Гипотеза Уиллмора

редактировать

Нижняя граница интегрированного квадрата средней кривизны тора

Тор с минимальной энергией Уиллмора, с большим радиусом √2 и малым радиусом 1

В дифференциальной геометрии гипотеза Уиллмора является нижней границей энергии Уиллмора тора . Он назван в честь английского математика Тома Уиллмора, который предположил его в 1965 году. Доказательство Фернандо Кода Маркес и André Neves был объявлен в 2012 году и опубликован в 2014 году.

Willmore energy

Пусть v: M → R будет сглаженным погружение компактной, ориентируемой поверхности. Задав M риманову метрику, индуцированную v, пусть H: M → R будет средней кривизной (среднее арифметическое для основные кривизны κ1и κ 2 в каждой точке). В этих обозначениях энергия Уиллмора W (M) для M определяется выражением

W (M) = ∫ M H 2 d A. {\ displaystyle W (M) = \ int _ {M} H ^ {2} \, dA.}

W (M) = \ int _ {M } H ^ {2} \, dA.

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет W (M) ≥ 4π с равенством тогда и только тогда, когда M является вложенной круглой сферой.

Утверждение

Вычисление W (M) для нескольких примеров предполагает, что должна быть оценка лучше, чем W (M) ≥ 4π для поверхностей рода g (M)>0. В частности, вычисление W (M) для торов с различными симметриями привело к тому, что Уиллмор в 1965 г. выдвинул следующую гипотезу, которая теперь носит его имя

Для каждого гладкого погруженного тора M в R, W (M) ≥ 2π.

В 1982 году Питер Вай-Квонг Ли и Шинг-Тунг Яу доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если $f: Σ → S 3 {\ displaystyle f: \ Sigma \ to S ^ {3}}$ ${\ displaystyle f: \ Sigma \ to S ^ {3}}$ - это погружение компактной поверхности, которое не является вложением, тогда W (M) не меньше 8π.

В 2012 году Фернандо Кода Маркес и Андре Невес доказали гипотезу во вложенном случае, используя теорию мин-макс Альмгрена – Питтса минимальных поверхностей. Мартин Шмидт потребовал доказательства в 2002 году, но оно не было принято к публикации ни в одном рецензируемом математическом журнале (хотя оно не содержало доказательства гипотезы Уиллмора, в ней он доказал некоторые другие важные гипотезы). До доказательства Маркеса и Невеса гипотеза Уиллмора уже была доказана для многих частных случаев, таких как (сам Уиллмор) и для торов вращения (Langer Singer).

Список литературы