Исключение девяток

Исключение девяток - это любая из трех арифметических процедур:

• Добавление десятичных цифр положительного числа целое число, при необходимости игнорируя любые 9 или цифры, сумма которых кратна 9. Результатом этой процедуры является число, которое меньше оригинала, если оригинал содержит более одной цифры, остается тот же остаток, что и оригинал после деления на девять и может быть получен из оригинала путем вычитания из него числа, кратного 9. Название процедуры происходит от этого последнего свойства.
• Повторное применение этой процедуры к результатам, полученным из предыдущих приложений, до тех пор, пока не будет получено однозначное число. Это однозначное число называется «цифровой корень » оригинала. Если число делится на 9, его цифровой корень равен 9. В противном случае его цифровой корень - это остаток, который он оставляет после деления на 9.
• A проверка работоспособности, в которой для проверки используются вышеупомянутые процедуры. ошибки в арифметических расчетах. Проверка выполняется путем применения той же последовательности арифметических операций к цифровым корням операндов, что и к самим операндам. Если в расчетах не было ошибок, цифровые корни двух результирующих должны быть одинаковыми. Следовательно, если они различаются, значит, в расчетах была допущена одна или несколько ошибок.

• 1 Цифры
• 2 Цифровые корни
• 3 Проверка расчетов путем отбрасывания девяток
• 4 Примеры
  • 4.1 Сложение
  • 4.2 Вычитание
  • 4.3 Умножение
  • 4.4 Деление
• 5 Как это работает
• 6 Вариант объяснения
• 7 Ограничение на выбрасывание девяток
• 8 История
• 9 Обобщение
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Чтобы «отбросить девятки» из одного числа, его десятичные цифры можно просто сложить вместе, чтобы получить его так называемую цифровую сумму. Сумма цифр 2946, например, равна 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Так как 21 = 2946 - 325 × 9, результат взятия суммы цифр 2946 заключается в «отбрасывании» из нее 325 лотов по 9. Если цифра 9 игнорируется при суммировании цифр, эффект заключается в "отбрасывании" еще одной 9, чтобы получить результат 12.

В более общем смысле, при отбрасывании девяток суммированием цифр любой набор цифр, который сложить до 9 или кратное 9 можно игнорировать. В числе 3264, например, сумма цифр 3 и 6 равна 9. Таким образом, игнорируя эти две цифры и суммируя две другие, мы получаем 2 + 4 = 6. Поскольку 6 = 3264 - 362 × 9, это вычисление имеет в результате было выброшено 362 лота по 9 из 3264.

Для произвольного числа $10\; ndn\; +\; 10\; n\; -\; 1\; dn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; d\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\; d\_\; \{\; n\}\; +\; 10\; ^\; \{n-1\}\; d\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; d\_\; \{0\}\}$, обычно представлен последовательностью десятичных цифр, $dndn\; -\; 1\dots \; d\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\}\; d\_\; \{n-1\}\; \backslash \; dots\; d\_\; \{0\}\}$, сумма цифр $dn\; +\; dn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; d\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\; \}\; +\; d\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; d\_\; \{0\}\}$. Разница между исходным числом и его цифрой составляет

$10\; ndn\; +\; 10\; n\; -\; 1\; dn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; d\; 0\; -\; (dn\; +\; dn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; d\; 0)\; =\; (10\; n\; -\; 1)\; dn\; +\; (10\; п\; -\; 1\; -\; 1)\; дн\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; 9\; д\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 10\; ^\; \{n\}\; d\_\; \{n\}\; +\; 10\; ^\; \{n-1\}\; d\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; d\_\; \{0\}\; -\; \backslash \; left\; (d\_\; \{n\}\; +\; d\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; d\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; \backslash \; left\; (10\; ^\; \{n\}\; -1\; \backslash \; right)\; d\_\; \{n\}\; +\; \backslash \; left\; (10\; ^\; \{n-1\}\; -1\; \backslash \; right)\; d\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; 9d\_\; \{1\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Потому что числа вида $10\; i\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{i\}\; -1\}$всегда делятся на 9 (поскольку $10\; i\; -\; 1\; =\; 9\; \times \; (10\; i\; -\; 1\; +\; 10\; i\; -\; 2\; +\; \cdots \; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{i\}\; -\; 1\; =\; 9\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (10\; ^\; \{i-1\}\; +\; 10\; ^\; \{i-2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +1\; \backslash \; right)\}$), замена исходного числа его цифровой суммой имеет эффект выброса

$10\; n\; -\; 1\; 9\; dn\; +\; 10\; n\; -\; 1\; -\; 1\; 9\; dn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{n\}\; -1\}\; \{9\}\}\; d\_\; \{\; n\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{n-1\}\; -1\}\; \{9\}\}\; d\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; d\_\; \{1\}\}$

лоты по 9.

Если процедура, описанная в предыдущем абзаце, многократно применяется к результату каждого предыдущего приложения, конечным результатом будет однозначное число, из которого были взяты все девятки, за возможным исключением одного. "изгнать". Получившееся однозначное число называется цифровым корнем оригинала. Исключение возникает, когда исходное число имеет цифровой корень из 9, сумма цифр которого равна самой себе, и, следовательно, не будет выбрано путем взятия дополнительных сумм цифр.

Число 12565, например, имеет сумму цифр 1 + 2 + 5 + 6 + 5 = 19, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1 + 9 = 10, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1 + 0 = 1, однозначное число. Таким образом, цифровой корень 12565 равен 1, и его вычисление приводит к выбрасыванию (12565 - 1) / 9 = 1396 лотов из 9 из 12565.

Чтобы проверить результат арифметического вычисления путем отбрасывания девяток, каждое число в вычислении заменяется его цифровым корнем, и те же вычисления применяются к этим цифровым корням. Затем цифровой корень результата этого вычисления сравнивается с результатом первоначального вычисления. Если в расчетах не было ошибок, эти два цифровых корня должны быть одинаковыми. Примеры, в которых выбрасывание девяток использовалось для проверки сложения, вычитания, умножения и деления, приведены ниже.

Сложение

В каждом слагаемом вычеркните все 9 и пары цифр, которые составляют 9, затем сложите оставшееся. Эти новые ценности называются эксцессами. Сложите оставшиеся цифры для каждого добавления, пока не будет достигнута одна цифра. Теперь обработайте сумму , а также эксцессы, чтобы получить окончательное превышение.

$3\; 2\; 6\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{3\}\}\; \backslash \; \backslash \; 2\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{6\}\}\; \backslash \; 4\; \backslash \}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; bcancel\; \{6\}\}\}$	2 и 4 в сумме дают 6.
$8\; 4\; 1\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{8\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{4\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{1\}\}\; \{\; \backslash \; bcancel\; \{5\}\}\}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; 0\}$	8 + 1 = 9 и 4 + 5 = 9; цифр не осталось.
$2\; 9\; 4\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{9\}\}\; \backslash \; 4\; \backslash \; \backslash \; 6\; \backslash \}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{3\}\}\; \}$	2, 4 и 6 составляют 12; 1 и 2 составляют 3.
$+\; 3\; 2\; 0\; 6\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{+\; \{\backslash \; bcancel\; \{3\}\}\; \backslash \; 2\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{6\}\}\}\}\}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; 2\}$	2 и 0 равны 2.
$1\; 7\; 8\; 3\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{1\}\}\; \backslash \; 7\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{\; 8\}\}\; \backslash \; 3\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \}$		$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigg\; \backslash \; Downarrow\}\}$	6, 0, 3 и 2 составляют 11; 1 и 1 в сумме дают 2.
$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$
$2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{2\}\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$	Превышение суммы должно равняться окончательному превышению суммы добавлений.

Вычитание

$5\; 6\; 4\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{5\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{6\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{4\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{3\}\}\}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$0\; (9)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; (9)\}$	Сначала вычеркните все 9 и цифры, которые в сумме составляют 9 в обоих minuend и вычтите ( курсивом).
$-\; 2\; 8\; 9\; 1\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{-\; \backslash \; 2\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{8\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{9\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{1\}\}\}\}\}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$-\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -2\}$	Сложите оставшиеся цифры для каждого значения, пока не будет достигнута одна цифра.
$2\; 7\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{2\}\}\; \backslash \; 7\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{5\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{2\}\}\}$		$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigg\; \backslash \; Downarrow\}\}$	Теперь проделайте ту же процедуру с разницей до одной цифры.
$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$			Поскольку вычитание 2 из нуля дает отрицательное число, позаимствуйте 9 из уменьшаемого.
$7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{7\}\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$	$7\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\}$	Разница между минимальным и вычитаемым превышениями должна равняться превышению разницы.

Умножение

$5\; 4\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{5\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{4\}\}\; \backslash \; 8\; \backslash \}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$8\; \{\backslash \; displaystyle\; 8\}$	Сначала вычеркните все 9 и цифры, которые составляют 9 в каждом множителе (курсивом).
$\times \; 6\; 2\; 9\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; times\; \backslash \; 6\; \backslash \; \backslash \; 2\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{9\}\}\}\}\}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$8\; \{\backslash \; displaystyle\; 8\}$	Сложите оставшиеся цифры для каждого множимого, пока не будет достигнута одна цифра.
$3\; 4\; 4\; 6\; 9\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; bcancel\; \{3\}\}\; \backslash \; 4\; \backslash \; \backslash \; 4\; \backslash \; \{\backslash \; bcancel\; \{6\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{9\}\}\; \backslash \; 2\; \backslash \}\}$		$\Downarrow \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bigg\; \backslash \; Downarrow\}\}$	Умножьте два превышения, а затем складывайте, пока не будет достигнута одна цифра.
$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$			Сделайте то же самое с продуктом, вычеркнув 9 и получив одну цифру.
$1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\}\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	Превышение продукта должно равняться окончательному превышению факторов.

8 умножить на 8 равно 64; 6 и 4 равны 10; 1 и 0 равны 1.

Division

$27\; 54\; 62\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bcancel\; \{27\}\}\; \{\backslash \; bcancel\; \{54\}\}\; 62\}$	$÷\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; div\}$	$877\; \{\backslash \; displaystyle\; 877\}$	$=\; \{\backslash \; displaystyle\; =\}$	$314\; \{\backslash \; displaystyle\; 314\}$	$р.\; \{\backslash \; displaystyle\; r.\}$	$84\; \{\backslash \; displaystyle\; 84\}$	Вычеркните все 9 и цифры, которые составляют 9 в делителе, частном и остатке..
$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$		$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$		$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$		$\Downarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Downarrow\}$	Сложите все неперечеркнутые цифры из каждой значение, пока для каждого значения не будет достигнута одна цифра.
$8\; \{\backslash \; displaystyle\; 8\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$	$(4\; \{\backslash \; displaystyle\; (4\}$	$\times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; times\}$	$8)\; \{\backslash \; displaystyle\; 8)\; \}$	$+\; \{\backslash \; displaystyle\; +\}$	$3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$	Превышение дивиденда должно равняться окончательному превышению других значений. Другими словами, вы выполняете ту же процедуру, что и при умножении, только в обратном порядке. 8x4 = 32, что равно 5, 5 + 3 = 8. И 8 = 8.

Метод работает, потому что исходные числа являются «десятичными» (основание 10), модуль выбирается таким, чтобы он отличался на 1, а исключение эквивалентно взятию цифры суммы. В общем, любые два «больших» целых числа, x и y, выраженные в любом меньшем модуле как x 'и y' (например, по модулю 7), всегда будут иметь ту же сумму, разницу или произведение, что и их оригиналы. Это свойство также сохраняется для «суммы цифр», где основание и модуль различаются на 1.

Если расчет был правильным перед вытеснением, вытеснение с обеих сторон сохранит правильность. Однако возможно, что два ранее неравных целых числа будут идентичны по модулю 9 (в среднем в девятой части времени).

Операция не работает с дробями, поскольку данное дробное число не имеет уникального представления.

Хороший трюк для маленьких детей, чтобы научиться складывать девять, - это прибавить десять к цифре и отсчитать единицу. Поскольку мы добавляем 1 к разряду десятков и вычитаем единицу из цифры единицы, сумма цифр должна оставаться неизменной. Например, 9 + 2 = 11 с 1 + 1 = 2. При добавлении 9 к самому себе, мы ожидаем, что сумма цифр будет равна 9 следующим образом: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) и 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9). Давайте посмотрим на простое умножение: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Теперь рассмотрим (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) или 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17, (1 + 7 = 8).

Любое неотрицательное целое число можно записать как 9 × n + a, где 'a' - это одна цифра от 0 до 8, а 'n' - некоторое неотрицательное целое число. Таким образом, используя правило распределения, (9 × n + a) × (9 × m + b) = 9 × 9 × n × m + 9 (am + bn) + ab. Поскольку первые два множителя умножаются на 9, их суммы будет 9 или 0, в результате чего останется ab. В нашем примере «a» было 7, а «b» было 5. Мы ожидаем, что в любой базовой системе число перед этой базой будет вести себя так же, как девять.

Хотя исключение девяток чрезвычайно полезно, оно не позволяет выявить все ошибки, сделанные при выполнении вычислений. Например, метод исключения девяток не распознает ошибка при вычислении 5 × 7, которая дала любой из ошибочных результатов 8, 17, 26 и т. д. (то есть любой результат, соответствующий 8 по модулю 9). Другими словами, метод выявляет только ошибочные результаты, цифры которых l корень - это одна из 8 цифр, которая отличается от правильного результата.

Известная древнегреческим математикам форма изгнания девяток была описана римским епископом Ипполитом (170–235) в Опровержении всего Ереси, и более кратко сирийского философа-неоплатоника Ямвлиха (c.245 – c.325) в его комментарии к Введение в арифметику книги Никомаха из Герасы. Однако описания Ипполита и Ямвлиха ограничивались объяснением того, как повторяющиеся цифровые суммы греческих чисел использовались для вычисления уникального «корня» между 1 и 9. Ни один из них не проявил никакого понимания того, как Процедура может использоваться для проверки результатов арифметических вычислений.

Самая ранняя из сохранившихся работ, описывающих, как выброс девяток может использоваться для проверки результатов арифметических вычислений, - это Махасиддханта, написанная около 950 года индийским математиком и астрономом Арьябхатой II ( ок. 920–1000). Примерно в 1020 году персидский эрудит Ибн Сина (Авиценна ) (ок. 980–1037) также подробно описал то, что он называл «индуистским методом» проверки арифметических вычислений путем отбрасывания девяток. 133>

В Синергетика, Р. Бакминстер Фуллер утверждает, что использовал «девятку» «до Первой мировой войны». Фуллер объясняет, как отбрасывать девятки, и делает другие утверждения о результирующих «индигах», но не отмечает, что выбрасывание девяток может привести к ложным срабатываниям.

Метод имеет поразительное сходство со стандартной обработкой сигналов и вычислительными методами обнаружения ошибок и исправлением ошибок, обычно использующих аналогичную модульную арифметику в контрольные суммы и более простые контрольные цифры.

Этот метод можно обобщить для определения остатков от деления на определенные простые числа.

Поскольку 3 · 3 = 9,

$n\; mod\; 3\; =\; (n\; mod\; 9)\; mod\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}\; =\; (n\; \{\backslash \; bmod\; \{9\}\})\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}.\}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девяток, чтобы получить остаток от деления на три.

Исключение девяноста девяток выполняется путем добавления групп из двух цифр вместо одной цифры.

Поскольку 11 · 9 = 99,

$n\; mod\; 1\; 1\; =\; (n\; mod\; 9\; 9)\; mod\; 1\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \{\backslash \; bmod\; \{1\}\}\; 1\; =\; (n\; \{\backslash \; bmod\; \{\; 9\}\}\; 9)\; \{\backslash \; bmod\; \{1\}\}\; 1.\}$

Итак, мы можем использовать остаток от исключения девяноста девяток, чтобы получить остаток от деления на одиннадцать. Это называется отбрасыванием одиннадцати .

Отбрасыванием девятисот девяноста девяти осуществляется добавлением групп из трех цифр.

Так как 37 · 27 = 999,

$n\; mod\; 3\; 7\; =\; (n\; mod\; 9\; 99)\; mod\; 3\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}\; 7\; =\; (n\; \{\backslash \; bmod\; \{\; 9\}\}\; 99)\; \{\backslash \; bmod\; \{3\}\}\; 7.\}$

Итак, мы можем использовать остаток от исключения девятисот девяноста девяток, чтобы получить остаток от деления на тридцать семь.

• Датта, Бибхатибхусан ; Сингх, Авадхеш Нараян (1962) [1935], История индуистской математики: Справочник, Бомбей: издательство Азии CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Фуллер, Р. Бакминстер (апрель 1982 г.), «Синергетика: исследования геометрии мышления» (новая редакция), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-065320- 4 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Хит, сэр Томас (1921), История греческой математики, I: От Фалеса до Евклида, Oxford: Oxford University Press CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Ипполит Римский (1919) [c.230], Опровержение всех ересей, переведено MacMahon, Rev. JH, In Roberts Donaldson (1919, pp. 9–153) CS1 maint: ref = harv (link )
• Krantz, Steven G. ( 2010), Эпизодическая история математики - математическая культура через решение задач, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-766 -3, LCCN 2010921168 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Робертс, Преподобный Александр, Д.Д. ; Дональдсон, Джеймс, доктор юридических наук, ред. (1919), Донникейские отцы. Переводы Писаний Отцов до 325 г. н.э., Vol. V, американское переиздание Эдинбургского издания, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера

• Вайсштейн, Эрик У. «Изгнание девяти». MathWorld.
• «Нумерология» Р. Бакминстер Фуллер
• «Паранормальные числа» Пол Никетт
• Грайм, Джеймс. «Изгнание девяти» (видео). YouTube. Брэди Харан. Проверено 13 сентября 2017 г.