Точка предела

Точка, к которой сходятся функции в топологии

В математике ограничение точка (или точка кластера или точка накопления ) из set $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$в топологическое пространство $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- точка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, которую можно «аппроксимировать» точками $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$в том смысле, что каждая окрестность из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$по отношению к топология на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$также содержит точку $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, отличную от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \}$сам. Предельная точка набора $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$сама по себе не обязательно должна быть элементом $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

. Эта концепция выгодно обобщает понятие limit и является основой таких понятий, как закрытый набор и топологическое замыкание. В самом деле, множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, и операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

Что касается обычной евклидовой топологии, последовательность рациональных чисел $xn\; =\; (-\; 1)\; nnn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{n\; +\; 1\}\}\}$не имеет limit (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются предельными точками), а именно. -1 и +1. Таким образом, если рассматривать множества, эти точки являются предельными точками множества $\{xn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$.

Существует также тесно связанная концепция для последовательностей. точка кластера (или точка накопления ) последовательности $(xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$в топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- точка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$такой, что для каждой окрестности $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$существует бесконечно много натуральные числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$такие, что $xn\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\}$. Эта концепция обобщается на сети и фильтры.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Типы предельной точки
• 3 Для последовательностей и цепей
  • 3.1 Свойства
  • 3.2 Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора
• 4 Выбранные факты
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Определение

Пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$быть подмножеством топологического пространства $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Точка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является предельной точкой (или точкой кластера или точка накопления ) $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, если каждая окрестность из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит по крайней мере одну точку $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, отличную от самого $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.

Обратите внимание, что не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми районами. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и форму определения «общей окрестности», чтобы получить факты из известной предельной точки.

Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это $T\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{1\}\}$пробел (которыми являются все метрические пространства ), тогда $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$является предельной точкой $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$тогда и только тогда, когда каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит бесконечно много точек $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Фактически, пространства $T\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{1\}\}$характеризуются этим свойством.

Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это пробел Фреше – Урысона (сначала все метрические пробелы и -счетные пробелы являются), то $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$является предельной точкой $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$тогда и только тогда, когда существует последовательность точек в $S\; \setminus \; \{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$, предел равно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. На самом деле этим свойством обладают пространства Фреше – Урысона.

Набор предельных точек $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$называется производным набором из

Если каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит бесконечно много точек $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, то $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- это особый тип предельной точки, называемый ω-точкой накопления из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Если каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит несчетное количество точек $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, тогда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- это особый тип предельной точки, называемый точкой конденсации of $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Если все окрестности $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$удовлетворяет $|\; U\; \cap \; S\; |\; =\; |\; S\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; U\; \backslash \; cap\; S\; \backslash \; right\; |\; =\; \backslash \; left\; |\; S\; \backslash \; right\; |\}$, тогда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- это особый тип предельная точка, называемая точкой полного накопления из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

В топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$точка $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$называется точкой кластера (или точкой накопления ) последовательности $(xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$если для каждого соседства $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, существует бесконечно много $n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$такие, что $xn\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\}$. Это эквивалентно сказать, что для каждого района $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и каждого $n\; 0\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, есть некоторые $n\; \ge \; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; n\_\; \{0\}\}$такой, что $xn\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; V\}$. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является метрическим пространством или первым счетным пространством (или, в более общем смысле, Fréchet– Пробел Урысона ), тогда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- точка кластера $(xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$тогда и только тогда, когда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является пределом некоторой подпоследовательности $(xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$. Набор всех кластерных точек последовательности иногда называют набором пределов .

. Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности для обозначения точки $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, к которому сходится последовательность (то есть каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит все элементы последовательности, кроме конечного). Вот почему мы не используем термин «предельная точка последовательности» как синоним точки накопления последовательности.

Концепция сети обобщает идею последовательности. Сеть - это функция $f:\; (P,\; \le )\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; (P,\; \backslash \; leq)\; \backslash \; to\; X\}$, где $(P,\; \le )\; \{\backslash \; displaystyle\; (P,\; \backslash \; leq)\}$- это направленный набор, а $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- топологическое пространство. Точка $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$называется точкой кластера (или точкой накопления ) сети $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$если для каждого района $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и каждый $p\; 0\; \in \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; P\}$, существует $p\; \ge \; p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; geq\; p\_\; \{0\}\}$таким, что $f\; (p)\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (p)\; \backslash \; in\; V\}$, что эквивалентно, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$имеет подсеть, которая сходится к $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Точки скопления в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления. Кластеризация и предельные точки также определены для связанной темы фильтров.

Свойства

• Каждый предел последовательности является точкой накопления последовательности.

Связь между точкой накопления последовательность и точка накопления набора

Для каждой последовательности $(xn)\; n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$в топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$мы можем связать множество $A\; =\; \{xn:\; n\; \in \; N\}\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; \{x\_\; \{n\}\; :\; n\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \}\}$, состоящий из всех элементов в последовательности.

• Если существует элемент $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$, который встречается в последовательности бесконечно много раз, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- точка накопления последовательности. Но $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не обязательно должен быть точкой накопления соответствующего набора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, мы имеем $A\; =\; \{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является изолированной точкой $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, а не точкой накопления $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

• Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$-точка накопления связанного набора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

И наоборот, учитывая счетное бесконечное множество $A\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; X\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, мы можем перечислить все элементы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$разными способами, даже с повторами, и, таким образом, связать с это много последовательностей, которые будут иметь $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в качестве связанного набора элементов.

• Любая $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$-точка накопления $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей ( поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и, следовательно, также бесконечно много членов в любой связанной последовательности).

• Точка $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$, который не является $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$-точкой накопления $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$не может быть точкой накопления любой из связанных последовательностей без бесконечных повторов (потому что $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$имеет окрестность, которая содержит только конечное количество (даже ни одного) точек $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей).

• У нас есть следующая характеристика предельных точек: $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- предельная точка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$тогда и только тогда, когда он находится в закрытии из $S\; \setminus \; \{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$.
  • Доказательство: мы используем тот факт, что точка в замыкании множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки встречается с множеством. Теперь $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является предельной точкой $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, если и только если каждая окрестность $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\}$содержит точку $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$кроме $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, если и только если каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит точку $S\; \setminus \; \{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$, тогда и только тогда, когда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в закрытии $S\; \setminus \; \{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$.
• Если мы используем $L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (S)\}$для обозначения набора предельных точек $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, тогда мы имеем следующее характеристика закрытия $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$: закрытие $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$равно объединению $S\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; S\}$и $L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (S)\}$. Этот факт иногда принимают за определение закрытия.
  • Доказательство: ("Левое подмножество") Предположим, что $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в закрытии $S\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; S\}$. Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, все готово. Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не входит в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, то каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит точку $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, и эта точка не может быть $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Другими словами, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является предельной точкой для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в $L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (S)\}$. («Правое подмножество») Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, то каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$явно соответствует $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, поэтому $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в закрытии $S\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\}$. Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в $L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (S)\}$, то каждая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$содержит точку $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$(кроме $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$), поэтому $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$снова находится в закрытии $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Это завершает доказательство.
• Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит весь свой предел точки.
  • Доказательство: $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$закрывается тогда и только тогда, когда $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$равно закрытию, если и только если $S\; =\; S\; \cup \; L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; S\; \backslash \; cup\; L\; (S)\}$тогда и только тогда, когда $L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (S)\}$содержится в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.
  • Еще одно доказательство: пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет замкнутым множеством и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$предельная точка $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не входит в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, то дополнение к $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$содержит открытую окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Поскольку $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является предельной точкой $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, любая открытая окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$должен иметь нетривиальное пересечение с $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Однако набор не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. И наоборот, предположим, что $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$содержит все свои предельные точки. Мы покажем, что дополнение $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является открытым множеством. Пусть $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$будет точкой в ​​дополнении $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. По предположению, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не является предельной точкой, и, следовательно, существует открытая окрестность U $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, которая не пересекаются $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, поэтому $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$полностью лежит в дополнении $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Поскольку этот аргумент справедлив для произвольного $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в дополнении к $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, дополнение к $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$может быть выражено как объединение открытых окрестностей точек в дополнении $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Следовательно, дополнение к $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$открыто.
• Никакая изолированная точка не является предельной точкой любого набора.
  • Доказательство: если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- изолированная точка, то $\{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$- это окрестность $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, которая не содержит точек, кроме $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.
• Замыкание $cl\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; cl\; (S)\}$набора $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$представляет собой непересекающееся объединение его предельных точек $L\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (S)\}$и изолированные точки $I\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (S)\}$:

$cl\; (S)\; =\; L\; (S)\; \cup \; I\; (S),\; L\; (S)\; \cap \; I\; (S)\; =\; \varnothing .\; \{\backslash \; displaystyle\; cl\; (S)\; =\; L\; (S)\; \backslash \; cup\; I\; (S),\; L\; (S)\; \backslash \; cap\; I\; (S)\; =\; \backslash \; emptyset.\}$

• Пробел $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является дискретным тогда и только тогда, когда ни одно из подмножеств $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$не имеет предельной точки.
  • Доказательство: если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$дискретно, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой какого-либо множества. И наоборот, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$не дискретный, то существует одноэлементный элемент $\{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$, то есть не открыто. Следовательно, каждая открытая окрестность $\{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$содержит точку $y\; \ne \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; neq\; x\}$, и поэтому $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является предельной точкой $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.
• Если пробел $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$имеет тривиальную топологию, а $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является подмножеством $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с другими чем один элемент, то все элементы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$являются предельными точками $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является одноэлементным, то каждая точка $X\; \setminus \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; setminus\; S\}$является предельной точкой $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.
  • Доказательство: пока $S\; \setminus \; \{x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\}$непусто, его закрытие будет $Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$. Он пуст только тогда, когда $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$пуст или $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$является уникальным элементом $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \}$.
• По определению каждая предельная точка является точкой сцепления.

• Производный набор (математика)
• Точка сцепления
• Точка конденсации
• Изолированная точка

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

• «предельная точка». PlanetMath.