Статья списка Викимедиа с правилами вычисления производной функции в исчислении
Это краткое изложение правила дифференцирования, то есть правила для вычисления производной функции в исчислении.
Содержание
- 1 Элементарные правила дифференцирования
- 1.1 Линейное дифференцирование
- 1.2 Правило произведения
- 1.3 Цепное правило
- 1.4 Правило обратной функции
- 2 Степенные законы, многочлены, частные и обратные
- 2.1 Полиномиальное или элементарное правило степени
- 2.2 Правило взаимности
- 2.3 Правило частного
- 2.4 Обобщенное правило степени
- 3 Производные экспоненциальной и логарифмической функций
- 3.1 Логарифмические производные
- 4 Производные тригонометрических функций
- 5 Производные гиперболические функции
- 6 Производные специальных функций
- 7 Производные интегралов
- 8 Производные до n-го порядка
- 8.1 Формула Фаа ди Бруно
- 8.2 Общее правило Лейбница
- 9 См. Также
- 10 Ссылки
- 11 Источники и дополнительная литература
- 12 Внешние ссылки
Элементарные правила дифференциации
Если не указано иное, все функции функции вещественных чисел (R), возвращающие действительные значения; хотя в более общем плане формулы ниже применяются везде, где они четко определены - включая случай комплексных чисел (C).
Линейное дифференцирование
Для любых функций и и любые действительные числа и , производная функции в отношении равно
В нотации Лейбница это записывается как:
Специальные случаи включают:
- правило постоянного множителя
Правило произведения
Для функций f и g производная функции h (x) = f (x) g ( x) по отношению к x равно
В обозначениях Лейбница это записано
Цепное правило
Производная функции равна
В обозначениях Лейбница это записывается как:
часто сокращается до
Сосредоточившись на понятии карт, а дифференциал - это карта , это записывается более кратко как :
Правило обратной функции
Если функция f имеет обратную функцию g, что означает, что и , тогда
В системе обозначений Лейбница это записывается как
Степенные законы, многочлены, частные и обратные
Правило полинома или элементарной степени
Если , для любого действительного числа , тогда
Когда , это становится особым случаем, если , затем
Комбинирование правила мощности с правилами суммы и множественного числа констант позволяет вычислить производную любого многочлена.
Правило взаимности
Производная от для любой (отличной от нуля) функции f:
- везде, где f не равно нулю.
В обозначениях Лейбница это записывается
Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепочки.
Правило частного
Если f и g - функции, то:
- где g не равно нулю.
Это может быть производным от правила продукта и правила взаимности.
Обобщенное правило мощности
Правило элементарной мощности значительно обобщает. Наиболее общее правило мощности - это правило функциональной мощности : для любых функций f и g
везде, где обе стороны четко определены.
Особые случаи
- Если , тогда когда a - любое ненулевое действительное число, а x - положительное число.
- Правило взаимности может быть получено как частный случай, когда .
Производные экспоненциальной и логарифмической функций
вышеупомянутое уравнение верно для ll c, но производная для дает комплексное число.
вышеприведенное уравнение также верно для всех c, но дает комплексное число, если .
Логарифмическая производная
логарифмическая производная - это еще один способ определения правила дифференцирования логарифма функции (с использованием цепного правила):
- везде, где f положительно.
Логарифмическое дифференцирование - это метод, который использует логарифмы и их правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. Логарифмы могут использоваться для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание - каждое из которых может привести к упрощенному выражению для получения производных.
Производные тригонометрических функций
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Обычно дополнительно определяют функция обратной тангенса с двумя аргументами, . Его значение находится в диапазоне и отражает квадрант точки . Для первого и четвертого квадранта (т.е. ) один имеет . Его частные производные равны
и |
Производные гиперболических функций
| |
| |
| |
| |
| |
| |
См. гиперболический функции для ограничений на эти производные.
Производные специальных функций
- Дзета-функция Римана
|
Производные интегралов
Предположим, что требуется дифференцировать по x функцию
где функции и оба непрерывны в обоих и в некоторой области плоскость, включая , а функции и оба непрерывны, и оба имеют непрерывные производные для . Тогда для :
Эта формула является общей формой Интегральное правило Лейбница и может быть получено с использованием фундаментальной теоремы исчисления.
Производные до n-го порядка
Существуют некоторые правила для вычисления n-й производной функций, где n - положительное число. К ним относятся:
Формула Фаа ди Бруно
Если f и g дифференцируемы n раз, то
где и набор состоит из всех не -отрицательные целочисленные решения диофантова уравнения .
Общее правило Лейбница
Если f и g дифференцируемы n раз, то
См. Также
Ссылки
Источники и дополнительная литература
Эти правила приведены во многих книгах, как на элементарное и продвинутое исчисление, в чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (в дополнение к приведенным выше ссылкам), могут быть найдены в:
- Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Обзорная серия Шаума, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
- Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
- Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М. Хобсон, С.Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
- Справочник NIST по математическим функциям, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.
Внешние ссылки