллельно оси спирали.

A двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и той же осью, различающихся перемещением вдоль оси.

A коническая спираль может быть определена как спираль на конической поверхности, причем расстояние до вершины экспоненциально зависит от угла, указывающего направление от оси. Примером могут служить американские горки Corkscrew в парке развлечений Cedar Point.

A круговая спираль, (т.е. спираль с постоянным радиусом) имеет постоянную полосу кривизну и постоянную кручение.

Кривая называется общей спиралью или цилиндрическая спираль, если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению является постоянным.

Геометрический шаг - это расстояние, на которое продвинется элемент винта самолета. за один оборот, если бы он двигался по спирали, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси воздушного винта.

Кривая называется наклонной спиралью, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Его можно построить, применив преобразование к движущейся системе отсчета общей спирали.

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных вместе переходами, известными как извращения усиков.

Математический описание
Спираль, составленная из синусоидальных компонентов x и y

В математике спираль - это кривая в 3- мерном пространстве. Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; возможно, самое простое уравнение для одного:

x (t) = cos ⁡ (t), {\ displaystyle x (t) = \ cos (t), \,}x (t) = \ cos (t), \,
y (t) = sin ⁡ (t), {\ Displaystyle у (т) = \ грех (т), \,}y (t) = \ sin (t), \,
г (т) = т. {\ displaystyle z (t) = t. \,}z (t) = t. \,

По мере увеличения параметра t точка (x (t), y (t), z (t)) отслеживает правый спираль с шагом 2π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правой системе координат.

В цилиндрических координатах (r, θ, h) одна и та же спираль параметризуется следующим образом:

r (t) = 1, {\ displaystyle r (t) = 1, \,}р (т) = 1, \,
θ (t) знак равно t, {\ displaystyle \ theta (t) = t, \,}\ theta (t) = t, \,
h (t) = t. {\ displaystyle h (t) = t. \,}h (t) = t. \,

Круговая спираль радиуса a и наклона b / a (или шага 2πb) описывается следующей параметризацией:

x (t) = a cos ⁡ (T), {\ Displaystyle х (т) = а \ соз (т), \,}x (t) = a \ cos (t), \,
у (т) = грех ⁡ (т), {\ Displaystyle у (т) = а \ грех (т), \,}y (t) = a \ sin (t), \,
z (t) = bt. {\ displaystyle z (t) = bt. \,}z (t) = bt. \,

Другой способ математического построения спирали - построить комплексную функцию e как функцию действительного числа x (см. формулу Эйлера ). Значение x, а также действительная и мнимая части значения функции дают этому графику три реальных измерения.

За исключением поворотов, перемещений и изменений масштаба, все правые спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентная левая спираль может быть построена несколькими способами, самым простым из которых является отрицание любого из компонентов x, y или z.

Длина дуги, кривизна и кручение

Длина круговой спирали с радиусом a и наклоном b / a (или шагом 2πb), выраженная в прямоугольных координатах как

t ↦ (a cos ⁡ T, грех ⁡ T, bt), T ∈ [0, T] {\ displaystyle t \ mapsto (a \ cos t, a \ sin t, bt), t \ in [0, T]}t \ mapsto ( а \ соз т, а \ грех т, бт), т \ в [0, Т]

равно T ⋅ a 2 + b 2 {\ displaystyle T \ cdot {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}T \ cdot \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} , его кривизна это | а | a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ frac {| a |} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}\ frac {| a |} {a ^ 2 + b ^ 2} и его кручение равно ба 2 + б 2. {\ displaystyle {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}\ frac {b} {a ^ 2 + b ^ 2 }. Спираль имеет постоянную ненулевую кривизну и кручение.

Спираль - это векторнозначная функция

r = a cos ⁡ ti + a sin ⁡ tj + btk {\ displaystyle \ mathbf {r} = a \ cos t \ mathbf {i} + a \ sin t \ mathbf {j} + bt \ mathbf {k}}{\ displaystyle \ mathbf {r} = a \ cos t \ mathbf {i} + a \ sin t \ mathbf {j} + bt \ mathbf {k}}

v = - грех ⁡ ti + a cos ⁡ tj + bk {\ displaystyle \ mathbf {v} = -a \ sin t \ mathbf { я} + a \ соз t \ mathbf {j} + b \ mathbf {k}}{\ displaystyle \ mathbf {v} = -a \ sin t \ mathbf {i} + a \ cos t \ mathbf {j} + b \ mathbf {k}}

a = - a cos ⁡ ti - грех ⁡ tj + 0 k {\ displaystyle \ mathbf {a} = -a \ cos t \ mathbf {i} -a \ sin t \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}{\ displaystyle \ mathbf {a} = -a \ cos t \ mathbf {i} -a \ sin t \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}

| v | Знак равно (- грех ⁡ T) 2 + (a соз ⁡ t) 2 + b 2 = a 2 + b 2 {\ displaystyle | \ mathbf {v} | = {\ sqrt {(-a \ sin t) ^ { 2} + (a \ cos t) ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}{\ displaystyle | \ mathbf {v} | = {\ sqrt {(-a \ sin t) ^ {2} + (a \ cos t) ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

| а | Знак равно (- грех ⁡ T) 2 + (a соз ⁡ t) 2 знак равно a {\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ sqrt {(-a \ sin t) ^ {2} + (a \ cos t) ^ {2}}} = a}{\ displaystyle | \ mathbf {a} | = { \ sqrt {(-a \ sin t) ^ {2} + (a \ cos t) ^ {2}}} = a}

s (t) = ∫ 0 ta 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t {\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} d \ tau = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} t}{\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} d \ tau = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} t}

Таким образом, спираль может быть повторно параметризованным как функция от s {\ displaystyle s}s , который должен быть единичной скоростью:

r (s) = a cos ⁡ sa 2 + b 2 i + a sin ⁡ sa 2 + b 2 j + bsa 2 + b 2 к {\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = a \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} \ mathbf {i} + a \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} + {\ frac {bs} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {k}}{\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = a \ cos {\ frac {s } {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + a \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} \ mathbf {j} + {\ frac {bs} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {k}}

Единичный касательный вектор равен

drds = T = - aa 2 + b 2 sin ⁡ sa 2 + b 2 i + aa 2 + b 2 соз ⁡ sa 2 + b 2 j + ba 2 + b 2 k {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {T} = {\ frac { -a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf { i} + {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} }}} \ mathbf {j} + {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {k}}{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {T } = {\ frac {-a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} }}} \ mathbf {i} + {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} + {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {k}}

Вектор нормали равен

d T ds = κ N = - aa 2 + b 2 cos ⁡ sa 2 + b 2 i + - aa 2 + b 2 грех ⁡ sa 2 + b 2 J + 0 к {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} = \ kappa \ mathbf {N} = {\ frac {- a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + {\ frac {-a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} = \ kappa \ mathbf {N} = {\ frac {-a} { a ^ {2} + b ^ {2}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + {\ frac {- а} {а ^ {2} + Ь ^ {2 }}} \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}

Его кривизна | d T d s | = κ = | а | a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ bigg |} {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} {\ bigg |} = \ kappa = {\ frac {| a |} {a ^ {2 } + b ^ {2}}}}{\ displaystyle {\ bigg |} {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} {\ bigg |} = \ kappa = {\ frac {| a |} {a ^ {2} + b ^ {2}}}} .

Единичный вектор нормали равен

N = - cos ⁡ sa 2 + b 2 i - sin ⁡ sa 2 + b 2 j + 0 k {\ displaystyle \ mathbf { N} = - \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} - \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}{\ displaystyle \ mathbf {N} = - \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2 }}}} \ mathbf {i} - \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}

Вектор бинормали равен

B = T × N = 1 a 2 + b 2 [b sin ⁡ sa 2 + b 2 я - b соз ⁡ sa 2 + b 2 j + ak] {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {\ bigg [} b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} -b \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} + a \ mathbf {k} {\ bigg]}}{\ displaystyle \ mathbf { B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {\ bigg [} b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} -b \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ { 2}}}} \ mathbf {j} + a \ mathbf {k} {\ bigg]}}

. d B ds = 1 a 2 + b 2 [b cos ⁡ sa 2 + b 2 i + b sin ⁡ sa 2 + b 2 j + 0 k] {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} = {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} {\ bigg [} b \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf { k} {\ bigg]}}{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} = {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} {\ bigg [} b \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {i} + b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {к} {\ bigg]}}

Его кручение τ = | d B d s | = ba 2 + b 2 {\ displaystyle \ tau = {\ bigg |} {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} {\ bigg |} = {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}{\ displaystyle \ tau = {\ bigg |} {\ frac {d \ mathbf {B} } {ds}} {\ bigg |} = {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}} .

Примеры

В музыке пространство тона часто моделируется спиралями или двойными спиралями, чаще всего выходящими из круг, такой как круг квинтов, чтобы представить октавную эквивалентность.

См. Также
Ссылки

<https://www.merriam-webster.com/dictionary/geometrical%20pitch

Последняя правка сделана 2021-05-23 05:45:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте