Причинные множества

редактировать

Причинные множества Программа представляет собой подход к квантовой гравитации. Его основополагающие принципы заключаются в том, что пространство-время принципиально дискретно (набор дискретных пространственно-временных точек, называемых элементами причинного множества) и что пространственно-временные события связаны частичным порядком. Этот частичный порядок имеет физический смысл причинно-следственных связей между пространственно-временными событиями.

Программа основана на теореме Дэвида Маламента, которая гласит, что если существует биективная карта между двумя прошлым и будущим, различая пространство раз, что сохраняет их причинную структуру, то отображение является конформным изоморфизмом. Неопределенный конформный фактор связан с объемом регионов в пространстве-времени. Этот коэффициент объема можно восстановить, указав элемент объема для каждой точки пространства-времени. Затем объем области пространства-времени может быть найден путем подсчета количества точек в этой области.

Причинно-следственные связи были инициированы Рафаэлем Соркиным, который по-прежнему является основным сторонником программы. Он придумал слоган «Порядок + Число = Геометрия», чтобы охарактеризовать приведенный выше аргумент. Программа предлагает теорию, в которой пространство-время принципиально дискретно, сохраняя при этом локальную лоренц-инвариантность.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Сравнение с континуумом
    • 2.1 Осыпание
  • 3 Геометрия
    • 3.1 Геодезические
    • 3.2 Оценщики размеров
  • 4 Динамика
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Дополнительная литература
  • 8 Внешние ссылки

Определение

A причинный набор (или причина ) - это набор C {\ displaystyle C}C с частичным порядком отношением ⪯ {\ displaystyle \ prevq}\ prevq то есть

  • рефлексивный : для всех x ∈ C {\ displaystyle x \ in C}x \ in C мы имеем x ⪯ x {\ displaystyle x \ prevq x}x \ prevq x .
  • Антисимметричный : для всех x, y ∈ C {\ displaystyle x, y \ in C}x, y \ in C мы имеем x ⪯ y {\ displaystyle x \ prevq y}{\ Displaystyle x \ Preq y} и y ⪯ x {\ displaystyle y \ prevq x}y \ prevq x подразумевает x = y {\ displaystyle x = y}Икс = Y .
  • Переходный : для всех x, y, z ∈ C {\ displaystyle x, y, z \ in C}x, y, z \ in C мы имеем Икс ⪯ Y {\ Displaystyle х \ prevq y}{\ Displaystyle x \ Preq y} и y ⪯ z {\ displaystyle y \ prevq z}{\ displaystyle y \ prevq z} подразумевает x ⪯ z {\ displaystyle x \ prevq z}x \ prevq z .
  • Локально конечный : для всех x, z ∈ C {\ displaystyle x, z \ in C}x, z \ in C мы имеем | {y ∈ C | x ⪯ y ⪯ z} | < ℵ 0 {\displaystyle |\{y\in C|x\preceq y\preceq z\}|<\aleph _{0}}{\ displaystyle | \ {y \ in C | x \ prevq y \ prevq z \} | <\ алеф _ {0}} .

Мы запишем x ≺ y {\ displaystyle x \ prec y}x \ Prec Y , если x ⪯ y {\ displaystyle x \ prevq y}x \ prevq y и x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}x \ neq y .

Набор C {\ displaystyle C}C представляет набор пространственно-временных событий и отношения порядка ⪯ {\ displaystyle \ prevq}\ prevq представляет причинную связь между событиями (см. причинную структуру для аналогичной идеи в лоренцевом многообразии ).

Хотя в этом определении используется рефлексивное соглашение, мы могли бы выбрать иррефлексивное соглашение, согласно которому отношение порядка иррефлексивно.

причинное отношение лоренцево многообразие (без замкнутых причинных кривых ) удовлетворяет первым трем условиям. Это условие локальной конечности, которое вводит дискретность пространства-времени.

Сравнение с континуумом

Учитывая причинное множество, мы можем спросить, можно ли вложить в лоренцево многообразие. Вложение было бы картой, переводящей элементы причинного множества в точки на многообразии, так что отношение порядка причинного множества совпадает с причинным порядком многообразия. Однако перед тем, как встраивание станет подходящим, необходим дополнительный критерий. Если, в среднем, количество элементов причинного множества, отображаемых в область многообразия, пропорционально объему области, то вложение называется точным. В этом случае мы можем рассматривать причинное множество как «многообразное»

Центральная гипотеза программы причинных множеств состоит в том, что одно и то же причинное множество не может быть точно встроено в два пространства-времени, которые не похожи на больших масштабах.. Это называется Hauptvermutung, что означает «фундаментальная гипотеза». Трудно дать точное определение этой гипотезе, потому что трудно решить, когда два пространства-времени «подобны в больших масштабах».

Моделирование пространства-времени как причинного множества потребовало бы от нас ограничить внимание теми причинными множествами, которые «подобны множеству». Учитывая причинно-следственный набор, это свойство трудно определить.

Осыпание

График 1000 точек с разбрызгиванием в измерениях 1 + 1

Сложность определения того, может ли причинная совокупность быть встроена в коллектор, может быть решена с другой стороны. Мы можем создать причинное множество, разбрасывая точки на лоренцево многообразие. Распыляя точки пропорционально объему пространственно-временных областей и используя отношения причинного порядка в многообразии, чтобы вызвать отношения порядка между рассыпанными точками, мы можем создать причинное множество, которое (по построению) может быть точно встроено в многообразие.

Для сохранения лоренц-инвариантности это разбрызгивание точек должно выполняться случайным образом с использованием процесса Пуассона. Таким образом, вероятность разбрызгивания n {\ displaystyle n}n точек в область объема V {\ displaystyle V}V равна

P (n) = (ρ V) ne - ρ V n! {\ displaystyle P (n) = {\ frac {(\ rho V) ^ {n} e ^ {- \ rho V}} {n!}}}P (n) = \ frac {(\ rho V) ^ ne ^ {- \ rho V}} {n!}

где ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho - плотность разбрызгивания.

Точки разбрызгивания в виде обычной решетки не сохранят количество точек пропорционально объему области.

Геометрия

Некоторые геометрические конструкции в многообразиях переносятся на причинные множества. Определяя их, мы должны помнить, что полагаемся только на сам причинный набор, а не на какое-либо фоновое пространство-время, в которое он мог бы быть встроен. Для обзора этих построений см.

Геодезические

График геодезических между двумя точками в причинном наборе из 180 точек, полученный разбрызгиванием на измерения 1 + 1

Связь в причинном множестве представляет собой пару элементов x, y ∈ C {\ displaystyle x, y \ in C}x, y \ in C таких, что x ≺ y {\ displaystyle x \ prec y}x \ Prec Y но без z ∈ C {\ displaystyle z \ in C}{\ Displaystyle Z \ in C} такой, что x ≺ z ≺ y {\ displaystyle x \ prec z \ prec y}x \ prec z \ prec y .

цепочка представляет собой последовательность элементов x 0, x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}x_0, x_1, \ ldots, x_n таких, что xi ≺ xi + 1 {\ displaystyle x_ {i} \ prec x_ {i + 1}}x_i \ prev x_ {i + 1} для i = 0,…, n - 1 {\ displaystyle i = 0, \ ldots, n -1}i = 0, \ ldots, n-1 . Длина цепочки составляет n {\ displaystyle n}n . Если каждые x i, x i + 1 {\ displaystyle x_ {i}, x_ {i + 1}}x_i, x_ {i + 1} в цепочке образуют ссылку, тогда цепочка называется путем.

Мы можем использовать это для определения понятия геодезической между двумя элементами причинного множества, при условии, что они сопоставимы по порядку, то есть причинно связаны (физически это означает, что они подобны времени). Геодезическая между двумя элементами x ⪯ y ∈ C {\ displaystyle x \ prevq y \ in C}x \ pr eceq y \ in C - это цепь, состоящая только из таких звеньев, что

  1. x 0 = x {\ displaystyle x_ {0} = x}x_0 = x и xn = y {\ displaystyle x_ {n} = y}{\ displaystyle x_ {n} = y}
  2. Длина цепочки, n {\ displaystyle n}n , является максимальным по всем цепочкам от x {\ displaystyle x}x до y {\ displaystyle y}y .

В общем, может быть более одной геодезической между двумя сопоставимыми элементы.

Мирхейм первым предположил, что длина такой геодезической должна быть прямо пропорциональна собственному времени вдоль времениподобной геодезической, соединяющей две точки пространства-времени. Проверка этой гипотезы была проведена с использованием причинно-следственных связей, созданных в результате разбрызгивания в плоское пространство-время. Было показано, что пропорциональность сохраняется, и предполагается, что она сохраняется и для дождевания в искривленном пространстве-времени.

Оценщики размерности

Была проделана большая работа по оценке многообразия размерности причинного множества. Это включает в себя алгоритмы, использующие причинное множество, стремящиеся дать измерение многообразия, в которое оно может быть точно встроено. Алгоритмы, разработанные на данный момент, основаны на нахождении размерности пространства-времени Минковского, в которое может быть точно встроен причинный набор.

  • Измерение Мирхейма-Мейера

Этот подход основан на оценке количества цепочек с длиной k {\ displaystyle k}k , присутствующих при разбрызгивании в d {\ displaystyle d}d -мерное пространство-время Минковского. Подсчет количества цепочек с длиной k {\ displaystyle k}k в причинном наборе затем позволяет сделать оценку для d {\ displaystyle d}d .

  • Масштабирование средней точки

Этот подход основан на соотношении между собственным временем между двумя точками в пространстве-времени Минковского и объемом пространственно-временного интервала между ними. Вычисляя максимальную длину цепи (для оценки правильного времени) между двумя точками x {\ displaystyle x}x и y {\ displaystyle y}y и подсчитывая количество элементов z {\ displaystyle z}z таких, что x ≺ z ≺ y {\ displaystyle x \ prec z \ prec y}x \ prec z \ prec y (для оценки объема пространства-времени) можно вычислить размерность пространства-времени.

Эти оценщики должны давать правильное измерение для причинных множеств, сгенерированных высокоплотным разбрызгиванием в d {\ displaystyle d}d -мерное пространство-время Минковского. Тесты в конформно-плоском пространстве-времени показали точность этих двух методов.

Динамика

Текущая задача - разработать правильную динамику для причинных множеств. Это обеспечит набор правил, которые определяют, какие причинные множества соответствуют физически реалистичным пространственно-временным. Самый популярный подход к разработке динамики причинных множеств основан на сумме по историям версии квантовой механики. Этот подход будет выполнять «суммирование над причинными множествами» путем наращивания причинного множества по одному элементу за раз. Элементы будут добавляться в соответствии с правилами квантовой механики, и интерференция обеспечит преобладание вкладов в большое многообразное пространство-время. Лучшая модель динамики на данный момент - это классическая модель, в которой элементы добавляются в соответствии с вероятностями. Эта модель, разработанная Дэвидом Ридоу и Рафаэлем Соркиным, известна как динамика классического последовательного роста (CSG). Классическая модель последовательного роста - это способ создания причинно-следственных связей путем добавления новых элементов один за другим. Определяются правила добавления новых элементов, и, в зависимости от параметров модели, возникают разные причинные множества.

По аналогии с формулировкой интеграла по путям квантовой механики, один из подходов к разработке квантовой динамики для причинных множеств заключался в применении принципа действия в сумме- подход сверхпричинных множеств. Соркин предложил дискретный аналог для Даламбертиана, который, в свою очередь, можно использовать для определения скаляра кривизны Риччи и, таким образом, действия Бенинкасы-Даукера на причинном множестве. Моделирование методом Монте-Карло предоставило доказательства наличия непрерывной фазы в 2D с помощью действия Бенинкаса-Даукера.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-14 13:00:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте