Асимптотическая безопасность в квантовой гравитации

редактировать

Асимптотическая безопасность (иногда также упоминается как непертурбативная перенормируемость ) - это концепция в квантовая теория поля, цель которой - найти последовательную и предсказуемую квантовую теорию гравитационного поля. Его ключевым ингредиентом является нетривиальная фиксированная точка потока теории ренормализационной группы, которая управляет поведением констант связи в ультрафиолетовом (УФ) режиме и визуализирует физические количества, безопасные от расхождений. Хотя изначально Стивен Вайнберг предложил теорию квантовой гравитации, идея нетривиальной фиксированной точки, обеспечивающей возможное УФ-завершение, может быть применена и к другим теории поля, в частности к пертурбативно неперенормируемым. В этом отношении это похоже на квантовую тривиальность.

Суть асимптотической безопасности заключается в наблюдении, что нетривиальные неподвижные точки ренормгруппы могут использоваться для обобщения процедуры пертурбативной перенормировки. В асимптотически безопасной теории связи не обязательно должны быть маленькими или стремиться к нулю в пределе высокой энергии, а скорее имеют тенденцию к конечным значениям: они приближаются к нетривиальной УФ-фиксированной точке. Динамика констант связи, то есть их масштабная зависимость, описываемая ренормгруппой (РГ), является, таким образом, особенной в своем УФ-пределе в том смысле, что все их безразмерные комбинации остаются конечными. Этого достаточно, чтобы избежать нефизических расхождений, например в амплитудах рассеяния. Требование фиксированной точки UV ограничивает форму голого действия и значения голых констант связи, которые становятся прогнозами асимптотической программы безопасности, а не входными данными.

Что касается гравитации, стандартная процедура пертурбативной перенормировки не работает, поскольку постоянная Ньютона, соответствующий параметр расширения, имеет отрицательную размерность, что делает общую теорию относительности пертурбативно неперенормируемый. Это привело к поиску непертурбативных структур, описывающих квантовую гравитацию, включая асимптотическую безопасность, которая, в отличие от других подходов, характеризуется использованием методов квантовой теории поля, однако, без зависимости от пертурбативных методов. В настоящее время накапливается доказательство наличия неподвижной точки, пригодной для обеспечения асимптотической безопасности, в то время как строгое доказательство ее существования все еще отсутствует.

Содержание

1 Мотивация
2 История асимптотической безопасности
3 Асимптотическая безопасность: основная идея
- 3.1 Теоретическое пространство
- 3.2 Поток ренормгруппы
- 3.3 Принятие УФ-предела
- 3.4 Гауссовские и негауссовские неподвижные точки
- 3.5 Квантовая гравитация Эйнштейна (QEG)
4 Реализация посредством действия эффективного среднего
- 4.1 Точное функциональное уравнение ренормгруппы
- 4.2 Усечения теоретического пространства
5 Доказательства асимптотической безопасности из усеченных уравнений потока
- 5.1 Усечение Эйнштейна – Гильберта
- 5.2 Расширенное усечение
6 Микроскопическая структура пространства-времени
7 Физические приложения асимптотически безопасной гравитации
8 Критика асимптотическая безопасность
9 См. также
10 Ссылки
11 Дополнительная литература
12 Внешние ссылки

Мотивация

Гравитация на классическом уровне описывается полем Эйнштейна уравнения общей теории относительности, $R μ ν - 1 2 g μ ν R + g μ ν Λ = 8 π GT μ ν {\ displaystyle \ textstyle R _ {\ mu \ n u} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} \, R + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = 8 \ pi G \, T _ {\ mu \ nu}}$ $\ textstyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ более 2} g _ {\ mu \ nu} \, R + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = 8 \ pi G \, T _ {\ mu \ nu}$ . Эти уравнения объединяют геометрию пространства-времени, закодированную в метрике $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ , с содержащимся в нем материальным содержанием в тензоре энергии-импульса $T μ ν {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ . Квантовая природа материи была проверена экспериментально, например, квантовая электродинамика к настоящему времени является одной из наиболее точно подтвержденных теорий в физике. По этой причине квантование гравитации тоже кажется правдоподобным. К сожалению, квантование не может быть выполнено стандартным способом (пертурбативная перенормировка): уже простой подсчет мощности сигнализирует о пертурбативной неперенормируемости, поскольку массовая размерность постоянной Ньютона составляет $- 2 {\ displaystyle -2 }$ $-2$ . Проблема возникает следующим образом. Согласно традиционной точке зрения, перенормировка реализуется посредством введения контрчленов, которые должны устранять расходящиеся выражения, появляющиеся в циклических интегралах. Однако, применяя этот метод к гравитации, контрчлены, необходимые для устранения всех расхождений, увеличиваются до бесконечного числа. Поскольку это неизбежно приводит к бесконечному количеству свободных параметров, которые необходимо измерить в экспериментах, программа вряд ли будет иметь предсказательную силу, помимо использования в качестве низкоэнергетической эффективной теории.

Оказывается, что первые расхождения в квантовании общей теории относительности, которые не могут быть последовательно поглощены контрчленами (т. е. без необходимости введения новых параметров), появляются уже на однопетлевом уровне в присутствии полей материи. На уровне двух петель проблемные расхождения возникают даже в чистой гравитации. Чтобы преодолеть эту концептуальную трудность, потребовалось развитие непертурбативных методов, обеспечивающих различные теории квантовой гравитации. В течение долгого времени преобладало мнение, что сама концепция квантовой теории поля - хотя и весьма успешна в случае других фундаментальных взаимодействий - обречена на провал для гравитации. Напротив, идея асимптотической безопасности сохраняет квантовые поля в качестве теоретической арены и вместо этого отказывается только от традиционной программы пертурбативной перенормировки.

История асимптотической безопасности

Осознав пертурбативную неперенормируемость гравитации, физики попытались использовать альтернативные методы для решения проблемы дивергенции, например, пересуммирование или расширенные теории с подходящими полями материи и симметриями, у всех есть свои недостатки. В 1976 году Стивен Вайнберг предложил обобщенную версию условия перенормируемости, основанную на нетривиальной неподвижной точке основного потока ренормгруппы (RG) для гравитации. Это было названо асимптотической безопасностью. Идея УФ-пополнения с помощью нетривиальной неподвижной точки ренормализационных групп была предложена ранее Кеннетом Г. Уилсоном и Джорджо Паризи в скалярной теории поля (см. также Квантовая тривиальность ). Применимость к пертурбативно неперенормируемым теориям впервые была явно продемонстрирована для нелинейной сигма-модели и для варианта модели Гросса-Невё.

Что касается гравитации, первые исследования, касающиеся этой новой концепции были выполнены в $d = 2 + ϵ {\ displaystyle d = 2 + \ epsilon}$ $d = 2 + \ epsilon$ измерениях пространства-времени в конце семидесятых. Ровно в двух измерениях существует теория чистой гравитации, которую можно перенормировать согласно старой точке зрения. (Чтобы отобразить действие Эйнштейна – Гильберта $1 16 π G ∫ d 2 xg R {\ displaystyle \ textstyle {1 \ over 16 \ pi G} \ int \ mathrm {d} ^ {2} x {\ sqrt {g}} \, R}$ $\ textstyle {1 \ более 16 \ pi G} \ int \ mathrm {d} ^ 2 x \ sqrt {g} \, R$ безразмерный, постоянная Ньютона $G {\ displaystyle G}$ $G$ должна иметь массовый размер ноль.) Для небольших, но конечных $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ теория возмущений все еще применима, и можно расширить бета-функцию ( $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ -function), описывающая ренормализационную группу, работающую для постоянной Ньютона как степенного ряда в $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ . Действительно, в этом духе можно было доказать, что он отображает нетривиальную фиксированную точку.

Однако было неясно, как сделать продолжение из $d = 2 + ϵ {\ displaystyle d = 2 от + \ epsilon}$ $d = 2 + \ epsilon$ до $d = 4 {\ displaystyle d = 4}$ $d=4$ размеров, так как вычисления основывались на малости параметра расширения $ϵ {\ displaystyle \ эпсилон}$ $\ epsilon$ . Вычислительных методов для непертурбативной обработки к этому времени не было. По этой причине идея асимптотической безопасности в квантовой гравитации была отложена на несколько лет. Только в начале 90-х годов аспекты $2 + ϵ {\ displaystyle 2+ \ epsilon}$ $2+ \ epsilon$ размерной гравитации были пересмотрены в различных работах, но все еще не увеличили размерность до четырех.

Что касается вычислений, выходящих за рамки теории возмущений, ситуация улучшилась с появлением новых методов функциональной ренормгруппы, в частности, так называемого эффективного действия среднего (масштабно-зависимая версия метода эффективное действие ). Введенный в 1993 г. Кристофом Веттерихом и Тимом Р. Моррисом для скалярных теорий, а также Мартином Рейтером и Кристофом Веттерихом для общих калибровочных теорий (на плоском евклидовом пространстве), он похож на действие Вильсона (крупнозернистая свободная энергия), и хотя утверждается, что оно отличается на более глубоком уровне, на самом деле оно связано с преобразованием Лежандра. Обрезка масштабная зависимость этого функционала определяется функциональным уравнением потока, которое, в отличие от предыдущих попыток, может легко применяться и при наличии локальной калибровочной симметрии.

В 1996 году Мартин Рейтер построил аналогичное эффективное среднее действие и соответствующее уравнение потока для гравитационного поля. Он соответствует требованию независимости от фона, одному из фундаментальных принципов квантовой гравитации. Эту работу можно считать существенным прорывом в исследованиях квантовой гравитации, связанных с асимптотической безопасностью, поскольку она обеспечивает возможность непертурбативных вычислений для произвольных измерений пространства-времени. Было показано, что по крайней мере для усечения Эйнштейна – Гильберта, простейшего анзаца для эффективного действия среднего, действительно присутствует нетривиальная неподвижная точка.

Эти результаты являются отправной точкой для многих последующих вычислений. Поскольку в новаторской работе Мартина Рейтера не было ясно, в какой степени результаты зависят от рассмотренного анзаца усечения, следующим очевидным шагом было увеличение усечения. Этот процесс был инициирован Роберто Перкаччи и его сотрудниками, начиная с включения материальных полей. До настоящего времени множество различных работ постоянно растущего сообщества, включая, например, $f (R) {\ displaystyle f (R)}$ $f (R)$ - и тензор Вейля квадратные усечения. - независимо подтвердили, что асимптотический сценарий безопасности действительно возможен: существование нетривиальной фиксированной точки было показано в пределах каждого усечения, изученного до сих пор. Хотя до сих пор нет окончательного доказательства, появляется все больше свидетельств того, что программа асимптотической безопасности может в конечном итоге привести к последовательной и предсказательной квантовой теории гравитации в общих рамках квантовой теории поля.

Асимптотическая безопасность: основная идея

Теоретическое пространство

Траектории потока ренормгруппы в теоретическом пространстве, параметризованные бесконечным числом констант связи. По соглашению стрелки векторного поля (и стрелки на зеленой траектории) указывают от УФ к ИК шкалам. Набор действий, которые лежат внутри теоретического пространства и втягиваются в фиксированную точку под действием обратного потока RG (т.е. идущих в направлении, противоположном стрелкам), называется УФ-критической поверхностью. Гипотеза асимптотической безопасности состоит в том, что траектория может быть реализована в Природе только в том случае, если она содержится в критической ультрафиолетовой поверхности, поскольку только в этом случае она имеет допустимый предел высокой энергии (оранжевые, синие и пурпурные траектории, например). Траектории за пределами этого пространства теории поверхности покидают пространство для

k → ∞ {\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}

k\rightarrow\infty

, поскольку они развивают неприемлемые расходимости в УФ-диапазоне, а при переходе к более низким масштабам они приближаются к критической поверхности УФ-излучения. Эта ситуация представлена зеленой траекторией, которая лежит над поверхностью и удаляется от нее для увеличения масштаба RG (напротив зеленой стрелки).

Программа асимптотической безопасности принимает современную точку зрения Вильсона на квантовую теория поля. Здесь основные входные данные, которые должны быть зафиксированы в начале, - это, во-первых, виды квантовых полей, несущие степени свободы теории, и, во-вторых, лежащие в основе симметрии. Для любой рассматриваемой теории эти данные определяют этап, на котором происходит динамика ренормгруппы, так называемое пространство теории. Он состоит из всех возможных функционалов действия в зависимости от выбранных полей и соблюдения предписанных принципов симметрии. Таким образом, каждая точка в этом теоретическом пространстве представляет одно возможное действие. Часто можно думать о пространстве как о натянутом всеми подходящими полевыми мономами. В этом смысле любое действие в теоретическом пространстве представляет собой линейную комбинацию полевых мономов, где соответствующие коэффициенты являются константами связи, ${g α} {\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} \} }$ $\{g_\alpha\}$ . (Здесь все связи предполагаются безразмерными. Связи всегда можно сделать безразмерными путем умножения на подходящую степень шкалы RG.)

Поток ренормгруппы

ренормализационная группа (RG) описывает изменение физической системы из-за сглаживания или усреднения микроскопических деталей при переходе к более низкому разрешению. Это вводит в действие понятие зависимости от масштаба для интересующих функционалов действия. Инфинитезимальные преобразования РГ отображают действия в близкие, тем самым создавая векторное поле в теоретическом пространстве. Зависимость действия от масштаба закодирована в "запуске" констант связи, параметризующих это действие, ${g α} ≡ {g α (k)} {\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} \} \ Equiv \ {g _ {\ alpha} (k) \}}$ $\ {g_ \ alpha \} \ Equiv \ {g_ \ alpha (k) \}$ , со шкалой RG $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Это порождает траекторию в теоретическом пространстве (траекторию RG), описывающую эволюцию функционала действия по отношению к масштабу. Какая из всех возможных траекторий реализуется в Природе, предстоит определить измерениями.

Переход к ультрафиолетовому пределу

Построение квантовой теории поля сводится к нахождению траектории RG, которая бесконечно расширяется в том смысле, что функционал действия описывается как ${g α (k)} {\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} (k) \}}$ $\{g_\alpha(k)\}$ хорошо себя ведет для всех значений параметра масштаба импульса $k {\ displaystyle k}$ $k$ , включая $k → 0 {\ displaystyle k \ rightarrow 0}$ $k \ rightarrow 0$ и предел ультрафиолета (UV) $k → ∞ {\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ $k \ rightarrow \ infty$ . Асимптотическая безопасность - это способ борьбы с последним пределом. Его фундаментальное требование - наличие фиксированной точки потока RG. По определению это точка ${g α ∗} {\ displaystyle \ {g _ {\ alpha} ^ {*} \}}$ $\ {g_ \ al pha^*\}$ в теоретическом пространстве, где прекращается работа всех соединений, или другими словами, ноль всех бета-функций : $β γ ({g α ∗}) = 0 {\ displaystyle \ beta _ {\ gamma} (\ {g _ {\ alpha } ^ {*} \}) = 0}$ $\ beta_ \ gamma (\ {g_ \ alpha ^ * \}) = 0$ для всех $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ . Кроме того, эта фиксированная точка должна иметь по крайней мере одно УФ-притягивающее направление. Это гарантирует, что одна или несколько траекторий RG пересекаются с фиксированной точкой для увеличения масштаба. Множество всех точек в теоретическом пространстве, которые «втягиваются» в фиксированную УФ-точку за счет перехода к большим масштабам, называется УФ-критической поверхностью. Таким образом, критическая ультрафиолетовая поверхность состоит из всех тех траекторий, которые защищены от ультрафиолетовых расхождений в том смысле, что все связи приближаются к конечным значениям фиксированной точки как $k → ∞ {\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ $k\rightarrow\infty$ . Ключевая гипотеза, лежащая в основе асимптотической безопасности, состоит в том, что только траектории, проходящие полностью внутри ультрафиолетовой критической поверхности соответствующей фиксированной точки, могут быть бесконечно продолжены и, таким образом, определяют фундаментальную квантовую теорию поля. Очевидно, что такие траектории хорошо ведут себя в УФ-пределе, поскольку наличие фиксированной точки позволяет им «оставаться в точке» в течение бесконечно большого «времени» РГ.

Что касается фиксированной точки, УФ-притягивающие направления называются релевантными, УФ-отталкивающие - нерелевантными, поскольку соответствующие поля масштабирования увеличиваются и уменьшаются, соответственно, при уменьшении масштаба. Следовательно, размерность УФ-критической поверхности равна количеству соответствующих связей. Таким образом, асимптотически безопасная теория тем более предсказуема, чем меньше размерность соответствующей УФ-критической поверхности.

Например, если критическая УФ-поверхность имеет конечный размер $n {\ displaystyle n}$ $n$ , достаточно выполнить только $n {\ displaystyle n}$ $n$ измерений для однозначной идентификации траектории Nature's RG. После измерения соответствующих муфт $n {\ displaystyle n}$ $n$ требование асимптотической безопасности исправляет все остальные связи, поскольку последние должны быть отрегулированы таким образом, чтобы траектория RG находилась в пределах UV критическая поверхность. В этом духе теория очень предсказуема, поскольку бесконечно много параметров фиксируется конечным числом измерений.

В отличие от других подходов, здесь не требуется простое действие, которое должно быть продвинуто до квантовой теории. Это пространство теории и уравнения потока RG, которые определяют возможные неподвижные УФ-точки. Поскольку такая фиксированная точка, в свою очередь, соответствует голому действию, можно рассматривать голое действие как предсказание в программе асимптотической безопасности. Это можно рассматривать как стратегию систематического поиска среди теорий, которые уже являются «квантовыми», которая идентифицирует «острова» физически приемлемых теорий в «море» неприемлемых теорий, страдающих от коротких сингулярностей.

Гауссовские и негауссовские неподвижные точки

Фиксированная точка называется гауссовой, если она соответствует свободной теории. Его критические показатели согласуются с каноническими массовыми размерами соответствующих операторов, которые обычно составляют тривиальные значения с фиксированной точкой $g α ∗ = 0 {\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {*} = 0}$ $g_ \ alpha ^ * = 0$ для всех необходимых связей $g α {\ displaystyle g _ {\ alpha}}$ $g_ \ alpha$ . Таким образом, стандартная теория возмущений применима только в окрестности гауссовой неподвижной точки. В этом отношении асимптотическая безопасность в гауссовой фиксированной точке эквивалентна пертурбативной перенормируемости плюс асимптотическая свобода. Однако из-за аргументов,представленных во вводных разделах, эта возможность исключена из-за гравитации.

Напряжение, нетривиальная точка, то есть неподвижная, критические показатели, которые отличаются от канонических, называется негауссовой. Обычно для этого требуется $г α ∗ ≠ 0 {\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {*} \ neq 0}$ $g_ \ alpha ^ * \ neq 0$ хотя бы для одного необходимого $г α {\ displaystyle g _ {\ alpha}}$ $g_ \ alpha$ . Именно такая негауссовская фиксированная точка обеспечивает возможный сценарий квантовой гравитации. Таким образом, до сих пор исследования по этому предмету в основном сосредоточены на установлении его существования.

Квантовая гравитация Эйнштейна (QEG)

Квантовая гравитация Эйнштейна (QEG) - это общее название любой квантовой теории поля гравитации, которая (независимо от ее простого действия ) принимает метрика пространства-времени в качестве модели динамического поля, симметрия, которую задает инвариантностью диффеоморфизма. Это фиксирует пространство теории и поток эффективного среднего действия, определенного над ним, но не выделяет априори какой-либо конкретный функционал. Однако визуальное изображение в этом случае можно исследовать. Если он отображает негауссову фиксированную точку, с помощью которой УФ-предел может быть взят «асимптотически безопасным» способом, эта точка приобретает статус простого действия.

Реализация через эффективное среднее действие

Точное функциональное уравнение ренормгруппы

Первичный инструмент для исследования гравитационного RG поток по шкале энергии $k {\ displaystyle k}$ $k$ на непертурбативном уровне - это эффективное среднее действие $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ для гравитации. Это зависящая от масштаба версия эффективного действия, где в нижележащем функциональном интеграле режимы поля с ковариантными импульсами ниже $k {\ displaystyle k}$ $k$ подавляются, а остальные интегрируются. Для данного теоретического пространства пусть $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ и $Φ ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ Phi}}}$ $\ bar {\ Phi}$ обозначает множество динамических и фоновых полей соответственно. Тогда $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ удовлетворяет следующему функциональному уравнению RG типа Веттериха-Морриса (FRGE):

k ∂ k Γ k [ Φ, Φ ¯] = 1 2 STr [(Γ k (2) [Φ, Φ ¯] + R k [Φ ¯]) - 1 k ∂ k R k [Φ ¯]]. {\ displaystyle k \ partial _ {k} \ Gamma _ {k} {\ big [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} {\ big]} = {\ frac {1} {2}} \, {\ t_dv {STr}} {\ Big [} {\ big (} \ Gamma _ {k} ^ {(2)} {\ big [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} {\ big]} + {\ mathcal {R}} _ {k} [{\ bar {\ Phi}}] {\ big)} ^ {- 1} k \ partial _ {k} {\ mathcal {R}} _ {k} [{\ bar {\ Phi}}] {\ Big]}.}

k \ partial_k \ Gamma_k \ big [\ Phi, \ bar {\ Phi} \ big] = \ frac {1} {2} \, \ t_dv {STr} \ Big [\ big (\ Gamma_k ^ {(2)} \ big [\ Phi, \ bar {\ Phi} \ big] + \ mathcal {R} _k [\ bar {\ Phi} ] \ big) ^ {- 1} k \ partial_k \ mathcal {R} _k [\ bar {\ Phi}] \ Big].

Здесь $Γ k (2) {\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {(2)}}$ $\ Gamma_k ^ {(2)}$ - вторая функциональная производная от $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ по квантовым полям $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ при фиксированном $Φ ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ Phi}}}$ $\ bar {\ Phi}$ . Оператор подавления режима $R k [Φ ¯] {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {k} [{\ bar {\ Phi}}]}$ $\ mathcal {R} _k [\ bar { \ Phi}]$ предоставляет $k {\ displaystyle k}$ $k$ -зависимый массовый член для флуктуаций с ковариантными импульсами $p 2 ≪ k 2 {\ displaystyle p ^ {2} \ ll k ^ {2}}$ $p ^ 2 \ ll k ^ 2$ и исчезает при $п 2 ≫ К 2 {\ Displaystyle p ^ {2} \ gg k ^ {2}}$ $p ^ 2 \ gg k ^ 2$ . Его появление в числителе и знаменателе делает суперследу $(STr) {\ displaystyle ({\ t_dv {STr}})}$ $(\t_dv{STr})$ как инфракрасный, так и ультрафиолетовый конечный, достиг максимума в импульсах $p 2 ≈ k 2 {\ displaystyle p ^ {2} \ приблизительно k ^ {2}}$ $p ^ 2 \ приблизительно k ^ 2$ . FRGE - это точное уравнение без каких-либо пертурбативных приближений. При заданном начальном состоянии он однозначно определяет $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ для всех масштабов.

Решения $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ FRGE интерполируют между голым (микроскопическим) движением при $k → ∞ {\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ $k \ rightarrow \ infty$ и эффективное действие $Γ [Φ] = Γ k = 0 [Φ, Φ ¯ = Φ] {\ displaystyle \ Gamma [\ Phi] = \ Gamma _ {k = 0} {\ big [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} = \ Phi {\ big]}}$ $\ Гамма [\ Phi] = \ Gamma_ {k = 0} \ big [\ Phi, \ bar {\ Phi} = \ Phi \ big]$ при $k → 0 {\ displaystyle k \ rightarrow 0 }$ $k \ rightarrow 0$ . Их можно визуализировать как траектории в лежащем в основе теоретическом дизайне. Обратите внимание, что сам FRGE не зависит от простого действия. В случае астотически безопасной теории голое действие функционалом с фиксированной точкой $Γ ∗ = Γ k → ∞ {\ displaystyle \ Gamma _ {*} = \ Gamma _ {k \ rightarrow \ infty}}$ $\ Gamma_ * = \ Gamma_ {k \ rightarrow \ infty}$ .

Усечения теоретического пространства

Предположим, что существует набор базисных функционалов ${P α [⋅]} {\ displaystyle \ {P _ {\ alpha} [\, \ cdot \,] \}}$ $\ {P_ \ alpha [\, \ cdot \,] \}$ , охватывающая рассматриваемое теоретическое пространство, так что любая точка этого теоретического пространства, может быть записан как линейная комбинация $P α {\ displaystyle P _ {\ alpha}}$ $P_ \ alpha$ . Тогда решения $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ из FRGE имеют разложения вида

Γ k [Φ, Φ ¯] = ∑ α = 1 ∞ g α (k) P α [Φ, Φ ¯]. {\ Displaystyle \ Gamma _ {k} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}] = \ sum \ limits _ {\ alpha = 1} ^ {\ infty} g _ {\ alpha} (k) P _ {\ alpha} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}].}

\ Gamma_k [\ Phi, \ bar {\ Phi}] = \ sum \ limits _ {\ alpha = 1} ^ {\ infty} g_ \ alpha (k) P_ \ alpha [\ Phi, \ bar {\ Phi}].

Вставка этого расширения в FRGE и расширение следа в его правой части, чтобы извлечь бета-функции, можно получить точное уравнение RG в компонентной форме: $k ∂ кг α (k) = β α (g 1, g 2, ⋯) {\ displaystyle k \ partial _ {k} g _ {\ alpha} (k) = \ beta _ {\ alpha} (g_ {1}, g_ {2}, \ cdots)}$ $k \ partial_k g_ \ alpha (k) = \ beta_ \ alpha (g_1, g_2, \ cdots)$ . Вместе с заданными начальными условиями эти уравнения фиксируют эволюцию ходовых муфт $g α (k) {\ displaystyle g _ {\ alpha} (k)}$ $g_ \ alpha (k)$ и, таким образом, определяют $Γ k { \ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ полностью. Как можно видеть, FRGE порождает систему из бесконечного множества связанных различных соотношений, поскольку существует бесконечно много связей, и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ -функции могут зависеть от всех. Это очень блокирует решение системы в целом.

- ограничить анализ конечным подпространством в качестве прибли к полному пространству теории. Другими словами, такое усечение теоретического пространства обнуляет все связи, кроме конечного, с учетом только сокращенного базиса ${P α [⋅]} {\ displaystyle \ {P _ {\ alpha} [\, \ cdot \,] \} }$ $\ {P_ \ alpha [\, \ cdot \,] \}$ с $α = 1, ⋯, N {\ displaystyle \ alpha = 1, \ cdots, N}$ $\ alpha = 1, \ cdots, N$ . Это составляет анзац

Γ k [Φ, Φ ¯] = ∑ α = 1 N g α (k) P α [Φ, Φ ¯], {\ displaystyle \ Gamma _ {k} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}] = \ sum \ limits _ {\ alpha = 1} ^ {N} g _ {\ alpha} (k) P _ {\ alpha} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}],}

\ Gamma_k [\ Phi, \ bar {\ Phi}] = \ sum \ limits _ {\ alpha = 1} ^ N g_ \ alpha ( k) P_ \ alpha [\ Phi, \ bar {\ Phi}],

приводящая к системе конечного числа связанных дифференциальных уравнений, $k ∂ кг α (k) = β α (g 1, ⋯, g N) {\ displaystyle k \ partial _ {k} g_ {\ alpha } (k) = \ beta _ {\ alpha} (g_ {1}, \ cdots, g_ {N})}$ $k \ partial_k g_ \ alpha (k) = \ beta_ \ альфа (g_1, \ cdots, g_N)$ , которое теперь может быть решено с использованием аналитических или численных методов.

Очевидно, что следует выбрать усечение таким образом, чтобы оно включало как можно больше функций потока. Хотя это приближение, усеченный поток по-прежнему демонстрирует непертурбативный характер FRGE, а функции $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ могут содержать вклады от всех степеней связей.

Доказательства асимптотической безопасности из усеченных уравнений потока

QEG блок-схема для усечения Эйнштейна - Гильберта. Стрелки указать от шкалы УФ до ИК. Темный цвет фона указывает на область быстрого течения, в области светлого фона поток медленный или даже нулевой. Последний случай включает в себя фиксированной фиксированной точки в начале координат и NGFP в центре спиральных стрелок соответственно. Траектория пересечения, касательная к зеленым стрелкам, соединяет негауссову точку с гауссовой фиксированной точкой и играет роль сепаратрисы.

Усилитель пересечения - Гильберта

Как в предыдущем разделе, FRGE поддается систематическому использованию построению непертурбативных приближений к гравитационным бета-функциям путем проецирования точного потока РГ на подпространстве, покрытым подходящим анзацем для $Γ k {\ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ . В своей простейшей такой форме анзац задается действия Эйнштейна - Гильберта, где постоянная Ньютона $G k {\ displaystyle G_ {k}}$ $G_ {k}$ и космологический константа $Λ k {\ displaystyle \ Lambda _ {k}}$ $\ Lambda_k$ зависит от шкалы RG $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Пусть $г μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ и $g ¯ μ ν {\ displaystyle {\ bar {g}} _ {\ mu \ nu} }$ $\bar{g}_{\mu\nu}$ обозначают динамическую и фоновую метрики соответственно. Затем $Γ k {\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$ $\ Gamma_k$ читает для произвольного измерения пространства-времени $d {\ displaystyle d}$ $d$ ,

Γ k [g, g ¯, ξ, ξ ¯] = 1 16 π G k ∫ ddxg (- R (g) + 2 Λ k) + Γ k gf [g, g ¯] + Γ k gh [g, g ¯, ξ, ξ ¯]. {\ displaystyle \ Gamma _ {k} [g, {\ bar {g}}, \ xi, {\ bar {\ xi}}] = {\ frac {1} {16 \ pi G_ {k}}} \ int {\ text {d}} ^ {d} x \, {\ sqrt {g}} \, {\ big (} -R (g) +2 \ Lambda _ {k} {\ big)} + \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gf}} [g, {\ bar {g}}] + \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gh}} [g, {\ bar {g}}, \ xi, {\ bar {\ xi}}].}

\ Gamma_k [g, \ bar {g}, \ xi, \ bar {\ xi}] = \ frac {1} {16 \ pi G_k} \ int \ text {d} ^ dx \, \ sqrt {g} \, \ big (-R (g) + 2 \ Lambda_k \ big) + \ Gamma_k ^ \ text {gf} [g, \ bar {g}] + \ Gamma_k ^ \ text {gh} [g, \ bar {g }, \ xi, \ bar {\ xi}].

Фазовый портрет для усечения Эйнштейна - Гильберта. Кон траектории RG, соответствующий блок-схеме слева. (Впервые получено в ссылке)

Здесь $R (g) {\ displaystyle R (g)}$ $R(g)$ - это скалярная кривизна, построенная из метрики $g. μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ . Кроме того, $Γ k gf {\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gf}}}$ $\Gamma_k^\text{gf}$ обозначает действие датчика фиксации, а $Γ k gh {\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {\ text {gh}}}$ $\ Gamma_k ^ \ text {gh}$ действие-призрак с призрачными полями $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ и $ξ ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ xi}}}$ $\ bar {\ xi}$ .

Соответствующие $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ -функции, описывающие эволюцию безразмерная постоянная Ньютона $gk = kd - 2 G k {\ displaystyle g_ {k} = k ^ {d-2} G_ {k}}$ $g_k = k ^ {d-2} G_k$ и безразмерная космологическая постоянная $λ k = k - 2 Λ k {\ displaystyle \ lambda _ {k} = k ^ {- 2} \ Lambda _ {k}}$ $\ lambda_k = k ^ {- 2} \ Lambda_k$ , были впервые получены в ссылке любого значения размерность пространства-времени, включая случаи $d { \ displaystyle d}$ $d$ ниже и выше $4 {\ displaystyle 4}$ $4$ измерений. В частности, в измерениях $d = 4 {\ displaystyle d = 4}$ $d=4$ они порождают блок-схему RG, показанную слева. Наиболее важным результатом является наличие негауссовской неподвижной точки, пригодной для обеспечения асимптотической безопасности. Он привлекателен для ультрафиолетового излучения как в $g {\ displaystyle g}$ $g$ - так и в $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -направлении.

Эта фиксированная точка связана с точкой, найденной в $d = 2 + ϵ {\ displaystyle d = 2 + \ epsilon}$ $d = 2 + \ epsilon$ измерениях пертурбативными методами. в том смысле, что он восстановлен с помощью непертурбативного подхода, представленного здесь, путем вставки $d = 2 + ϵ {\ displaystyle d = 2 + \ epsilon}$ $d = 2 + \ epsilon$ в $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ -функции и расширение в степени $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ . Было показано, что $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ -функции существуют и явно вычисляются для любого действительного, то есть не обязательно целого значения $d {\ displaystyle d}$ $d$ , здесь нет аналитического продолжения. Фиксированная точка в измерениях $d = 4 {\ displaystyle d = 4}$ $d=4$ также прямым результатом непертурбативных уравнений потока и, в отличие от предыдущих попыток, не экстраполяции в $ϵ {\ displaystyle \ epsilon }$ $\ epsilon$ является обязательным.

Расширенные усечения

Впечатление фиксированной точки в рамках усечения Эйнштейна-Гильберта было подтверждено в подпространстве возрастающей сложности. Следующим шагом в этой разработке было включение члена $R 2 {\ displaystyle R ^ {2}}$ $R ^ {2}$ в анзац усечения. Это было расширено за счет учета полиномов скалярной кривизны $R {\ displaystyle R}$ $R$ (так называемый $f (R) {\ displaystyle f (R)}$ $f (R)$ -усечения) и квадрат тензора кривизны Вейля . Кроме того, теории f (R) были исследованы в приближении локального потенциала, в котором были найдены непертурбативные неподвижные точки в поддержку сценария асимптотической безопасности. Кроме того, исследовано влияние различных видов материальных полей. Также вычисления, основанные на действии эффективного среднего, инвариантного при репараметризации поля, похоже, восстанавливают критическую фиксированную точку. В совокупности эти результаты представляют собой убедительное свидетельство того, что гравитация в четырех измерениях является непертурбативно перенормируемой квантовой теорией поля, действительно с ультрафиолетовой критической поверхностью пониженной размерности, согласованной всего несколькими соответствующими связями. пространства-времени

Результаты исследований, связанных с асимптотической безопасностью, показывают, что эффективные пространства-времени из QEG обладают фрактальными -подобными свойствами в микроскопических масштабах. Можно определить, например, их спектральный размер и утверждать, что они претерпевают уменьшение размеров с 4 измерений на макроскопических расстояниях до 2 измерений микроскопически. В этом контексте можно было бы провести связь с другими подходами к квантовой гравитации, например с причинно-динамическими триангуляциями и сравните результаты.

Физические приложения асимптотически безопасной гравитации

Феноменологические последствия сценария асимптотической безопасности были исследованы во многих областях гравитационной физики. Например, асимптотическая безопасность в сочетании со стандартной моделью позволяет сделать вывод о массе бозона Хиггса и значении постоянной тонкой структуры. Кроме того, он предоставляет возможные объяснения конкретных явлений в космологии и астрофизике, например, касающихся черных дыр или инфляции. В этих различных исследованиях используется возможность того, что требование асимптотической безопасности может привести к новым прогнозам и выводам для рассматриваемых моделей, часто без зависимости от дополнительных, возможно, ненаблюдаемых предположений.

Критика асимптотической безопасности

Некоторые исследователи утверждали, что текущие реализации программы асимптотической безопасности для гравитации имеют нефизические особенности, такие как вычисление постоянной Ньютона. Другие утверждали, что само понятие асимптотической безопасности употреблено неправильно, поскольку оно предполагает новую особенность по сравнению с парадигмой Вильсонова RG, хотя ее нет (по крайней мере, в контексте квантовой теории поля, где этот термин также используется).

См. Также

Физический портал

Ссылки

Дополнительная литература

Нидермайер, Макс; Рейтер, Мартин (2006). «Сценарий асимптотической безопасности в квантовой гравитации». Живой Преподобный Релятив. 9 (1): 5. Bibcode : 2006LRR..... 9.... 5N. DOI : 10.12942 / lrr-2006-5. PMC 5256001. PMID 28179875.
Перкаччи, Роберто (2009). «Асимптотическая безопасность». В Орити, Д. (ред.). Подходы к квантовой гравитации: к новому пониманию пространства, времени и материи. Издательство Кембриджского университета. arXiv : 0709.3851. Bibcode : 2007arXiv0709.3851P.
Бергес, Юрген; Тетрадис, Николаос; Веттерих, Кристоф (2002). «Непертурбативный перенормировочный поток в квантовой теории поля и статистической физике». Отчеты по физике. 363 (4–6): 223–386. arXiv : hep-ph / 0005122. Bibcode : 2002PhR... 363..223B. doi : 10.1016 / S0370-1573 (01) 00098-9.
Рейтер, Мартин; Зауэрессиг, Франк (2012). «Квантовая гравитация Эйнштейна». New J. Phys. 14 (5): 055022. arXiv : 1202. 2274. Bibcode : 2012NJPh... 14e5022R. doi : 10.1088 / 1367-2630 / 14/5/055022.
Бонанно, Альфио; Заурессиг, Франк (2017). «Асимптотически безопасная космология - отчет о состоянии». Comptes Rendus Physique. 18 (3–4): 254. arXiv : 1702.04137. Bibcode : 2017CRPhy..18..254B. doi : 10.1016 / j.crhy.2017.02.002.
Литим, Даниэль (2011). «Ренормализационная группа и планковская шкала». Философские труды Королевского общества А. 69 (1946): 2759–2778. arXiv : 1102.4624. Bibcode : 2011RSPTA.369.2759L. doi : 10.1098 / rsta.2011.0103. PMID 21646277.
Надь, Сандор (2012). «Лекции по перенормировке и асимптотической безопасности». Анналы физики. 350 : 310–346. arXiv : 1211.4151. Bibcode : 2014AnPhy.350..310N. doi : 10.1016 / j.aop.2014.07.027. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | class =()

Внешние ссылки

Часто задаваемые вопросы по асимптотической безопасности - Сборник вопросов и ответов об асимптотической безопасности и исчерпывающий список ссылок.
Асимптотическая безопасность в квантовой гравитации - Статья Scholarpedia по той же теме с некоторыми более подробными сведениями о гравитационном эффективном среднем действии.
Квантовая теория полей: эффективная или фундаментальная? - выступление Стивена Вайнберга в ЦЕРН 7 июля 2009 г.
Асимптотическая безопасность - 30 лет спустя - Все доклады семинара, прошедшего в Институте периметра 5-8 ноября 2009 года.
Четыре радикальных пути к теории всего - статья Аманды Гефтер о квантовой гравитации, опубликованная в 2008 г. в New Scientist (Physics Math).