Обозначение абстрактного индекса- математическая запись для тензоров и спиноров который использует индексы для обозначения их типов, а не их компонентов на определенной основе. Индексы - это просто заполнители, не связанные с какой-либо базой и, в частности, не числовые. Таким образом, его не следует путать с исчислением Риччи. Обозначения были введены Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения о суммировании Эйнштейна для компенсации трудности описания сокращений и ковариантное дифференцирование в современной абстрактной тензорной нотации с сохранением явной ковариации используемых выражений.
Пусть будет векторным пространством и его двойной. Рассмотрим, например, ковариантный тензор порядка 2 . Тогда можно идентифицировать с помощью билинейной формы на . Другими словами, это функция двух аргументов в , которые могут быть представлены как пара слотов:
Абстрактная индексная нотация - это просто маркировка слотов латинскими буквами, которые не имеют значения, кроме их обозначения как метки слотов (т. е. не являются числовой):
A сжатие тензора (или трасса) между двумя тензорами представлено повторением метки индекса, где одна метка контравариантна (верхний индекс соответствует фактору ), и одна метка является ковариантной (нижний индекс, соответствующий множителю ). Так, например,
- это след тензора за последние два слота. Этот способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально аналогичен соглашению о суммировании Эйнштейна. Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной, независимой от базиса операции трассировки (или естественному объединению ) между тензорными множителями типа и типа .
Общий однородный тензор - это элемент тензорного произведения копий из и , например
Обозначьте каждый множитель в этом тензорном произведении латинской буквой в приподнятом положении для каждого контравариантный фактор и в пониженном положении для каждой ковариантной позиции. Таким образом, запишите продукт как
или просто
Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:
В общем, когда встречаются один контравариантный и один ковариантный факторы в тензорном произведении пространств есть ассоциированное сжатие (или следовое) отображение. Например,
- это след на первых двух пространствах тензора товар.
- это след на первом и последнем пробелах.
Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки задается как
, а второй -
С любым тензорным произведением в одном векторном пространстве связаны карты плетения. Например, карта плетения
меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется как ). В общем, карты плетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действуя путем перестановки тензорных множителей. Здесь мы используем для обозначения карты плетения, связанной с перестановкой (представлен как произведение непересекающихся циклических перестановок ).
Карты плетения важны в дифференциальной геометрии, например, для выражения идентичности Бьянки. Здесь пусть обозначает тензор Римана, рассматриваемый как тензор в . Первое тождество Бианки затем утверждает, что
Абстрактная индексная нотация обрабатывает плетение следующим образом. Для конкретного тензорного произведения фиксируется порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представлена в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана
тождество Бианки становится
Общий тензор может быть антисимметризован или симметризован, и существуют соответствующие обозначения.
Продемонстрируем обозначения на примере. Давайте антисимметризуем тензор типа (0,3) , где - симметричная группа из трех элементов.
Аналогично, мы можем симметризовать: