Войти
В математике, квадратное число или полный квадрат - это целое число, которое представляет собой квадрат целого числа; другими словами, это произведение некоторого целого числа на себя. Например, 9 - это квадратное число, поскольку его можно записать как 3 × 3.
Обычное обозначение квадрата числа n - это не произведение n × n, а эквивалентное возведение в степень. n, обычно произносится как «n в квадрате». Число именного квадрата происходит от имени формы. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата (1 × 1). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n. Другими словами, если квадратное число представлено n точками, точки могут быть расположены рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из n; таким образом, квадратные числа являются типом фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).
Квадратные числа являются неотрицательными. Другой способ сказать, что (неотрицательное) целое число является квадратным числом, состоит в том, что его квадратный корень снова является целым числом. Например, √9 = 3, поэтому 9 - квадратное число.
Положительное целое число, которое не имеет совершенных квадратов делителей, кроме 1, называется бесквадратным.
Для неотрицательного целого числа n, n-е квадратное число равно n, с 0 = 0 является нулевым. Понятие квадрата можно распространить на некоторые другие системы счисления. Если включены рациональные числа, то квадрат представляет собой отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел представляет собой квадрат, например, 
Начиная с 1, есть ⌊√m⌋ квадратные числа до m включительно, где выражение ⌊x⌋ представляет этаж числа x.
Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60 = 3600:
Разница между любым полным квадратом и его предшественником дается тождеством n - (n - 1) = 2n - 1. Эквивалентно, можно подсчитать квадратные числа, сложив вместе последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень., то есть n = (n - 1) + (n - 1) + n.
Число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в квадрате:
| m = 1 = 1 |  |
| m = 2 = 4 |  |
| m = 3 = 9 |  |
| m = 4 = 16 |  |
| m = 5 = 25 |  |
Выражением для n-го квадратного числа является n. Это также равно сумме первых n нечетных чисел, как можно видеть на приведенных выше рисунках, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного числа точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая:
Например, 5 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Сумма первых n нечетных чисел равна n. 1 + 3 + 5 +... + (2n - 1) = n. Анимированная трехмерная визуализация на тетраэдре. Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, n-е квадратное число может быть вычислено из предыдущего квадрата по формуле n = (n - 1) + (n - 1) + n = (n - 1) + (2n - 1). В качестве альтернативы, n-е квадратное число можно вычислить из двух предыдущих, удвоив (n - 1) -й квадрат, вычтя (n - 2) -ое квадратное число и прибавив 2, потому что n = 2 (n - 1) - ( n - 2) + 2. Например,
На одно число меньше квадрата (m - 1) всегда является произведением √m - 1 и √m + 1 (например, 8 × 6 равно 48, а 7 равно 49). Таким образом, 3 - единственное простое число, на единицу меньше квадрата.
Квадратное число также является суммой двух следующих друг за другом треугольных чисел. Сумма двух последовательных квадратных чисел является центрированным квадратным числом. Каждый нечетный квадрат также является восьмиугольным числом с центром.
Другое свойство квадратного числа состоит в том, что (кроме 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное число положительных делителей. Целочисленный корень - это единственный делитель, который соединяется сам с собой, чтобы получить квадратное число, в то время как другие делители попадают в пары.
Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число может быть записано как сумма четырех или менее полных квадратов. Для чисел вида 4 (8m + 7) трех квадратов недостаточно. Положительное целое число может быть представлено как сумма двух квадратов, если его разложение на простые множители не содержит нечетных степеней простых чисел вида 4k + 3. Это обобщается с помощью проблемы Варинга.
In основание 10, квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9, как показано ниже:
В с основанием 12 квадрат число может заканчиваться только квадратными цифрами (например, в базе 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, как показано ниже:
Подобные правила могут быть даны для других оснований или для более ранних цифр (десятки вместо цифры единиц, например). Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное количество случаев и используя модульную арифметику.
В общем, если простое число p делит квадратное число m, то квадрат p также должен делить m ; если p не может делить m / p, то m определенно не квадрат. Повторяя деления из предыдущего предложения, можно сделать вывод, что каждое простое число должно делить данный идеальный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число m является квадратным тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели четны.
Тестирование квадратов может использоваться как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость, проверьте на квадратность: для данного m и некоторого числа k, если k - m является квадратом целого числа n, тогда k - n делит m. (Это приложение факторизации разности двух квадратов.) Например, 100–9991 - это квадрат 3, следовательно, 100–3 делит 9991. Этот тест детерминирован для нечетных делителей в диапазон от k - n до k + n, где k охватывает некоторый диапазон натуральных чисел k ≥ √m.
Квадратное число не может быть совершенным числом.
Сумма первых n квадратных чисел равна
Первые значения этих сумм, квадратно-пирамидальные числа, являются: (последовательность A000330 в OEIS )
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 и т. Д.
Сумма n первых кубиков является квадратом суммы n первых положительные целые числа; это теорема Никомаха.
Все четвертые, шестые, восьмые и т. д. являются точными квадратами.
Квадраты четных чисел четны (и на самом деле делятся на 4), поскольку (2n) = 4n.
Квадраты нечетных чисел нечетные, поскольку (2n + 1) = 4 (n + n) + 1.
Отсюда следует, что квадратные корни из четных квадратных чисел четные, а квадрат r сотни нечетных квадратных чисел нечетны.
Поскольку все четные квадратные числа делятся на 4, четные числа в форме 4n + 2 не являются квадратными числами.
Поскольку все нечетные квадратные числа имеют форму 4n + 1, нечетные числа формы 4n + 3 не являются квадратными числами.
Квадраты нечетных чисел имеют форму 8n + 1, поскольку (2n + 1) = 4n (n + 1) + 1 и n (n + 1) является четным числом.
Каждый нечетный совершенный квадрат - это восьмиугольное число с центром. Разница между любыми двумя нечетными полными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым большим нечетным совершенным квадратом всегда в восемь раз больше треугольного числа, в то время как разница между 9 и любым большим нечетным полным квадратом в восемь раз больше треугольного числа минус 8. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но никакие два значения 2 не отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат формы 2-1 равен 1, а единственный полный квадрат формы 2 + 1 равен 9..
