Остаток

В математике остаток - это количество "осталось" после выполнения некоторых вычислений. В арифметике остаток - это целое число, "оставшееся" после деления одного целого числа на другое для получения целого частного (целочисленное деление ). В алгебре многочленов остаток - это многочлен, оставшийся после деления одного многочлена на другой. Операция по модулю - это операция, которая производит такой остаток при задании делимого и делителя.

В качестве альтернативы, остаток - это также то, что остается после вычитания одного числа из другого, хотя это более точно называется разницей. Это употребление можно найти в некоторых начальных учебниках; в просторечии его заменяют выражением «остальное», например «Верни мне два доллара, а остальное оставь себе». Однако термин «остаток» все еще используется в этом смысле, когда функция аппроксимируется расширением серии , где выражение ошибки («остальное») упоминается как остаточный член.

• 1 Целочисленное деление
• 2 Примеры
• 3 Для чисел с плавающей запятой
• 4 В языках программирования
• 5 Полиномиальное деление
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература

Учитывая целое число a и ненулевое целое число d, можно показать, что существуют уникальные целые числа q и r, такие что a = qd + r и 0 ≤ r <| d |. Число q называется частным, а r - остатком.

(Для доказательства этого результата см. Евклидово деление. Алгоритмы, описывающие, как вычислить остаток, см. алгоритм деления.)

Остаток, как определено выше, называется наименьшим положительным остатком или просто остатком. Целое число a либо кратно d, либо лежит в интервале между последовательными кратными d, а именно q⋅d и (q + 1) d (для положительного q).

В некоторых случаях удобно выполнять деление так, чтобы a было как можно ближе к целому кратному d, то есть мы можем записать

a = k⋅d + s, с | s | ≤ | d / 2 | для некоторого целого k.

В этом случае s называется наименьшим абсолютным остатком. Как и в случае с частным и остатком, k и s определяются однозначно, за исключением случая, когда d = 2n и s = ± n. Для этого исключения мы имеем:

a = k⋅d + n = (k + 1) d - n.

Уникальный остаток может быть получен в этом случае по некоторому соглашению, например, всегда принимая положительное значение из с.

При делении 43 на 5 получаем:

43 = 8 × 5 + 3,

, поэтому 3 - наименьший положительный остаток. У нас также есть это:

43 = 9 × 5-2,

и −2 - наименьший абсолютный остаток.

Эти определения также действительны, если d отрицательно, например, при делении 43 на −5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

и 3 - наименьший положительный остаток, а

43 = (−9) × (−5) + (−2)

и −2 - наименьший абсолютный остаток.

При делении 42 на 5 получаем:

42 = 8 × 5 + 2,

и поскольку 2 < 5/2, 2 is both the least positive remainder and the least absolute remainder.

В этих примерах получается (отрицательный) наименьший абсолютный остаток из наименьшего положительного остатка вычитанием 5, т.е. d. В целом это так. При делении на d оба остатка либо положительны и, следовательно, равны, либо имеют противоположные знаки. Если положительный остаток равен r 1, а отрицательный - r 2, то

r1= r 2 + d.

Когда a и d являются числами с плавающей запятой, где d не равно нулю, a можно разделить на d без остатка, а частное - это другое число с плавающей запятой. Однако, если частное ограничено целым числом, концепция остатка все еще необходима. Можно доказать, что существует уникальное целочисленное частное q и уникальный остаток r с плавающей запятой, такие что a = qd + r с 0 ≤ r < |d|.

Расширение определения остатка для чисел с плавающей запятой, как описано выше, является не имеет теоретического значения в математике; однако многие языки программирования реализуют это определение, см. операцию по модулю.

Хотя нет никаких трудностей, связанных с определениями, есть проблемы реализации, которые возникают, когда отрицательные числа участвуют в вычислении остатков. В разных языках программирования приняты разные соглашения. Например:

• Паскаль выбирает положительный результат операции mod, но не позволяет d быть отрицательным или нулем (так, a = (a div d) × d + a mod d не всегда верно).

• C99 выбирает остаток с тем же знаком, что и делимое a. (До C99 язык C допускал другие варианты.)

• Perl, Python (только современные версии) и Common Lisp выбирают остаток с тем же знаком, что и делитель d.

• Haskell и Scheme предлагают две функции, остаток и модуль - PL / I имеет mod и rem, а Fortran имеет по модулю и по модулю; в каждом случае первое согласуется по знаку с делимым, а второе - с делителем.

Евклидово деление многочленов очень похоже на евклидово деление целых чисел и приводит к полиномиальным остаткам. Его существование основано на следующей теореме: для двух одномерных многочленов a (x) и b (x) (где b (x) - ненулевой многочлен), определенных над полем (в частности, вещественными числами или комплексные числа ), существуют два полинома q (x) (частное) и r (x) (остаток), которые удовлетворяют:

$a\; (x)\; =\; b\; (x)\; q\; (\; x)\; +\; r\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x)\; =\; b\; (x)\; q\; (x)\; +\; r\; (x)\}$

где

где "deg (...) "обозначает степень многочлена (степень постоянного многочлена, значение которого всегда равно 0, может быть определена как отрицательная, так что это условие степени всегда будет выполняться, когда это остаток). Более того, q (x) и r (x) однозначно определяются этими соотношениями.

Это отличается от евклидова деления целых чисел тем, что для целых чисел условие степени заменяется границами остатка r (неотрицательным и меньше делителя, что гарантирует уникальность r.) Сходство между евклидовым делением целых чисел и делением полиномов мотивирует поиск наиболее общих алгебраических условий, в которых евклидово деление допустимо. Кольца, для которых существует такая теорема, называются евклидовыми областями, но в этой общности единственность частного и остатка не гарантируется.

Деление полиномов приводит к результату, известному как теорема о полиномиальном остатке : если многочлен f (x) делится на x - k, остаток равен константе r = f (k).

• Китайская теорема об остатке
• Правило делимости
• Египетское умножение и деление
• Алгоритм Евклида
• Деление в столбик
• Модульная арифметика
• Полиномиальное деление в столбик
• Синтетическое деление
• Правило Руффини, частный случай синтетическое деление
• Теорема Тейлора

1. ^Смит 1958, стр. 97
2. ^«Полное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам для целых чисел (евклидово деление - терминология)». Математическое хранилище. 2019-02-24. Проверено 27 августа 2020 г.
3. ^Ore 1988, p. 30. Но если остаток равен 0, он не является положительным, даже если он называется «положительным остатком».
4. ^Руда 1988, стр. 32
5. ^Паскаль ISO 7185: 1990 6.7.2.2
6. ^«Спецификация C99 (ISO / IEC 9899: TC2)» (PDF). 6.5.5 Мультипликативные операторы. 2005-05-06. Проверено 16 августа 2018 г. CS1 maint: location (ссылка )
7. ^
8. ^Larson Hostetler 2007, стр. 154
9. ^Rotman 2006, стр. 267
10. ^Larson Hostetler 2007, стр. 157
11. ^Вайсштейн, Эрик У. «Теорема полиномиального остатка». Mathworld.wolfram.com. Проверено 27 августа 2020 г.

• Ларсон, Рон ; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Теория чисел и ее история, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
• Смит, Дэвид Юджин (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308

• Davenport, Harold (1999). Высшая арифметика: введение в теорию чисел Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, стр. 25. ISBN 0. -521-63446-6.
• Кац, Виктор, изд. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691114859.
• Шварцман, Стивен (1994). "остаток (существительное)". Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке. Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883855119.
• Цукерман, Мартин М. Арифметика: прямой подход. Лэнхэм, Мэриленд: Rowman Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.