Элемент (теория категорий)

В теории категорий понятие элемента, или точка, обобщает более обычную теоретико-множественную концепцию элемента из множества на объект любой категории. Эта идея часто позволяет переформулировать определения или свойства морфизмов (например, мономорфизм или продукт ), заданные универсальным свойством, в более привычных терминах, указав их связь элементам. Некоторые очень общие теоремы, такие как лемма Йонеды и теорема вложения Митчелла, очень полезны для этого, позволяя работать в контексте, где эти переводы допустимы. Такой подход к теории категорий, в частности, использование леммы Йонеды таким образом, обусловлен Гротендиком, и его часто называют методом функтора точек .

• 1 Определение
• 2 Свойства морфизмов
• 3 Геометрическое происхождение
• 4 Связь с теорией множеств
• 5 Ссылки

Предположим, C - любое категория и A, T - это два объекта C . Точка A со значением T - это просто стрелка $p:\; T\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; двоеточие\; T\; \backslash \; to\; A\}$. Множество всех T-значных точек A изменяется функториально с T, порождая «функтор точек» A; согласно лемме Йонеды, это полностью определяет A как объект C.

Многие свойства морфизмов могут быть переформулированы в терминах точек. Например, карта $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$называется мономорфизмом, если

Для всех карт $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$, $час\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$, $f\; \circ \; g\; =\; f\; \circ \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; g\; =\; f\; \backslash \; circ\; h\}$подразумевает $g\; =\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; h\}$.

Предположим, $f:\; B\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; B\; \backslash \; to\; C\}$и $g,\; h:\; A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; g,\; h\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; в\; B\}$в C. Тогда g и h являются A-значными точками B, и, следовательно, мономорфизм эквивалентен более известному утверждению

f является мономорфизмом, если это инъективная функция по пунктам B.

Требуется некоторая осторожность. f является эпиморфизмом, если выполняется двойное условие:

Для всех отображений g, h (некоторого подходящего типа) $g\; \circ \; f\; =\; h\; \circ \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; f\; =\; h\; \backslash \; circ\; f\}$подразумевает $g\; =\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; h\}$.

В теории множеств термин «эпиморфизм» является синонимом «сюръекции», т.е.

Каждая точка C является изображением под f некоторой точки B.

Это явно не перевод первого утверждения на язык точек, и на самом деле эти утверждения в целом не эквивалентны. Однако в некоторых контекстах, таких как абелевы категории, «мономорфизм» и «эпиморфизм» поддерживаются достаточно строгими условиями, которые фактически допускают такую ​​переинтерпретацию точек.

Точно так же категориальные конструкции, такие как продукт, имеют обозначенные аналоги. Напомним, что если A, B - два объекта из C, их произведение A × B является таким объектом, что

Существуют карты $p:\; A\; \times \; B\; \to \; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; to\; A,\}$$q:\; A\; \times \; B\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; to\; B\}$и для любых T и карт $f:\; T\; \to \; A,\; g:\; T\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; T\; \backslash \; to\; A,\; g\; \backslash \; двоеточие\; T\; \backslash \; to\; B\}$, существует уникальная карта $h:\; T\; \to \; A\; \times \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; двоеточие\; T\; \backslash \; to\; A\; \backslash \; times\; B\}$так, что $f\; =\; p\; \circ \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; p\; \backslash \; circ\; h\}$и $g\; =\; q\; \circ \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; q\; \backslash \; circ\; h\}$.

В этом определении f и g являются T-значными точками A и B, соответственно, а h - T-значной точкой A × Б. Таким образом, альтернативное определение продукта:

A × B является объектом C вместе с картами проекции $p:\; A\; \times \; B\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; to\; A\}$и $q:\; A\; \times \; B\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; to\; B\}$, так что p и q образуют биекция между точками A × B и парами точек A и B.

Это более знакомое определение произведения двух множеств.

Терминология геометрического происхождения; в алгебраической геометрии Гротендик ввел понятие схемы, чтобы объединить предмет с арифметической геометрией, которая имела дело с той же идеей изучения решений полиномиальных уравнения (т.е. алгебраические разновидности ), но решениями являются не комплексные числа, а рациональные числа, целые числа или даже элементы некоторых конечное поле. В таком случае схема и есть такая: схема для объединения всех проявлений разнообразия, определяемого одними и теми же уравнениями, но с решениями, взятыми в разных наборах чисел. Одна схема дает сложное разнообразие, точками которого являются его $(Spec\; \; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$-значные точки, а также множество из $(Spec\; \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\}$-значных точек (рациональные решения уравнений) и даже $(Spec\; \; F\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\})\}$-значные точки (решения по модулю p).

Из этого примера очевидна одна особенность языка точек: в общем случае недостаточно рассматривать только точки со значениями в одном объекте. Например, уравнение $x\; 2\; +\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; =\; 0\}$(которое определяет схему) не имеет реальных решений, но у него есть сложные решения, а именно $\pm \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; i\}$. Он также имеет одно решение по модулю 2 и два по модулю 5, 13, 29 и т. Д. (Все простые числа, которые равны 1 по модулю 4). Простое использование реальных решений не даст никакой информации.

Ситуация аналогична случаю, когда C представляет собой категорию Set наборов фактических элементов. В этом случае у нас есть "одноточечный" набор {1}, и элементы любого набора S такие же, как {1} -значные точки S. Кроме того, есть {1,2 } -значные точки, которые являются парами элементов S или элементами S × S. В контексте множеств эти более высокие точки являются посторонними: S полностью определяется своими {1} -точками. Однако, как показано выше, это особенный случай (в данном случае это потому, что все наборы повторяются копроизведениями из {1}).

• Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1985). Топосы, тройки и теории (PDF). Спрингер.
• Awodey, Steve (2006). Теория категорий. Издательство Оксфордского университета. Раздел 2.3. ISBN 0-19-856861-4.