CAT (k) пробел

редактировать

В математике $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ mathbf { \ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ mathbf {\ operatorname {{\ textbf {CAT}}} (k)}}$ пробел, где $k {\ displaystyle k}$ $k$ - действительное число, - это конкретный тип метрическое пространство. Интуитивно понятно, что треугольники в пространстве $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ «тоньше», чем соответствующие «модельные треугольники» в пространстве стандартное пространство постоянной кривизны $k {\ displaystyle k}$ $k$ . В пространстве $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ кривизна ограничена сверху $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Примечательным частным случаем является $k = 0 {\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ ; complete $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ пробелы известны как «пространства Адамара » по имени французского математика Жака Адамара.

Первоначально Александров называл их пробелы « $R k {\ displaystyle {\ mathfrak {R}} _ {k}}$ ${\ mathfrak {R}} _ {k}$ domain». Терминология $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ была введена Михаилом Громовым в 1987 году и является сокращением для Эли Картан, Александр Данилович Александров и Виктор Андреевич Топоногов (хотя Топоногов никогда не исследовал ограниченную выше кривизну в публикациях).

Содержание

1 Определения
2 Примеры
3 Пространства Адамара
4 Свойства $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пробелы
5 Поверхности неположительной кривизны
- 5.1 Неравенство сравнения Александрова
6 См. Также
7 Ссылки

Определения

Модельные треугольники в пространствах положительных (вверху), отрицательных ( в центре) и нулевая (внизу) кривизна.

Для действительного числа $k {\ displaystyle k}$ $k$ , пусть $M k {\ displaystyle M_ {k }}$ $M_k$ обозначает единственную полную односвязную поверхность (действительное двумерное риманово многообразие ) с постоянной кривизной $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Обозначим $D k {\ displaystyle D_ {k}}$ $D_k$ диаметр из $M k {\ displaystyle M_ {k}}$ $M_k$ , что равно $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , если $k ≤ 0 {\ displaystyle k \ leq 0}$ $k \ leq 0$ и $π k {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {k}}}}$ ${\ frac {\ pi} {{\ sqrt {k}}}}$ для $k>0 {\ displaystyle k>0}$ $k>0$ .

Пусть $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ быть геодезическим метрическим пространством, то есть метрическим пространством, для которого каждые две точки $x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}$ $x, y \ in X$ может быть соединен геодезическим сегментом, длиной дуги параметризованной непрерывной кривой $γ: [a, b] → X, γ (a) знак равно Икс, γ (б) знак равно Y {\ Displaystyle \ гамма \ двоеточие [a, b] \ к X, \ \ gamma (a) = x, \ \ gamma (b) = y}$ ${\ displaystyle \ gamma \ двоеточие [a, b ] \ к X, \ \ gamma (a) = x, \ \ gamma (b) = y}$ , длина которого

L (γ) = sup {∑ i = 1 rd (γ (ti - 1), γ (ti)) | a = t 0 < t 1 < ⋯ < t r = b, r ∈ N } {\displaystyle L(\gamma)=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big)}\right|a=t_{0}

L (\ gamma) = \ sup \ left \ {\ left. \ sum _ {{i = 1}} ^ {{r}} d {\ big (} \ gamma (t _ {{i-1}}), \ gamma (t _ {{i}}) {\ big)} \ right | a = t _ {{0}} <t _ {{1}} <\ cdots <t _ {{r}} = b, r \ in {\ mathbb {N}} \ right \}

является точной isely $d (x, y) {\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ . Пусть $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ будет треугольником в $X {\ displaystyle X}$ $X$ с геодезическими сегментами в качестве сторон. $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ удовлетворяет $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ mathbf {\ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ mathbf {\ operatorname {{\ textbf {CAT}}} (k)}}$ неравенство, если существует треугольник сравнения $Δ ′ {\ displaystyle \ Delta '}$ $\Delta '$ в пространстве модели $M k {\ displaystyle M_ { k}}$ $M_k$ , со сторонами той же длины, что и стороны $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , так что расстояния между точками на $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ меньше или равны расстояниям между соответствующими точками на $Δ ′ {\ displaystyle \ Delta '}$ $\Delta '$ .

геодезического метрического пространства $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ называется $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ mathbf {\ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ mathbf {\ operatorname {{\ textbf {CAT}}} (k)}}$ пробел, если каждый геодезический треугольник $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ с периметром меньше $2 D k {\ displaystyle 2D_ {k}}$ $2D_{k}$ удовлетворяет $CAT ⁡ (k) {\ displaystyl e \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ неравенство. Метрическое пространство (не обязательно геодезическое) $(X, d) {\ displaystyle (X, \, d)}$ $(X, \, d)$ называется пространством кривизны $≤ k {\ displaystyle \ leq k}$ $\ leq k$ , если каждая точка $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет геодезически выпуклый $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ окрестности. Можно сказать, что пространство с кривизной $≤ 0 {\ displaystyle \ leq 0}$ $\ leq 0$ имеет неположительную кривизну.

Примеры

Любая $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пробел $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ также $CAT ⁡ (ℓ) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (\ ell)}$ $\ operatorname {CAT} (\ ell)$ пространство для всех $ℓ>k {\ displaystyle \ ell>k}$ $\ell>k$ . Фактически, обратное: если $X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ - это $CAT ⁡ (ℓ) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (\ ell)}$ $\ operatorname {CAT} (\ ell)$ место для все $ℓ>k {\ displaystyle \ ell>k}$ $\ell>k$ , тогда это $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ space.
The $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерное евклидово пространство $E n {\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {n}}$ ${\ mathbf {E}} ^ {n}$ с его обычная метрика - это $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ пробел. В более общем смысле, любое реальное внутреннее пространство продукта (не обязательно полное) является пространством $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ ; и наоборот, если реальное нормированное векторное пространство является $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пространство для некоторого реального $k {\ displaystyle k}$ $k$ , тогда это внутреннее пространство продукта.
$n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерное гиперболическое пространство $H n {\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {n}}$ $\ mathbf {H} ^ n$ со своей обычной метрикой $CAT ⁡ (- 1) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} ( -1)}$ $\ operatorname {CAT} (- 1)$ пробел, а следовательно, и $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ пробел.
$n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерная единичная сфера $S n {\ displaystyle \ mathbf {S} ^ {n}}$ ${\ mathbf {S}} ^ {n}$ - это $CAT ⁡ (1) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (1)}$ $\ operatorname {CAT} (1)$ space.
В более общем плане стандартное пространство $M k {\ displaystyle M_ {k}}$ $M_k$ - это $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пробел. Так, например, независимо от размера, сфера радиусом $r {\ displaystyle r}$ $r$ (и постоянной кривизной $1 r 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}}}$ $\ frac {1} {r ^ 2}$ ) является $CAT ⁡ (1 r 2) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} ({\ frac {1} {r ^ {2}}})}$ $\ operatorname {CAT} ({\ frac {1} {г ^ {2}}})$ пробел. Обратите внимание, что диаметр сферы равен $π r {\ displaystyle \ pi r}$ $\ pi r$ (измеренный на поверхности сферы), а не $2 r {\ displaystyle 2r}$ $2r$ (при измерении через центр сферы).
плоскость с проколом $Π = E 2 ∖ {0} {\ displaystyle \ Pi = \ mathbf {E} ^ {2} \ backslash \ {\ mathbf {0} \}}$ $\ Pi = {\ mathbf {E}} ^ {2 } \ backslash \ {{\ mathbf {0}} \}$ не является $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ пробел, поскольку он не является геодезически выпуклым (например, точки $(0, 1) {\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ и $(0, - 1) {\ displaystyle (0, -1)}$ $(0, -1)$ не может быть соединен геодезической в $Π {\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ с длиной дуги 2), но каждая точка $Π {\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ действительно имеет $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ геодезически выпуклую окрестность, поэтому $Π {\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ - пространство кривизны $≤ 0 {\ displaystyle \ leq 0}$ $\ leq 0$ .
закрытое подпространство $X {\ displaysty le X}$ $X$ из $E 3 {\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {3}}$ ${\ mathbf {E}} ^ {3}$ , заданный как

X = E 3 ∖ {(x, y, z) | x>0, y>0 и z>0} {\ displaystyle X = \ mathbf {E} ^ {3} \ setminus \ {(x, y, z) | x>0, y>0 {\ text {и }} z>0 \}}

X={\mathbf {E}}^{{3}}\setminus \{(x,y,z)|x>0, y>0 {\ text {and}} z>0 \}

с метрикой наведенной длины не является

CAT ⁡ (k) {\ displaystyle CAT \ operatorname {\ displaystyle CAT \ operatorname} (k)}

\ operatorname {CAT} (k)

пробел для любого

k {\ displaystyle k}

k

Любого продукта из $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ пробелы - $CAT ⁡ (0) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$ $\ operatorname {CAT} (0)$ . (Это не относится к отрицательным аргументам.)

Пробелы Адамара

Как частный случай, полное пространство CAT (0) также известно как пространство Адамара ; это аналогично ситуации для многообразий Адамара. Пространство Адамара стягиваемый (он имеет гомотопический тип единственной точки), и между любыми двумя точками пространства Адамара существует единственный геодезический отрезок, соединяющий их (на самом деле, оба свойства верны и для общих, возможно неполных, CAT (0) пространств). Наиболее важно, что функции расстояния в пространствах Адамара выпуклые : если $σ 1, σ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$ $\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}$ являются две геодезические в X, определенные в одном и том же интервале времени I, тогда функция $I → R {\ displaystyle I \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I \ to \ mathbb {R}}$ , заданная как

T ↦ d (σ 1 (T), σ 2 (T)) {\ Displaystyle т \ mapsto d {\ big (} \ sigma _ {1} (t), \ sigma _ {2} (t) {\ big)}}

t \ mapsto d {\ big (} \ sigma _ {{1}} (t), \ sigma _ {{2}} (t) {\ big)}

выпукло по t.

Свойства

CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}

\ operatorname {CAT} (k)

пробелы

Пусть $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ быть $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пробел. Тогда выполняются следующие свойства:

Для любых двух точек $x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}$ $x, y \ in X$ (с $d (x, y) < D k {\displaystyle d(x,y)$ $d (x, y) <D_ {k}$ если $k>0 {\ displaystyle k>0}$ $k>0$ ), существует уникальный геодезический сегмент, который соединяет $x {\ displaystyle x}$ $x$ с $y {\ displaystyle y }$ $y$ ; кроме того, этот сегмент непрерывно изменяется в зависимости от его конечных точек.
Каждая локальная геодезическая в $X {\ displaystyle X}$ $X$ длиной не более $D k {\ displaystyle D_ {k}}$ $D_k$ - геодезический.
$d {\ displaystyle d}$ $d$ -шары в $X {\ displaystyle X}$ $X$ с радиусом меньше $D k / 2 {\ displaystyle D_ {k} / 2}$ ${\ displaystyle D_ {k} / 2}$ являются (геодезически) выпуклыми.
Шары $d {\ displaystyle d}$ $d$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ с радиусом меньше $D k {\ displaystyle D_ {k}}$ $D_k$ являются сокращаемыми.
Приблизительные средние точки близки к средним в следующем смысле: для каждого $λ < D k {\displaystyle \lambda$ $\ lambda <D_ {k}$ и каждого $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0 }$ $\epsilon>0$ там существует a $δ = δ (к, λ, ϵ)>0 {\ displaystyle \ delta = \ delta (k, \ lambda, \ epsilon)>0}$ $\delta =\delta (k,\lambda,\epsilon)>0$ так, что если $m {\ displaystyle m}$ $m$ - это средняя точка геодезического сегмента от $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $y {\ displaystyle y}$ $y$ с $d (x, y) ≤ λ {\ displaystyle d (x, y) \ leq \ lambda}$ $d (x, y) \ leq \ lambda$ и

max {d (x, m ′), d (y, m ′)} ≤ 1 2 d (Икс, Y) + δ, {\ Displaystyle \ max {\ big \ {} d (x, m '), d (y, m') {\ big \}} \ leq {\ frac {1} { 2}} d (x, y) + \ delta,}

\max {\big \{}d(x,m'),d(y,m'){\big \}}\leq {\frac 1{2}}d(x,y)+\delta,

, затем

d (m, m ′) < ϵ {\displaystyle d(m,m')<\epsilon }

d(m,m')<\epsilon

Из этих свойств следует, что для $k ≤ 0 {\ displaystyle k \ leq 0}$ $k \ leq 0$ универсальное покрытие каждой $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пространство можно сжимать; в частности, высшие гомотопические группы такого пространства тривиальны. Как показывает пример $n {\ displaystyle n}$ $n$ -сферы $S n {\ displaystyle \ mathbf {S} ^ {n}}$ ${\ mathbf {S}} ^ {n}$ , существует, в общем, нет надежды на то, что $CAT ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ $\ operatorname {CAT} (k)$ пространство будет сокращаться, если $k>0 {\ displaystyle k>0}$ $k>0$ .

Поверхности неположительной кривизны

В области, где кривизна поверхности удовлетворяет K ≤ 0, геодезические треугольники удовлетворяют неравенствам CAT (0) сравнения геометрия, изученная Картаном, Александровым и Топоноговым, и рассмотренная позже с другой точки зрения Брюа и Титс ; благодаря видению Громова эта характеристика неположительной кривизны в терминах основного метрического пространства оказала глубокое влияние на современную геометрию и в частности геометрическая теория групп. Многие результаты, известные для гладких поверхностей и их геодезических, такие как метод Биркгофа построения геодезических с помощью его процесса сокращения кривой или теорема Ван Мангольдта и Адамара о том, что односвязная поверхность неположительной кривизны гомеоморфна плоскости, одинаково действительны и в этом более общем контексте.

Неравенство сравнения Александрова

медиана в треугольнике сравнения всегда длиннее фактической медианы.

Простейшая форма неравенства сравнения, впервые доказанная для поверхностей Александровым вокруг 1940 заявляет, что

Расстояние между вершиной геодезического треугольника и серединой противоположной стороны всегда меньше, чем соответствующее расстояние в треугольнике сравнения в плоскости с той же длиной сторон.

Из этого неравенства следует из того факта, что если c (t) описывает геодезическую, параметризованную длиной дуги, а a - фиксированная точка, то

f (t) = d (a, c (t)) - t

- это выпуклая функция, т.е.

f ¨ (t) ≥ 0. {\ displaystyle {\ ddot {f}} (t) \ geq 0.}

{\ ddot {f}} (t) \ geq 0.

Взятие геодезических полярных координат с началом в a так, чтобы ‖ c (t) ‖ = r (t), выпуклость эквивалентна

rr ¨ + r ˙ 2 ≥ 1. {\ displaystyle r {\ ddot {r}} + {\ dot {r}} ^ {2} \ geq 1.}

r {\ ddot {r}} + {\ dot {r}} ^ {2} \ geq 1.

Переходя к нормальным координатам u, v в точке c (t), это неравенство принимает вид

u + HH r v ≥ 1,

где (u, v) соответствует единичному вектору ċ (t). Это следует из неравенства H r ≥ H, что является следствием неотрицательности производной вронскиана от H и r из теории Штурма – Лиувилля.

См. Также

Теорема Картана – Адамара

Ссылки

Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин, Антон. «Александрова Геометрия, Глава 7» (PDF). Проверено 07.04.2011. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин, Антон. "Приглашение к Александровской геометрии : CAT [0] пробелы ". arXiv : 1701.03483 [math.DG ].
Ballmann, Werner (1995). Лекции по пространствам неположительной кривизны. Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. Pp. Viii + 112. ISBN 3-7643-5242-6. MR 1377265.
Bridson, Martin R. ; Haefliger, André (1999). Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук] 319. Berlin: Springer-Verlag. Pp. Xxii + 643. ISBN 3-540-64324-9. MR 1744486.
Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». Очерки теории групп. Математические науки. Res. Inst. Publ. 8. Нью-Йорк: Springer, стр. 75–263. MR 0919829.
Хиндави, Мохамад А. (2005). Асимптотические инварианты многообразий Адамара (PDF). Университет Пенсильвании: докторская диссертация. 2 83>Berger 2004 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBerger2004 (help ); Йост, Юрген (1997), Неположительная кривизна: геометрические и аналитические аспекты, Лекции по математике, ETH Zurich, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-5736-9